1、數(shù)字圖像處理三級(jí)項(xiàng)目高通、低通、帶通濾波器摘要在圖像處理的過(guò)程中, 消除圖像的噪聲干擾是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。利用matlab 軟件, 采用頻域?yàn)V波的方式, 對(duì)圖像進(jìn)行低通和高通濾波處理。低通濾波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量，由于圖像中的邊緣和噪聲都對(duì)應(yīng)圖像傅里葉頻譜中的高頻部分，所以低通濾波可以除去或消弱噪聲的影響并模糊邊緣輪廓；高通濾波是要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量，所以高通濾波可以保留較多的邊緣輪廓信息。低通濾波器有巴特沃斯濾波器和高斯濾波器等等，本次設(shè)計(jì)使用的低通濾波器為*。高通濾波器有巴特沃斯濾波器、高斯濾波器、Laplacian 高通濾波器以及Unmask 高通濾波

2、器等等，本次設(shè)計(jì)使用巴特沃斯高通濾波器。1、 頻域低通濾波器：設(shè)計(jì)低通濾波器包括 butterworth and Gaussian (選擇合適的半徑，計(jì)算功率譜比, 平滑測(cè)試圖像test1和2。實(shí)驗(yàn)原理分析根據(jù)卷積定理，兩個(gè)空間函數(shù)的卷積可以通過(guò)計(jì)算兩個(gè)傅立葉變換函數(shù)的乘積的逆變換得到，如果f(x, y和h(x, y分別代表圖像與空間濾波器，F(xiàn)(u, v和H(u, v分別為響應(yīng)的傅立葉變換（H(u, v又稱為傳遞函數(shù)），那么我們可以利用卷積定理來(lái)進(jìn)行頻域?yàn)V波。在頻域空間，圖像的信息表現(xiàn)為不同頻率分量的組合。如果能讓某個(gè)范圍內(nèi)的分量或某些頻率的分量受到抑制，而讓其他分量不受影響，就可以改變輸出圖

3、的頻率分布，達(dá)到不同的增強(qiáng)目的。 頻域空間的增強(qiáng)方法的步驟：（1）將圖像從圖像空間轉(zhuǎn)換到頻域空間； （2）在頻域空間對(duì)圖像進(jìn)行增強(qiáng)；（3）將增強(qiáng)后的圖像再?gòu)念l域空間轉(zhuǎn)換到圖像空間。低通濾波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量。圖像中的邊緣和噪聲都對(duì)應(yīng)圖像傅里葉頻譜中的高頻部分，所以低通濾波可以除去或消弱噪聲的影響并模糊邊緣輪廓。理想低通濾波器具有傳遞函數(shù)： 其中D0為制定的非負(fù)數(shù)，D(u,v為點(diǎn)(u,v到濾波器中心的距離。功率譜比的定義：P g (u , v P f (u , v L =其中，P f (u , v 為濾波前圖像的功率譜，P g (u , v 為濾波后圖像的功率譜。22頻率計(jì)算

4、公式為：P f (u , v =F (u , v ，P g (u , v =G (u , v 。 Butterworth濾波器設(shè)計(jì)：理想低通濾波器在數(shù)學(xué)上定義得很清楚，在計(jì)算機(jī)模擬中也可實(shí)現(xiàn)，但在截?cái)囝l率處直上直下的理想低通濾波器是不能用實(shí)際的電子器件實(shí)現(xiàn)的。n 階Butterworth 低通濾波器（BLPF ）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點(diǎn)的距D 0離為 ）定義如下：1 H (u , v =1+D (u , v /D 02n（1）其中 ，D (u， （2）不同于ILPF,BLPF 變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒(méi)有明顯的截?cái)?。?duì)于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個(gè)截止頻率的位置并使H(u，v 幅

5、度降到其最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D （u ，v ）=D0時(shí)，H （u ，v ）=0.5（從最大值降到它的50%）。一階的巴特沃斯濾波器沒(méi)有振鈴，在二階中振鈴?fù)ǔ：芪⑿。@是因?yàn)榕c理想低通濾波器相比，它的通帶與阻帶之間沒(méi)有明顯的跳躍，在高低頻率間的過(guò)渡比較光滑。巴特沃斯低通濾波器的處理結(jié)果比理想濾波器的要好，但階數(shù)增高時(shí)振鈴便成為一個(gè)重要因素。本次實(shí)驗(yàn)中設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了二階巴特沃斯濾波器。根據(jù)以上原理設(shè)計(jì)Butterworth 低通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示： 源圖像 test1.pgmButterworth 低通濾波圖test1.pgm 源圖像 test2.tif Butterworth 低

6、通濾波圖test2.tif理想低通濾波器有明顯的振鈴現(xiàn)象，而巴特沃斯濾波器的效果較好。 計(jì)算得test1的功率譜比L=0.9939。test2的功率譜比為0.9902。 Gaussian 濾波器設(shè)計(jì)：二維高斯低通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為：H (u，v=1-e-D2(u , v /22（3） 其中，D (u，表示高斯曲線擴(kuò)展的程度。使=D0，可以將濾波器表示為：H (u，v=e-D2(u , v /2D 02（4）其中，D0是截止頻率。當(dāng)D （u ，v ）=D0時(shí)，濾波器下降到它最大值的0.607倍處。由于高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，這就是說(shuō)通過(guò)式（3）或式（4）的傅里葉反變換而得

7、到的空間高斯濾波器將沒(méi)有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計(jì)Gaussian 低通濾波器，處理結(jié)果如下： 源圖像 test1.pgmGaussian 低通濾波后的test1.pgm(r=5 Gaussian 低通濾波后的 test1.pgm(r=15Gaussian 低通濾波后的 test1.pgm(r=80源圖像 test2.tifGaussian 低通濾波后的 test2.tif(r=15Gaussian 低通濾波后的 test1.pgm(r=80Gaussian 低通濾波后的test1.pgm(r=230Gaussian 低通濾波后的 test2.tif(r=5Gaussian 低通濾波后的test

8、2.tif(r=30 Gaussian 低通濾波后的 test2.tif(r=80Gaussian 低通濾波后的test2.tif(r=230可見(jiàn)，當(dāng)濾波器的半徑不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的濾波效果也不同。半徑越小，平滑效果越明顯，但半徑過(guò)小，會(huì)使得圖像變得模糊不清。計(jì)算得test1（r=5）的功率譜比L= 0.4674。test2（r=5）的功率譜比為L(zhǎng)=0.2930。2、 頻域高通濾波器：設(shè)計(jì)高通濾波器包括butterworth and Gaussian ，在頻域增強(qiáng)邊緣。選擇半徑和計(jì)算功率譜比，測(cè)試圖像test3,4：實(shí)驗(yàn)原理分析高通濾波是要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量。理想高通濾波器傳遞函數(shù)表

9、示為： 如D (u , v D 00H (u , v = 1如D (u , v D 0 Butterworth濾波器設(shè)計(jì)：n 階Butterworth 高通濾波器（BLPF ）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點(diǎn)的距D 0離為 ）定義如下：1 H (u , v =1+D 0D (u , v （5）其中， D (u， （6）不同于ILPF,BLPF 變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒(méi)有明顯的截?cái)?。?duì)于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個(gè)截止頻率的位置并使H(u，v 幅度降到其最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D （u ，v ）=D0時(shí)，H （u ，v ）=0.5（從最大值降到它的50%）。根據(jù)以上原理設(shè)計(jì)But

10、terworth 高通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示： 源圖像test3c orrupt.pgm Butterworth 高通濾波圖test3c orrupt.pgm源圖像 test4 copy.bmpButterworth 高通濾波圖test4 copy.bmp計(jì)算得test3的功率譜比為0.0851。test4的功率譜比為0.0547。Gaussian 濾波器設(shè)計(jì)：二維高斯高通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為：H (u，v=1-e-D 2(u , v /22（7） 其中，D (u，表示高斯曲線擴(kuò)展的程度。使=D0，可以將濾波器表示為：H (u，v=1-e-D 2(u , v /2D 02 （8）其中

11、，D0是截止頻率。當(dāng)D （u ，v ）=D0時(shí)，濾波器下降到它最大值的0.607倍處。由于高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，這就是說(shuō)通過(guò)式（7）或式（8）的傅里葉反變換而得到的空間高斯濾波器將沒(méi)有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計(jì)Gaussian 高通濾波器，處理結(jié)果如下： 源圖像test3c orrupt.pgm Gaussian 高通濾波后的test3c orrupt.pgm(r=5 Gaussian 高通濾波后的test3c orrupt.pgm(r=15Gaussian 高通濾波后的test3c orrupt.pgm(r=30源圖像 test4 copy.bmpGaussian 高通濾波后

12、的test4 copy.bmp(r=5 Gaussian 高通濾波后的 test4 copy.bmp(r=15Gaussian 高通濾波后的test4 copy.bmp(r=30可見(jiàn)，當(dāng)濾波器的半徑不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的濾波效果也不同。半徑越小，邊緣效果越明顯。一般圖像中的大部分能量集中在低頻分量里，高通濾波會(huì)將很多低頻分量濾除，導(dǎo)致增強(qiáng)圖中邊緣得到加強(qiáng)但光滑區(qū)域灰度減弱變暗甚至接近黑色。為解決這個(gè)問(wèn)題，可對(duì)頻域里的高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)加一個(gè)常數(shù)以將一些低頻分量加回去，獲得既保持光滑區(qū)域又改善邊緣區(qū)域?qū)Ρ榷鹊男Ч?。這樣得到的濾波器稱為高頻增強(qiáng)濾波器。計(jì)算得test3（r=5）的功率譜比L= 0.059

13、1，test4（r=5）的功率譜比為L(zhǎng)= 0.4449。3、其他高通濾波器：拉普拉斯和Unmask ，對(duì)測(cè)試圖像test3,4濾波；比較并討論空域低通高通濾波（Project3）與頻域低通和高通的關(guān)系；實(shí)驗(yàn)原理分析拉普拉斯高通濾波器公式表示如下：d n f (x =(j 2u n F (u （9） n dx從這個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)式可以得到：2f (x , y 2f (x , y +=-42(u 2+v 2 F (u , v （10） 22x y所以， 2f (x , y =-42(u 2+v 2 F (u , v （11）即頻域的拉普拉斯算子可以有如下濾波器實(shí)現(xiàn)：H (u , v =-42(u 2+

14、v 2 （12）前提是F(u，v 的原點(diǎn)在進(jìn)行圖像變換之前已通過(guò)執(zhí)行運(yùn)算f (x , y (-1 x +y 中心化了，使得變換中心（u,v ）=(0,0就是頻率矩形的中點(diǎn)（M/2，N/2）。因此H (u , v =-42(u -M /2 2+(v -N /2 2。根據(jù)以上分析，設(shè)計(jì)拉普拉斯算子高通濾波器，處理結(jié)果如下： 源圖像test3c orrupt.pgm Laplacian 高通濾波圖test3c orrupt.pgm 源圖像 test4 copy.bmpLaplacian 高通濾波圖test4 copy.bmp由于拉普拉斯高通濾波器將原始圖像完全加回到濾波后的結(jié)果中，因此解決了Butt

15、erworth 濾波器和Gaussian 濾波器除去了傅里葉變換的零頻率成分的問(wèn)題，從而使得濾波后的圖像其背景的平均強(qiáng)度增加、變亮。但同時(shí)引入了噪聲干擾，使得濾波后的圖像有一定程度的失真。Unsharp masking高通濾波器Unsharp masking高通濾波器模板由以下公式確定：g mask (x , y =f (x , y -f LP (x , y （13）f LP (x , y =-1H LP (u , v F (u , v （14）g(x , y =f (x , y +k *gmask (x , y （15）當(dāng)K=1時(shí)，為鈍化模板；K>1時(shí)，為高頻提升濾波器。由以上算法設(shè)計(jì)

16、Unsharp masking 高通濾波器，其中g(shù) mask (x , y 使用Butterworth 濾波算法實(shí)現(xiàn)，處理結(jié)果如下圖示： 源圖像test3c orrupt.pgm 反銳化掩膜濾波圖test3c orrupt.pgm 源圖像 test4 copy.bmp反銳化掩膜濾波圖test4 copy.bmp可見(jiàn)，反銳化掩膜后的圖像邊緣信息更加清晰，但同時(shí)帶來(lái)了過(guò)度銳化的問(wèn)題，出現(xiàn)了多重輪廓?？沼虻屯ǜ咄V波與頻域低通和高通的關(guān)系：空域?yàn)V波主要包括平滑濾波和銳化濾波。平滑濾波是要濾除不規(guī)則的噪聲或干擾的影響，從頻域角度看，不規(guī)則噪聲具有較高的頻率，所以可用具有低通能力的頻域?yàn)V波器來(lái)濾除。由此

17、可見(jiàn)，空域的平滑濾波對(duì)應(yīng)頻域的低通濾波。銳化濾波是要增強(qiáng)邊緣和輪廓處的強(qiáng)度，從頻域角度看，邊緣和輪廓處都具有較高的頻率，所以可用具有高通能力的頻域?yàn)V波器來(lái)增強(qiáng)，由此可見(jiàn)空域的銳化濾波對(duì)應(yīng)頻域的高通濾波。附錄一、 參考文獻(xiàn)1 岡薩雷斯著. 數(shù)字圖像處理(第三版. 北京：電子工業(yè)出版社，20102 楊杰 李慶著. 數(shù)字圖像處理及MATLAB 實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)與實(shí)驗(yàn)指導(dǎo). 北京：電子工業(yè)出版社，20103 蘇金明 王永利著.MATLAB 圖形圖像. 北京：電子工業(yè)出版社，20054 朱習(xí)軍 隋思漣等著.MATLAB 在信號(hào)與圖像處理中的應(yīng)用. 北京：電子工業(yè)出版社，20095百度文庫(kù).二、源代碼：頻域低通濾

18、波器1. Butterworth 低通濾波器（以處理test1.pgm 為例）I= imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test1.pgm','pgm' figure;subplot(1,2,1;imshow(I;title('源圖像test1.pgm'f=double(I;g=fft2(f; % 傅立葉變換g=fftshift(g; % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g;nn=2; % 二階巴特沃斯(Butterworth低通濾波器d0=50;m=fix(M/2; n=fix(N/2;for i=1:Mfor j=1:Nd=

19、sqrt(i-m2+(j-n2;h1=1/(1+0.414*(d/d0(2*nn; % 計(jì)算低通濾波器傳遞函數(shù)result1(i,j=h1*g(i,j;endendresult1=ifftshift(result1;J2=ifft2(result1;J3=uint8(real(J2;subplot(1,2,2;imshow(J3;title('低通濾波圖test1.pgm' % 顯示濾波處理后的圖像 S=0;S1=0;for i=1:Mfor j=1:NL=(abs(result1(I,j2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L;endendfor i=1:Mfor j=1:N

20、L1=(abs(g(I,j2; %計(jì)算源圖像的功率譜 S1=S1+L1;endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比2、Gaussian 低通濾波器（以處理test1.pgm 為例）I=imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test1.pgm'subplot(1,2,1;imshow(I;title('源圖像test1.pgm'r=5;Im=double(I;F=fft2(Im;F_result=fftshift(F;g=F_result;m,n=size(F_result;M=fix(m/2;N=fix(n/2;for u=1:mfor v=1:

21、nD=sqrt(u-M2+(v-N2;H=exp(-D2/(2*r2;F_result(u,v=F_result(u,v*H;endendG_result=ifftshift(F_result;g_result=ifft2(G_result;f=real(g_result;f=uint8(f;subplot(1,2,2;imshow(f;title('Gaussian低通濾波后的test1.pgm(r=5'S=0;S1=0;for i=1:Mfor j=1:NL=(abs(F_result(i,j2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L;endendfor i=1:Mfor j

22、=1:NL1=(abs(g(i,j2; %計(jì)算源圖像的功率譜 S1=S1+L1;endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比頻域高通濾波器1、 B utterworth 濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I= imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm','pgm'figure;subplot(1,2,1;imshow(I;title('源圖像test3_corrupt.pgm'f=double(I; % 數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換，MATLAB 不支持圖像的無(wú)符號(hào)整型的計(jì)算 g=fft2(f;

23、% 傅立葉變換g=fftshift(g; % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g;nn=2; % 二階巴特沃斯(Butterworth高通濾波器d0=5;m=fix(M/2;n=fix(N/2;for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt(i-m2+(j-n2;if (d=0h2=0;elseh2=1/(1+0.414*(d0/d(2*nn;% 計(jì)算傳遞函數(shù)endresult2(i,j=h2*g(i,j;endendresult3=ifftshift(result2;J4=ifft2(result3;J5=uint8(real(J4;subplot(1,2,2;imshow(J5;title

24、('高通濾波圖test3_corrupt.pgm' % 濾波后圖像顯示S=0;S1=0;for i=1:Mfor j=1:NL=(abs(result2 (i,j2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L;endendfor i=1:Mfor j=1:NL1=(abs(g(i,j2; %計(jì)算源圖像的功率譜 S1=S1+L1;endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比2、Gaussian 濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I=imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm' subplot(1,2,1;i

25、mshow(I;title('源圖像test1.pgm'r=5;Im=double(I;F=fft2(Im;F_result=fftshift(F;g= F_result；m,n=size(F_result;M=fix(m/2;N=fix(n/2;for u=1:mfor v=1:nD=sqrt(u-M2+(v-N2;H=1-exp(-D2/(2*r2;F_result(u,v=F_result(u,v*H;endendG_result=ifftshift(F_result;g_result=ifft2(G_result;f=real(g_result;f=uint8(f;su

26、bplot(1,2,2;imshow(f;title('Gaussian低通濾波后的test3_corrupt.pgm (r=5'S=0;S1=0;for i=1:Mfor j=1:NL=(abs(F_result (i,j2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L;endendfor i=1:Mfor j=1:NL1=(abs(g(i,j2; %計(jì)算源圖像的功率譜 S1=S1+L1;endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比3、 Laplacian 濾波器（以處理 test3_corrupt.pgm 為例） I= imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm','pgm' figure; subplot(1,2,1; imshow(I; title('源圖像 test3_corrupt.pgm' f=double(I; g=f