1、高等數(shù)學(xué)口期末自測(cè)題參考答案一、填空題每題a (1, 1,2), b3分，共30分i10j11k22(0, 2, 1).(0,1, 2)，那么 ab(1,1,1)到平面3x6y2z140的距離為3.(3, 0,1)且與平面3x7y5z120平行的平面方程為_3x 7y 5z 40z f (xy, 2xe2y)，那么二yf12f2xt4t3t2x , yz在相應(yīng)于t1處的法平面方432111(x -) (y-)(z-)0 .432選自南京理工大學(xué)2022級(jí)高數(shù)考題程為10dy 0 f (x, y) dy .1 10 dx x f (x, y) dy的積分次序?yàn)閦 -x2y2 (0z 1)，zdS

2、. x2 y2x2 y2 1.2dxdyA (x2yz)i (y2ZX) j(z2xy) k，那么 div A x yR2(x y z).zf(x)以2為周期，且f(x) x()，其Fourier級(jí)數(shù)為ao(an cos nx bn sin nx)， 那么2 n 1b20xsin2xdx .f(x) 1 的麥克勞林級(jí)數(shù)為2 x(1)n n2n x二、8 分求函數(shù) f (x, y) x2xy yx y 1的極值，并指出是極大值還是極小值解:fx(x,y) 2xfy (x, y)2y x 1，令fx(x,y)fy(x, y)0,即 2x y0 2y x得駐點(diǎn)(1,1).由于fxx(x, y) 2，

3、fxy (x, y)1，C fyy (x, y) 2，(B2 AC)x 11 2 230, Ay 10,那么(1, 1)為極小值點(diǎn)，極小值為f( 1,1)2.三、8分求級(jí)數(shù)(nn 01)xn的收斂域及它的和函數(shù)解：由于limn1時(shí)，級(jí)數(shù) (n 1)( 1)n均n 0發(fā)散，所以收斂域?yàn)?1,1).設(shè)s(x)(n 1)xn，0x0S(t)dt(nn 01)xtndt0s(t)ddxx0S(t)dt(11_x)2 .四、8分計(jì)算L(5X43xy y )dx(3x2y23xyy2)dy ,其中L是拋物線y x2上自點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1, 1 )的一段弧.解：P(x, y) 5x4 3xy2y3，Q(x

4、, y)3x2 y2 23xy y在xoy面偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),6xy3y2，那么曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取折線段(0, 0)(1, 0)(1,1)，那么L(5x43xy2y3 )dx2(3x y2 23xy y )dy1(5x403x2 0203)dx10(312 y 3 1 y2 y2)dy1 (1五、8分計(jì)算曲面積分I ： x(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy，其中 是由柱面x2y21，平面z0,z3所圍立體外表的外側(cè).解:P(x, y, z) x(yz), Q(x,y,z) z x, R(x, y,z) x y在柱面 x2y2 1，平面z0, z3所圍立體上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，那么

5、由高斯公式有I .： x(y z) dydz (z x) dzdx (x y)dxdy(上x(y z)dvy dvzdv第一個(gè)積分為0，想想為什么？30 zdz0Ddxdy3z 12 dz 90 2六、8分求以下方程的通解:y1. xy y lnxylnYx解：xy'In '，方程為齊次微分方程；設(shè) u ，那么yx xxu xu ，代入得duu(ln u 1)dxx兩端積分1 d(ln u 1)ln u 1-dxxInC或ln u Cx 1將u -代回得xCx 1y xe2x2. y 4y 3y e .解：方程為二階非齊次線性微分方程，2r4r 30的特征根為A1, r23 ；

6、 f即ln(ln u1) In x*9 Y特解形式為y Ae ，代入得A對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程(x)e2x中2不是特征方程的根，那么，在由解的結(jié)構(gòu)得方程的通解為15C-e x3x 1 2xC2ee15七、10分設(shè)vnunUnWnUnun，證明:證：由于un絕對(duì)收斂，即I un |收斂，那么Un也收斂，又Vnn 1i|Un| iUn，由性質(zhì)知vn收斂.n 1Un條件收斂，那么級(jí)數(shù)n 1Wn發(fā)散.n 1證：反證假設(shè)nWn收斂,Un收斂,由WnUnUn22WnUn及性質(zhì)知|Un |收斂,n 1Unn 1Wn發(fā)散.八、10分一均勻物體是由拋物面z22十x y及平面1所圍成.的體積;解：在xoy面投影域，那么所圍體積為的質(zhì)心.解：由于所以質(zhì)心坐標(biāo)為1x2V 1D210分解:(1(x210(1y2) dxdyr2) rdr是均勻物體及幾何體關(guān)于yoz 面、XOZ面對(duì)稱,那么質(zhì)心坐標(biāo)應(yīng)為(0,0, Z)；z dvdv1rdr0V1r2zdz2。七.設(shè) D (x, y) |x2,x0，y0 ,1 x2y2表示不超過y2的最大整數(shù)，計(jì)算二重積分xy1x2y2 dxdy.D1( x, y) | x1, x0, y 0，D2(x,y)|12 2x y2,x0,y0,那么DDiD2 ,且當(dāng)(x, y)D1時(shí)，1 x22y1 ,當(dāng)(x,y) D2 時(shí),1x2y2