1、第五章 定積分及其應用一、內容分析與教學建議（一） 定積分與不定積分構成積分學的全貌，為了進一步運用數學分析的方法解決實際問題，定積分的思想、概念、理論和計算方法是不可缺少的數學基礎。本章的基本知識結構是從實際問題引入定積分概念，然后建立一整套理論和微積分基本公式，從而完成各種計算方法的建立，最后給出微小元素的思想及步驟。（二） 定積分概念、牛頓萊不尼茲公式關于定積分的概念，可通過幾個實例引入特定和式的極限，從中抽象出定積分定義，抓住定義中的本質內容，分割、近似、求和、取極限來進行闡述，并能解釋定義和有關性質的幾何意義，幫助加深和理解。定積分的性質和牛頓萊不尼茲公式是構成本章的基本理論。各性質

2、都是在連續條件下導出的，講授時，應使學生正確理解它們的形成和作用。對于變上限的定積分的重要性質必須分析透徹，從而才能使學生理解定積分與不定積分的聯系、區別，達到熟練掌握微積分基本公式。（三） 換元積分法、分部積分法換元積分法和分部積分法構成本章的基本方法，應強調換元積分與不定積分的換元積分之區別，教學中以正反兩方面的具體例子講清“換元要換限”，讓學生熟練掌握這些基本方法。（四） 廣義積分廣義積分作為定積分的擴充，應強調它實際上是普通定積分的極限，應培養學生對廣義積分尤其是無界函數廣義積分的識別能力。（五） 微元法（定積分應用）定積分應用應著重講透處理問題的思想方法 微元法，關于積分法，可通過回

3、顧定積分定義，介紹什么是微元法，以及微元法所滿足的條件。對微元法的取法，上下限的確定，應通過足夠例子熟練運用定積分表示一些幾何、物理量。二、補充例題例1. 設連續，且，求.解： 記，則兩端積分得： ， 例2. 證明不等式證： ，故即 上式左端為2的二次三項式，故其判別式不大于0，即 得： .例3. 設在連續且遞減，證明：當時，.證： ，又證，作 ，則只需證：， 又，故當， 例4設在上有一階連續導數，證明：證： 由積分中值定理，即， 例5. 設在上連續，證明：. 證： 由在上連續，故有最大值，分別在區間，上應用拉格朗日中值定理，有：， ， 從而 例6. 設，在上連續，證明至少存在一個使證： 作，

4、由于，在上連續，所以在上連續，在內可導，并有 由羅爾定理，存在，使，即 例7. 設連續，證明：證： 令，則 （對第二個積分，令） 例8. 設函數在上連續且單調增加，證明在內存在點，使曲線與兩直線，所圍平面圖形面積是曲線與兩直線，所圍圖形面積的三倍。證：設是上任一點，與分別表示圖中兩塊曲邊三角形面積，由于是 的連續函數，只要證明該函數在內有零點即可。構造函數 由于連續，因此2在上連續，又 由連續函數介值定理知，使 故 即 例9. 設平面圖形A由與所確定，求圖形A繞直線旋轉一周所得的旋轉體體積解： 因與直線的交點為和，選為積分變量，相應平面圖形繞旋轉一周所得的旋轉體的體積微元為其中，故得： 積分得： 第一個積分中，令，得例10. 設函數在閉區間，在開區間內大于零，并滿足（ 常數），又曲線與，所圍圖形的面積值為，求函數，問為何值時，圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體體積最?。拷猓?由題設知，當時，即，由在連續性得 ， 又由已知條件得： 從而，因此由于旋轉體的體積為 令，所以當時，該旋轉體體積為最小。 三、補充練習1. 求 . （0）2. 求 （ ）3設，求. 4 函數在上連續，證明：，并由此計算 5求 6設函數在上，且，則在內至少存在一點，使得7設，求 8. 若曲線與軸，軸所圍成的面積被曲線和三等分，試確定，之值