1、第三章 應力與強度計算一.內容提要本章介紹了桿件發生基本變形時的應力計算，材料的力學性能，以及基本變形的強度計算。1拉伸與壓縮變形1.1 拉（壓）桿的應力1.1.1拉（壓）桿橫截面上的正應力拉壓桿件橫截面上只有正應力，且為平均分布，其計算公式為 (3-1)式中為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負號規定 拉應力為正，壓應力為負。公式（3-1）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區域稍遠處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產生局部應力集中現象，橫截面上應力分布很不均勻；（4）截面連續變化的直桿，桿件兩側棱邊的夾角時，可應用

2、式（3-1）計算，所得結果的誤差約為3%。1.1.2拉（壓）桿斜截面上的應力（如圖3-1）圖3-1拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應力為平均分布，其計算公式為全應力 (3-2)正應力 （3-3）切應力 （3-4）式中為橫截面上的應力。正負號規定：由橫截面外法線轉至斜截面的外法線，逆時針轉向為正，反之為負。 拉應力為正，壓應力為負。 對脫離體內一點產生順時針力矩的為正，反之為負。兩點結論：（1）當時，即橫截面上，達到最大值，即。當=時，即縱截面上，=0。（2）當時，即與桿軸成的斜截面上，達到最大值，即。12 拉（壓）桿的應變和胡克定律（1）變形及應變桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向

3、壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。圖3-2軸向變形 軸向線應變 橫向變形 橫向線應變 正負號規定 伸長為正，縮短為負。（2）胡克定律當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。即 （3-5）或用軸力及桿件的變形量表示為 (3-6)式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內工作，即；(b)在計算時，l長度內其N、E、A均應為常量。如桿件上各段不同，則應分段計算，求其代數和得總變形。即 (3-7)(3)泊松比 當應力不超過材料的比例極限時，橫向應變與軸向應變之比的絕對值。即 (3-8)1.3 材料在拉（壓）時的

4、力學性能1.3.1低碳鋼在拉伸時的力學性能應力應變曲線如圖3-3所示。圖3-3 低碳鋼拉伸時的應力應變曲線卸載定律:在卸載過程中，應力和應變按直線規律變化。如圖3-3中dd直線。冷作硬化：材料拉伸到強化階段后，卸除荷載，再次加載時，材料的比例極限升高，而塑性降低的現象，稱為冷作硬化。如圖3-3中ddef曲線。圖3-3中，of 為未經冷作硬化，拉伸至斷裂后的塑性應變。df 為經冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應變。四個階段四個特征點，見表1-1。表1-1 低碳鋼拉伸過程的四個階段階 段圖1-5中線段特征點說 明彈性階段oab比例極限彈性極限為應力與應變成正比的最高應力為不產生殘余變形的最高應力屈服

5、階段bc屈服極限為應力變化不大而變形顯著增加時的最低應力強化階段ce抗拉強度為材料在斷裂前所能承受的最大名義應力局部形變階段ef產生頸縮現象到試件斷裂表1-1主要性能指標，見表1-2。表1-2 主要性能指標性能性能指標說明彈性性能彈性模量E當強度性能屈服極限材料出現顯著的塑性變形抗拉強度材料的最大承載能力塑性性能延伸率材料拉斷時的塑性變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度1.3.2 低碳鋼在壓縮時的力學性能圖3-4 低碳鋼壓縮時的應力應變曲線應力應變曲線如圖3-4中實線所示。低碳鋼壓縮時的比例極限、屈服極限、彈性模量E與拉伸時基本相同，但側不出抗壓強度1.3.3鑄鐵拉伸時的力學性能圖3-5 鑄鐵

6、拉伸時的應力應變曲線應力應變曲線如圖3-5所示。應力與應變無明顯的線性關系，拉斷前的應變很小，試驗時只能側得抗拉強度。彈性模量E以總應變為0.1%時的割線斜率來度量。1.3.3鑄鐵壓縮時的力學性能應力應變曲線如圖3-6所示。圖3-6 鑄鐵壓縮時的應力應變曲線鑄鐵壓縮時的抗壓強度比拉伸時大45倍，破壞時破裂面與軸線成。宜于做抗壓構件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率5%的材料稱為塑性材料。延伸率5%的材料稱為脆性材料。1.3.5屈服強度對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產生0.2%的殘余應變時所對應的應力作為屈服強度，并以表示。1.4 強度計算許用應力 材料正常工作容許采用的最高應力，

7、由極限應力除以安全系數求得。塑性材料 = ； 脆性材料 =其中稱為安全系數，且大于1。強度條件：構件工作時的最大工作應力不得超過材料的許用應力。對軸向拉伸（壓縮）桿件 （3-9）按式（1-4）可進行強度校核、截面設計、確定許克載荷等三類強度計算。2扭轉變形2.1 切應力互等定理受力構件內任意一點兩個相互垂直面上，切應力總是成對產生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應力與否無關。2.2純剪切單元體各側面上只有切應力而無正應力的受力狀態，稱為純剪切應力狀態。2.3切應變切應力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應變或切應變，用表示。2.4 剪切胡克定律在

8、材料的比例極限范圍內，切應力與切應變成正比，即 (3-10)式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數（另兩個彈性常數為彈性模量E及泊松比）,其數值由實驗決定。對各向同性材料,E、 、G有下列關系 (3-11)2.5 圓截面直桿扭轉時應力和強度條件2.5.1 橫截面上切應力分布規律用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應力在橫截面上的分布規律和大小。需通過平面假設，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應力分布規律和大小。(1)沿半徑成線性分布，圓心處，最大切應力在圓截面周邊上。TT(2)切應力方向垂直半徑，圓截面上切應力形成的流向與該截面上扭矩轉向相等，圖3-7。圖3-72.5.2切應力計

9、算公式橫截面上某一點切應力大小為 (3-12)式中為該截面對圓心的極慣性矩，為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應力為 (3-13)式中稱為扭轉截面系數，R為圓截面半徑。2.5.3 切應力公式討論（1） 切應力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應用，其誤差在工程允許范圍內。（2） 極慣性矩和扭轉截面系數是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉破壞和變形的能力愈強。因此，設計空心軸比實心軸更為合理。 表3-3實心圓（外徑為d）空心圓（外徑為D，內徑

10、為d） 2.5.4強度條件圓軸扭轉時，全軸中最大切應力不得超過材料允許極限值，否則將發生破壞。因此，強度條件為 (3-14)對等圓截面直桿 （3-15）式中為材料的許用切應力。3彎曲變形的應力和強度計算3.1 梁橫截面上正應力3.1.1中性層的曲率與彎矩的關系 (3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點彎曲正應力計算公式 (3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；的意義同上；y是欲求正應力的點到中性軸的距離。由式(3-17)可見，正應力的大小與該點到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一側為拉應力，另一側為壓應力。在實際計算

11、中，正應力的正負號可根據梁的變形情況來確定，位于中性軸凸向一側的各點均為拉應力，而位于中性軸凹向一側的各點均為壓應力。最大正應力出現在距中性軸最遠點處 （3-18）式中，稱為抗彎截面系數。對于的矩形截面，；對于直徑為D的圓形截面，；對于內外徑之比為的環形截面，。若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應力與最大壓應力數值相等，若不是對稱軸，則最大拉應力與最大壓應力數值不相等。3.2梁的正應力強度條件梁的最大工作應力不得超過材料的容許應力，其表達式為 （3-19）由正應力強度條件可進行三方面的計算：（1）校核強度 即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應力以及所受載荷，校核正應力是否超過容許值，從而檢驗梁是否

12、安全。（2）設計截面 即已知載荷及容許應力，可由式確定截面的尺寸（3）求許可載荷 即已知截面的幾何尺寸及容許應力，按式確定許可載荷。對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強度條件應表達為 （3-20a） （3-20b）式中，分別是材料的容許拉應力和容許壓應力；分別是最大拉應力點和最大壓應力點距中性軸的距離。若梁上同時存在有正、負彎矩，在最大正、負彎矩的橫截面上均要進行強度計算。3.3梁的切應力 （3-21）式中，Q是橫截面上的剪力；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面

13、寬度。3.3.1矩形截面梁切應力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應力計算公式 （3-22）最大切應力發生在中性軸各點處，。3.3.2工字形截面梁切應力主要發生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔。切應力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為 (3-23)式中各符號可參看。另外，沿翼緣水平方向也有不大的切應力，計算公式為 （3-24）翼緣部分的水平切應力沿翼緣寬度按直線規律變化，并與腹板部分的豎向剪切應力形成所謂的剪應力流。由于這部分切應力較小，一般不予考慮，只是在開口薄壁截面梁的彎曲中才用到它。3.3.3圓形截面梁橫截面上同一

14、高度各點的切應力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應力發生在中性軸上，其大小為 （3-25）圓環形截面上的切應力分布與圓截面類似。3.4切應力強度條件梁的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力，即 (3-26)式中，是梁上的最大切應力值；是中性軸一側面積對中性軸的靜矩；是橫截面對中性軸的慣性矩；b是處截面的寬度。對于等寬度截面，發生在中性軸上，對于寬度變化的截面，不一定發生在中性軸上。切應力強度條件同樣可以進行強度校核、設計截面和求許可載荷三方面的計算。在進行梁的強度計算時，應注意下述二個問題。（1） 對于細長梁的彎曲變形，正應力的強度條件是主要的，剪應力強度條件

15、是次要的。一般僅需考慮正應力強度條件。對于較粗短的梁，當集中力較大時，截面上剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時，需要校核切應力強度。（2） 正應力的最大值發生在橫截面的上下邊緣，該處的切應力為零；切應力的最大值一般發生在中性軸上，該處的正應力為零。對于橫截面上其余各點，將同時存在正應力和切應力，這些點的強度計算，應按強度理論計算公式進行。 3.5提高彎曲強度的主要措施3.5.1選擇合理的截面形式由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大彎矩與抗彎截面系數成正比。在截面面積相同的情況下，改變截面形狀以增大抗彎截面系數，從而達到提高彎曲強度的目的。為了比較各種截面的合理程度，可用抗彎截面系數與截面

16、面積的比值來衡量，比值愈大，截面就愈合理。在選擇截面形狀時，還要考慮材料的性能。對于由塑料材料制成的梁，因拉伸與壓縮的容許應力相同，以采用中性軸為對稱軸的截面。對于由脆性材料制成的梁，因容許拉應力遠小于容許壓應力，宜采用T字形或II形等中性軸為非對稱軸的截面，并使最大拉應力發生在離中性軸較近的的邊緣處。3.5.2用變截面梁一般的強度計算是以危險截面的最大彎矩為依據的，按等截面梁來設計截面尺寸，這顯然是不經濟的。如果在彎矩較大的截面采用較大的尺寸，在彎矩較小的截面采用較小的尺寸，使每個截面上的最大正應力都達到容許應力，據此設計的變截面梁是最合理的，稱為等強度梁。3.5.3改善梁的受力狀況合理布置

17、梁上的載荷和調整梁的支座位置，使梁的最大彎矩變小，也可達到提高彎曲強度的目的。4.剪切及其實用計算4.1剪切的概念剪切定義為相距很近的兩個平行平面內，分別作用著大小相等、方向相對（相反）的兩個力，當這兩個力相互平行錯動并保持間距不變地作用在構件上時，構件在這兩個平行面間的任一（平行）橫截面將只有剪力作用，并產生剪切變形。4.2剪切的實用計算名義切應力：假設切應力沿剪切面是均勻分布的 ，則名義切應力為 （3-27）剪切強度條件：剪切面上的工作切應力不得超過材料的 許用切應力,即 （3-28）利用式（3-28）對構件進行剪切強度校核、截面設計和許可載荷的計算。5.擠壓及其實用計算5.1擠壓的概念擠

18、壓 兩構件接觸面上產生的局部承壓作用。擠壓面 相互接觸壓緊的面。擠壓力 承壓接觸面上的總壓力，用表示。5.2擠壓的實用計算名義擠壓應力 假設擠壓應力在名義擠壓面上是均勻分布的，則 （3-29）式中，表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當擠壓面為平面時為接觸面面積，當擠壓面為曲面時為設計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的 投影面積。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力 （3-30）利用式（3-29）對構件進行擠壓強度校核、截面設計和許可載荷的計算。二基本要求1.拉伸與壓縮變形1.1熟練掌握應力的計算，理解胡克定律。1.2了解常用材料在拉伸和壓縮時

19、的機械性質及其測量方法。1.3理解許用應力、安全系數和 強度條件，熟練計算強度問題。2.扭轉變形2.1理解純剪切的概念、切應力互等定理和剪切胡克定律。2.2理解圓軸扭轉時應力公式推導方法，并熟練計算扭轉應力。2.3理解圓軸扭轉強度條件的建立方法，并熟練計算強度問題。3.彎曲變形3.1理解彎曲正應力的概念及其公式推導方法，熟練掌握彎曲正應力及強度問題。3.2理解彎曲切應力的概念及其公式推導方法，掌握簡單截面梁彎曲切應力的計算及彎曲切應力強度條件。4.剪切與擠壓變形：了解剪切和擠壓的概念，熟練掌握剪切和擠壓的實用計算方法。5.熟練掌握常用截面的形心、靜矩、慣性矩的計算及平行移軸公式。三補充例題例1桿系結構如圖所示，已知桿AB、AC材料相同，MPa，橫截面積分別為mm2，mm2，試確定此結構許可載荷P。 解：（1）由平衡條件計算實際軸力，設AB桿軸力為，AC桿軸力為。對于節點A，由得 （a）由得 （b）由強度條件計算各桿容許軸力 kN （c） kN （d）由于AB、AC桿不能同時達到容許軸力，如果將，代入（2）式，解得kN顯然是錯誤的。正確的解應由（a）、（b）式解得各桿軸力與結構載荷P應滿足的關系 （e） （f）（2）根據各桿各自的強度條件，即，計算所對應的載荷，由（c）、（e）有kNkN kN （g）由（d）、（f）有kNkN kN