1、南昌航空大學科技學院學士學位論文第一章：引言1.1選題的依據及意義幾乎在所有的工程技術領域中都會涉及到信號的處理問題，其信號表現形式有電、磁、機械以及熱、光、聲等。信號處理的目的一般是對信號進行分析、變換、綜合、估值與識別等。如何在較強的噪聲背景下提取出真正的信號或信號的特征，并將其應用于工程實際是信號處理的首要任務。數字信號處理中一個非常重要且應用普遍的技術就是數字濾波。數字濾波器有FIR數字濾波器和IIR數字濾波器，IIR數字濾波器的設計方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設計圖表進行設計的，因而保留了一些典型模擬濾波器優良的幅度特性，但設計中只考慮了幅度特性，沒考慮相位特性，所設計的濾波器一

2、般是某種確定的非線性相位特性。為了得到線性相位特性，對IIR濾波器必須另外加相位校正網絡，使濾波器設計變得復雜，成本也高，又難以得到嚴格的線性相位特性。而FIR濾波器在保證幅度特性滿足技術要求的同時，很容易做到有嚴格的線性相位特性，同時為了使FIR數字濾波器的設計更優化，因而研究FIR數字濾波器的優化設計具有重要的理論意義。1.2 數字濾波器簡介數字濾波在DSP中占有重要地位。數字濾波器按實現的網絡結構或者從單位脈沖響應，分為IIR（無限脈沖響應）和FIR（有限脈沖響應）濾波器。如果IRR濾波器和FIR濾波器具有相同的性能，那么通常IIR濾波器可以用較低的階數獲得高的選擇性，執行速度更快，所有

3、的存儲單元更少，所以既經濟又高效。數字濾波器精確度高，使用靈活，可靠性高，具有模擬設備沒有的許多優點，已廣泛地應用與各個科學技術領域，例如數字電視，語音，通信、雷達、聲納、遙感、圖像、生物醫學以及許多工程應用領域。隨著信息時代數字時代的到來，數字濾波技術已經成為一門及其重要的科學和技術領域。以往的濾波器大多采用模擬電路技術，但是模擬電路技術存在很多難以解決的問題，而采用數字則避免很多類似的難題，當然數字濾波器在其他方面也有很多突出的優點都是模擬技術所不能及的，所以采用數字濾波器對信號進行處理是目前的發展方向。數字濾波在通信。圖像編碼，語音編碼，雷達等許多領域有著十分廣泛的應用。目前，數字信號濾

4、波器的設計在圖像處理，數據壓縮等方面的應用取得了令人矚目的 進展和成就。近年來迅速發展。南昌航空大學科技學院學士學位論文1.3 MATLAB簡介1.3.1MATLAB的概況MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數值計算能力外，它還提供了專業水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多.MATLAB擁有數百個內部函數的主包和三十幾種工具包(Toolbox).工具包又可以分為功能性工具包

5、和學科工具包.功能工具包用來擴充MATLAB的符號計算,可視化建模仿真,文字處理及實時控制等功能.學科工具包是專業性比較強的工具包,控制工具包,信號處理工具包,通信工具包等都屬于此類.開放性使MATLAB廣受用戶歡迎.除內部函數外,所有MATLAB主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件,用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構造新的專用工具包.1.3.2MTALAB的功能MATLAB包含的內容非常豐富，功能強大，可以概括為以下幾個方面：a.可以在多種操作系統下運行，如DOS、Windows 95/98/2000/2000/NT、Compaq Alpha、LinuxSun Solaris等。

6、b.有超過500種的數學、統計、科學及工程方面的函數，使用簡單快捷，并且有很強的用戶自定義函數的能力。c. 有強大的圖形繪制和可視化功能，可以進行視覺數據處理和分析，進行圖形、圖像的顯示及編輯，能夠繪制二維、三維圖形，使用戶可以制作高質量的圖形，從而寫出圖文并茂的文章。d. 有和用其他高級語言（如C，C+，FORTRAN，JAVA）編寫的外部程序相接口的能力，也可把MATLAB程序轉換成上述高級語言的子程序。e. 有從外部文件及外部硬件設備讀入數據的能力。f .有豐富的網絡資源，從相關的Web網站可以直接獲得全套的MATLAB聯機幫助文件和說明書的電子文檔，還可以獲得各類技術支持與幫助。南昌航

7、空大學科技學院學士學位論文g. 有豐富的工具箱toolbox。各個領域的專家學者將眾多學科領域中常用的算法編寫為一個個子程序，即m文件，這些m文件包含在一個個工具箱中。其工具箱可以分為兩大類，即功能性工具箱和科學性工具箱。功能性工具箱主要用來擴充MATLAB的符號計算、圖形可視化、建模仿真、文字處理等功能以及與硬件實時交互的功能。學科性工具箱是按學科領域來分類的，如信號處理、控制、通信、神經網絡圖像處理、系統辨識、魯棒控制、模糊邏輯、小波等工具箱。 MATLAB中的信號處理工具箱內容豐富，使用簡便。在數字信號處理中常用的算法，如FFT，卷積，相關，濾波器設計，參數模型等，幾乎都只用一條語句即可

8、調用。數字信號處理常用的函數有波形的產生、濾波器的分析和設計、傅里葉變換、Z變換等，如：波形產生：sawtooth（鋸齒波或三角波）Diric（Dirichlet或周期sinc函數）rand（白噪聲信號波形）square（方波）sinc（sinc或 函數）chirp（chirp信號波形）濾波器的分析：abs（求幅值）angle（求相角）conv（求卷積）freqz（數字濾波器頻率響應）impz（數字濾波器的沖擊響應）zplane（數字系統零極點圖）IIR濾波器設計：butter（巴特沃思數字濾波器）cheby1（切比雪夫I型）cheby2（切比雪夫II型）maxflat（最平濾波器）南昌航空大

9、學科技學院學士學位論文ellip（橢圓濾波器）yulewalk（遞歸數字濾波器）bilinear（雙線性變換）impinvar（沖激響應不變法）FIR濾波器設計：triang（三角窗）blackman（布萊克曼窗）boxcar（矩形窗）hamming（海明窗）hanning（漢寧窗）kaiser（凱塞窗）fir1（基于窗函數法）fir2（基于頻率抽樣法）firrcos（上升余弦FIR濾波器設計法）intfilt（內插FIR濾波器設計法）kaiserord（用Kaiser窗設計FIR濾波器的參數估計）各種變換：czt（線性調頻Z變換）dct（離散余弦變換）fft（一維快速傅里葉變換）fft2（二

10、維快速傅里葉變換）idct（逆離散余弦變換）ifft（一維逆快速傅里葉變換）ifft2（二維逆快速傅里葉變換）hilbert（Hilbert變換）可以看出MATLAB是一個功能十分強大的系統，是集數值計算、圖形管理、程序開發為一體的環境。除此之外，MATLAB還具有很強的功能擴展能力，與它的主系統一起，可以配備各種各樣的工具箱，以完成一些特定的任務。用戶可以根據自己的工作任務，開發自己的工具箱。在國際學術界，MATLAB已經被確認為準 4南昌航空大學科技學院學士學位論文確、可靠的科學計算標準軟件。在許多國際一流學術刊物上，（尤其是信息科學刊物），都可以看到MATLAB的應用。 在設計研究單和工

11、業部門，MATLAB被認作進行高效研究、開發的首選軟件工具。如美國National Instruments公司信號測量、分析軟件LabVIEW，Cadence公司信號和通信分析設計軟件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB為主要支撐。南昌航空大學科技學院學士學位論文第2章 數字濾波器的基本理論2.1數字濾波器概述數字濾波器一詞出現在60年代中期。由于電子計算機技術和大規模集成電路的發展，數字濾波器已可用計算機軟件實現，也可用大規模集成數字硬件實時實現。數字濾波器是對數字信號進行濾波處理以得到期望的響應特性的離散時間系統。作為一種電子濾波器，數字濾波器與完全工作在模擬信號域

12、的模擬濾波器不同。數位濾波器工作在數字信號域，它處理的對象是經由采樣器件將模擬信號轉換而得到的數字信號。數字濾波器的工作方式與模擬濾波器也完全不同：后者完全依靠電阻、電容、晶體管等電子元件組成的物理網絡實現濾波功能；而前者是通過數字運算器件對輸入的數字信號進行運算和處理，從而實現設計要求的特性。應用數字濾波器處理模擬信號時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數轉換。數字濾波器輸入信號的抽樣率應大于被處理信號帶寬的兩倍，其頻率響應具有以抽樣頻率為間隔的周期重復特性，且以折疊頻率即12抽樣頻率點呈鏡像對稱。為得到模擬信號，數字濾波器處理的輸出數字信號須經數模轉換、平滑。數字濾波器具有高精度、高

13、可靠性、可程控改變特性或復用、便于集成等優點。數字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫學生物信號處理以及其他應用領域都得到了廣泛應用。數字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應用最廣的是線性、時不變數字濾波器，以及FIR濾波器。2.2數字濾波器的分類按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。按實現的網絡結構或單位抽樣響應分：無限脈沖響應濾波器（IIR濾波器）、有限脈沖響應濾波器（FIR濾波器），其中 FIR數字濾波器網絡不存在反饋支路，其單位沖激響應為有限長。yn=bxxn-kh(n)k=0Mbn,0nM0,其他n （

14、2-1）IIR數字濾波器網絡存在反饋支路，即信號流圖中存在環路，其單位沖激響應為無限長。南昌航空大學科技學院學士學位論文MNyn=bxxn-k-akyn-kk=0k=1（2-2） 另外，按線性系統它可以被分為線性與非線性，按因果性分因果與非因果等。其中，線性時不變的數字濾波器是最基本的類型；而由于數字系統可以對延時器加以利用，因此可以引入一定程度的非因果性，獲得比傳統的因果濾波器更靈活強大的特性；相對于IIR濾波器，FIR濾波器有著易于實現和系統絕對穩定的優勢，因此得到廣泛的應用；對于時變系統濾波器的研究則導致了以卡爾曼濾波為代表的自適應濾波理論2.3 FIR 數字濾波器的數學模型設 N 階

15、FIR 數字濾波器的單位采樣響應為 hn(n =0,1,.N-1), 則其傳遞函數可表示為Hz=h(n)z-n （2-3）n=0N-1則濾波器的頻率響應為H(ejw)=h(n)e-jwn （2-4）n=0N-1設濾波器的理想頻率響應為Hd（ejw）,對其進行等間隔頻率采樣可得Hd(ejw)|w=2pkN=Hd(k) （2-5）Hd(k) 被認為所設計濾波器的理想頻率響應,公式（2-5）還可寫成Hd(k)= Hd(ejw)|w=2pkN （2-6）采用頻域均方誤差作為設計FIR 數字濾波器的最優化準則,誤差值越小表明設計效果越好。以EF（ejw）表示理想頻率響應與實際頻率響應誤差, 即EF（ej

16、w）= Hd(ejw)- H (ejw) （2-7）在所有的抽樣點上, 可以得到累積均方誤差為EF=Hd(ei=1M2jwi)-H(ejwi) （2-8）其中,M 為抽樣點個數, 公式(6 )可寫作:南昌航空大學科技學院學士學位論文EF=h(n)ejwin-Hd(ejwi) （2-9）i=1n=0MN-12因此設計最優濾波器的目的就是解空間尋找一組h(n)使得EF最小。從濾波器設計的工程角度而言確是應滿足設計者設計指標的多約束優化問題,是在理想最優解附近找到滿足設計指標的濾波器系數。由于局部極值的無限多特性及優化算法求解的隨機性,在高技術指標要求下如不對所求的系數進行約束,就不一定得到設計者需

17、要的濾波器系數,所以濾波器設計的目標函數應為有約束條件。2.4 FIR 數字濾波器的網絡結構2.4.1 FIR 濾波器的特點（1）系統的單位沖激響應是有限長的；（2）系統函數在|z|0平面上，只有零點，沒有極點，所有極點都在z=0處，濾波器永遠是穩定的；（3）結構上主要是非遞歸結構，但有些結構也包含反饋的遞歸部分，比如頻率采樣結構。2.4.2 FIR濾波器實現基本結構在討論任何一種濾波器時，都要著重分析其系統函數，FIR濾波器的系統函數為：H(z)=h(n)znn=0N-1。FIR濾波器實現的基本結構有：1.橫截型（卷積型、直接型）a.一般FIR濾波器的橫截型(直接型、卷積型)結構：若給定差分

18、方程為：y(n)=h(m)x(n-m) 。 則可以直接由差分方程得出FIR 濾波器結構如下圖所示：m=0N-1-1-1-1圖2-1 FIR直接型網絡結構這就是FIR濾波器的橫截型結構，又稱直接型或卷積型結構。b.線性相位FIR濾波器的橫截型結構南昌航空大學科技學院學士學位論文若h(n)呈現對稱特性，即此FIR濾波器具有線性相位，則可以簡化成橫截型結構，下面分情況討論： N為奇數時線性相位FIR濾波器實現結構如圖所示：圖2-2 N為奇數時FIR濾波器網絡結構N為偶數時線性相位FIR濾波器實現結構如圖所示圖2-3 N為偶數時FIR濾波器網絡結構我們知道IIR濾波器的優點是可利用模擬濾波器設計的結果

19、，缺點是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網絡進行校正，比較麻煩，而FIR濾波器的優點是可以方便地實現線性相位。2級聯型將H(z)分解為若干個實系數一階或二階因子相乘：LH(z)=h0(1+b1,kz-1+b2,kz-2)k=1（2-10） 其中1+b1,kz-1+b2,kz-2為二階基本節。圖2-4 FIR濾波器級聯型網絡結構該結構圖中有2L=M個延遲器，2L+1=M+1個乘法器，2L=M個加法器。分析H(z)及結構圖可以得出級聯型的特點：南昌航空大學科技學院學士學位論文每個基本節控制一對零點，便于控制濾波器的傳輸零點。H（z）中的系數比直接型多，因而需要的乘法器多，分解的因子越多，

20、需要的乘法器也越多。3.頻率取樣型若FIR濾波器的沖激響應為有限長(N點)序列h(n)，則有如圖所示的關系：圖2-5FIR濾波器中頻率取樣型h(n)和H（K）關系式中H（k）為頻域采樣值 ,H（z）是h(n)的離散傅里葉變換，H（ejw）是H（z）的頻率響應，H(k)是H（ejw）N等分抽樣。因此，對h(n)可以利用DFT得到H(k)，然后利用內插公式：（2-11）來表示系統函數，這就為FIR濾波器提供了另外一種結構：頻率抽樣結構， 這種結構由兩部分級聯而成：分析系統函數其中級聯的第一部分為：這是一個梳狀濾波器，它濾掉了頻率 （2-12）及其各次諧波。級聯的第二部分為N個一階網絡并聯而成，第k

21、個一階網絡為：（2-13）它在單位圓上有一個極點：這是一個諧振頻率的w=2p/N無損耗諧振器。這個諧振器的極點正好與梳狀濾波器的一個零點(i=k)相抵消，從而使這個頻率上的頻率響應等于H(k)。這樣，N個諧振器的N個極點就和梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而在N個頻率抽樣點上的頻率響應就分別等于N個H(k)值。有上敘的理論分析基礎可以得到FIR濾波器的頻率抽樣結構。南昌航空大學科技學院學士學位論文FIR濾波器的頻率抽樣結構如圖所示：圖2-6 FIR濾波器的頻率抽樣結構頻率抽樣結構的特點是它的系數H(k)就是濾波器在w=2p/N處的響應，因此控制濾波器的頻率響應很方便。頻率抽樣結構存在問題的問題是

22、：在有限長情況下，系數量化后極點不能和零點抵消，使FIR系統不穩定。解決方法：在r圓上進行(r1但近似等于1)取樣，即用rz點移到單位圓內。-1代z-1，使南昌航空大學科技學院學士學位論文圖2-8 N為奇數時的頻率取樣型結構（2-16）4.快速卷積結構若FIR濾波器的單位沖激響應h(n)是一個N1點有限長序列，輸入x(n)是一個N2點有限長序列，那么輸出y(n)是x(n)與h(n)的線性卷積，它是一個LN1+N2-1點的有限長序列。我們知道，將x(n)補上LN2個零值點，將h(n)補上LN1個零值點，然后進行L點圓周卷積，就可以代替原x(n)與h(n)的線性卷積。而圓周卷積可以用DFT和IDF

23、T的方法來計算，這樣我們得到FIR濾波器的快速卷積結構：圖2-9FIR濾波器快速卷積結構這里DFT和IDFT都將采用快速傅里葉變換算法，當N1和N2足夠長時，比直接計算線性卷積要快得多。南昌航空大學科技學院學士學位論文第3章 FIR 數字濾波器設計方法研究3.1 FIR數字濾波器的設計原理FIR濾波器的系統輸入輸出差分方程為：yn=h(k)x(n-k)k=0N-1所以FIR濾波器的系統函數為： Y（Z）N-1H(Z)=h(n)Z-n （3-1） X(Z)n=0由于FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)是一個有限長序列，H (z)是的(N1)次多項式，它在Z平面上有(N1)個零點，同時在原點有(N1

24、)階重極點。因此，H(z)永遠穩定。FIR濾波器設計的任務是選擇有限長度的h(n)，使傳輸函數滿足一定的幅度特性和線性相位要求。由于FIR濾波器很容易實現嚴格的線性相位，所以FIR 數字濾波器設計的核心思想是求出有限的脈沖響應來逼近給定的頻率響應。FIR濾波器目前常用的設計方法有窗函數法和頻率采樣法，窗函數法是從時域進行設計，而頻率采樣法是從頻域進行設計。窗函數法由于簡單、物理意義清晰，因而得到了較為廣泛的應用。窗函數法設計的基本思想是：首先根據技術指標要求，選取合適的階數 N 和窗函數的類型 w(n)，使其幅頻特性逼近理想濾波器幅頻特性。其次，因為理想濾波器的hd(n)是無限長的，所以需要對

25、hd(n)進行截斷，數學上稱這種方法為窗函數法。Hd(e)=hd(n)=jwe-jwa0 |w|wc時為e-jwa，wcwp時為0 (3-2) e-jwaejwadw=sinwc(n-q) (3-3) p(n-a)12pwc-wch(n)= hd(n)RN(n) (3-4) 其中是希望逼近的濾波器的單位脈沖響應，H d(ejw)是希望逼近的濾波器的幅頻特性，h(n)是所設計的濾波器的單位脈沖響應，RN(n)是一個矩陣序列，長度為N。在截斷的過程中要保證FIR濾波器的穩定性與線性相位的特性。由于截斷效應使所設計濾波器的幅頻特性存在誤差，稱之為吉布斯效應。最后，驗證所設計的濾波器是否滿足要求，若不

26、滿足，重新設計。南昌航空大學科技學院學士學位論文常用的窗函數有矩形窗、三角窗、漢寧窗和凱塞窗等。窗函數的選擇一般要滿足以下三個條件：(1)具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度。(2)旁瓣幅度下降速度要快，以利于增加阻帶衰減。(3)主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶。3.2幾種常見的窗函數3.2.1矩形窗矩形窗函數的時域形式可以表示為：1,0nN-1 w(n)=RN(n)=0,其他 (3-5)它的頻域特性為：wNsin2wsin2 (3-6) W(ejw)=eN-1-jw2矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導致變換中帶進了

27、高頻干擾和泄漏，甚至出現負譜現象。3.2.2漢寧窗函數漢寧窗函數的時域形式可以表示為：k k=1,2,L,N (3-7) w(k)=0.51-cos2n+1它的頻域特性為：22-jwW(w)=0.5WR(w)+0.25WRw-+WRw+eN-1N-1N-12 (3-8)其中，WR(w)為矩形窗函數的幅度頻率特性函數。漢寧窗函數的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數的主瓣寬度增加了1倍，為8/N。漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發，漢寧窗優于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當于分析帶寬加寬，頻率分辨率下降。3.2.3海明窗函數南昌航空大學科技學院學士學位論文海

28、明窗函數的時域形式可以表示為: kw(k)=0.54-0.46cos2N-1 k=1,2,L,N (3-9)它的頻域特性為:22W(w)=0.54WR(w)+0.23WRw-+WRw+N-1N-1 (3-10)其中，WR(w)為矩形窗函數的幅度頻率特性函數。海明窗函數的最大旁瓣值比主瓣值低41dB，但它和漢寧窗函數的主瓣寬度是一樣大的，只是加權系數不同。海明窗加權的系數能使旁瓣達到更小。3.2.4三角窗函數 三角窗是最簡單的頻譜函數形式可以表示為：當n為奇數時： n+12k,1k2w(k)=n+12(n-k+1)n+1,knn+12 (3-11) 為非負的一種窗函數。三角窗函數的時域當n為偶數

29、時： n2k-1,1k2w(k)=n2(n-k+1)n,knn2 (3-12)它的頻域特性為：WRe()=ejwN-1-jw2w(N-1)sin24N-1wsin2 (3-13) 2三角窗函數的主瓣寬度為8/N，比矩形窗函數的主瓣寬度增加了一倍，但是它的旁瓣寬度卻小得多。3.2.5 布萊克曼窗(3-14) 15南昌航空大學科技學院學士學位論文增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數為：+0.04(3-15)3.3各種窗函數的特征下表列出了各種窗函數主瓣和旁瓣的特征：表3-1 各窗函數的特征表表中看出不同的窗函數主瓣頻寬和第一旁瓣相對主

30、瓣衰減都不一樣，不同窗函數在這兩方面的特點是不同的，因此應根據具體的問題進行選擇。此外，主旁瓣頻率寬度還與窗函數長度N有關。增加窗函數長度N將減小窗函數的主瓣寬度，但不能減小旁瓣幅值衰減的相對值（分貝數），這個值是由窗函數決定的。例如：繪制矩形窗函數的幅頻響應，窗長度分別為：(1)N=10;(2)N=20;(3)N=50;(4)N=100時的圖形如下：南昌航空大學科技學院學士學位論文圖3-1 不同窗函數長度的幅頻響應由上圖可以看出，隨著N的增大，主瓣和旁瓣都變窄，但第一旁瓣相對主瓣的幅值下降分貝數相同，第二旁瓣相對第一旁瓣幅值下降的分貝數也相同。然而，隨著N的增大，旁瓣數也增多，減少主瓣寬度和

31、抑制旁瓣是一對矛盾，不可兼得，只能根據不同用途折衷處理。3.4 FIR數字濾波器的頻率采樣法設希望逼近的濾波器的頻響函數用Hd(ejw)表示，對Hd(ejw)在w=0到2p之間等間隔采樣N點，得到Hd(k)：Hd(k)=Hd(ejw)|w=2pkN k=0,1,2,N-1 (3-16)再對Hd(k)進行N點IDFT，得到h(n)： 1h(n)=NHk=0N-1d-kn n=0,1,2,N-1 (3-17) (k)WN將h(n)作為設計的FIR濾波器的單位脈沖響應，其系統函數H（z）為H（z）=h(n)z-n (3-18)n=0N-1另外根據頻率域采樣理論，利用頻率域采樣值恢復原信號Z變換的內插

32、公式N-111-z-Njk(z)=X(z)=X(k)jk(z) (3-19) -k-1N1-WNzk=0X(k)表示X（z）的內插公式，jk(z)稱為內插函數。將z=ejw 帶入jk(z)并進行整理化簡，可得南昌航空大學科技學院學士學位論文X（ejw）=X(k)j(w-k=0N-12pk) 稱為頻域內插公式 (3-20) N利用內插公式 （3-20）可表示為1-z-NH（z）=NHd(k) （3-21） -k-1k=01-WNzN-1此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統函數，3.5利用窗口設計法設計FIR數字濾波器的過程：1、首先是給定所要求的頻率響應函數Hd(ejw)；12、

33、其次，求單位沖激響應hd(n)=2ppH-pd(ejw)ejwndw；3、再次，有過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，查表選定窗函數及N的大小，一般N的大小要通過幾次試探而后確定；4、求得所設計的FIR濾波器的單位沖激響應；h(n)=w(n)hd(n)，n=0，1，,N-1；5、求H(e)=h(n)e-jwn，檢驗是否滿足設計要求，如不滿足，則需要重新jwn=0N-1設計。南昌航空大學科技學院學士學位論文一般主要運用FIR和IIR兩種濾波器，現在來分析下各自的優缺點。從性能上來說，IIR濾波器傳遞函數包括零點和極點兩組可調因素，對極點的惟一限制是在單位圓內。因此可用較低的階數獲得高的選擇性，所用的存

34、儲單元少，計算量小，效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位 19南昌航空大學科技學院學士學位論文非線性越嚴重。FIR濾波器傳遞函數的極點固定在原點，是不能動的，它只能靠改變零點位置來改變它的性能。所以要達到高的選擇性，必須用較高的階數；對于同樣的濾波器設計指標，FIR濾波器所要求的階數可能比IIR濾波器高5-10倍，結果，成本較高，信號延時也較大；如果按線性相位要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網絡進行相位校正，同樣要大大增加濾波器的階數和復雜性。而FIR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位。從結構上看，IIR濾波器必須采用遞歸結構來配置極點，并保證極點位置在單位圓內。

35、由于有限字長效應，運算過程中將對系數進行舍入處理，引起極點的偏移。這種情況有時會造成穩定性問題，甚至產生寄生振蕩。相反，FIR濾波器只要采用非遞歸結構，不論在理論上還是在實際的有限精度運算中都不存在穩定性問題，因此造成的頻率特性誤差也較小。此外FIR濾波器可以采用快速傅里葉變換算法，在相同階數的條件下，運算速度可以快得多。另外，也應看到，IIR濾波器雖然設計簡單，但主要是用于設計具有分段常數特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而FIR濾波器則要靈活得多，尤其是他易于適應某些特殊應用，如構成數字微分器或希爾波特變換器等，因而有更大的適應性和廣闊的應用領域。從上

36、面的簡單比較可以看到IIR與FIR濾波器各有所長，所以在實際應用時應該從多方面考慮來加以選擇。從使用要求上來看，在對相位要求不敏感的場合，如語言通信等，選用IIR較為合適，這樣可以充分發揮其經濟高效的特點；對于圖像信號處理，數據傳輸等以波形攜帶信息的系統，則對線性相位要求較高。如果有條件，采用FIR濾波器較好。當然，在實際應用中可能還要考慮更多方面的因素。不論IIR和FIR，階數越高，信號延遲越大；同時在IIR濾波器中，階數越高，系數的精度要求越高，否則很容易造成有限字長的誤差使極點移到單位園外。因此在階數選擇上是綜合考慮的4.3 濾波器階數和系數的確定窗函數的長度就是濾波器的階數，濾波器的系

37、數和窗函數的長度沒有必然的關系，它至于濾波器的截止頻率、過渡帶、阻帶內的衰減等有關。4.3.1 kaiserord函數其調用格式為n,Wn,beta,ftype=kaiserord(f,a,dev)南昌航空大學科技學院學士學位論文n,Wn,beta,ftype=kaiserord(f,a,dev,fs)C=kaiserord(f,a,dev,fs,cell)該函數返回值在函數b=fir1（n，Wn，kaiser（n+1，beta），ftype，noscale）中需要使用的階數n、歸一化頻帶邊緣Wn、kaiser窗函數beta、濾波器類型ftype的估計值。所設計的濾波器近似滿足由輸入參數f、a

38、和dev給定的性能。F為頻率向量，a為f定義的各頻帶的理想頻率響應幅值，f的長度是a的2倍減去2（是偶數），第一頻帶的起始頻率為0，最后一個頻帶截止頻率為fs。向量dev的各元素分別是各頻帶允許的最大偏移量。而c=kaiserord（f，a，dev，fs，cell）返回的是向量組，用于fir1函數的參數。4.3.2 remezord函數remezord函數為remez函數選擇濾波器階數，在給定頻域中的性能指標后，remezord可產生近似的滿足指標的最小階數。函數調用格式如下：n，fo，ao，w=remezord（f，a，dev）n，fo，ao，w=remezord（f，a，dev，fs）c=

39、remezord（f，a，dev，fs，cell）該函數能找出近似階數n、歸一化頻率邊界fo、頻帶內幅值ao、以及權向量w，使由remez函數構成的濾波器滿足參數f、a、dev指定的性能要求。f為頻率向量，長度是參數a的2倍減去2（是偶數），而a為f各頻帶理想頻率響應的幅值，向量dev的元素分別是各頻帶允許的最大偏差。估計函數還包括buttord、cheblord、cheb2ord、ellipord、kaiserord、firpm，它們分別用于各自不同類型的濾波器的階數估計。南昌航空大學科技學院學士學位論文第5章 基于Matlab的FIR濾波器設計實例及仿真5.1 FIR高通濾波器的設計及仿真

40、用窗函數設計法，阻帶達到最小衰減75dB根據要求，選擇布萊克曼窗，窗函數長度為：N=5.98fs/過渡帶寬度=5.98*50/12=24.9，可得出需要階數N=25。根據設計指標：阻帶邊緣頻率10kHz，通帶邊緣頻率22kHz，阻帶衰減75dB，采樣頻率50kHz。可以確定相對應的數字濾波器指標：f1=通帶邊緣頻率-(過渡帶寬度)/2=22000-12000/2=16kHz，通帶截止頻率：1=2f1/fs=0.64，阻帶最小衰減：S=75dB。程序代碼 clear;close all;n=25;wnz=0.64;window=blackman(n);b=fir1(n-1,wnz,high,wi

41、ndow);figure;freqz(b,1);%不同頻率成分f1=1/30;f2=1.4;T=1;%采樣間隔n=0:T:400;%采樣間隔T=1:采樣頻率fs=1/T=1fs=1/T;kf=fs/2;%采樣頻率的一半.用于設計呼指標歸一化x=sin(2*pi*f1*n)+(cos(2*pi*f2*(n-2)/6;%產生輸入信號xk=fft(x);%輸入信號的頻譜分析y=filter(b,1,x);yk=fft(y);figure;subplot(2,1,1);plot(n,abs(xk);南昌航空大學科技學院學士學位論文subplot(2,1,2);plot(n,abs(yk);仿真結果和分

42、析圖5-1 所設計的高通濾波器幅頻特性曲線圖5-2所設計的高通濾波器相頻特性曲線圖5-3濾波前效果圖5-4濾波前后效果南昌航空大學科技學院學士學位論文分析：從MATLAB仿真圖和CCS環境下DSP的濾波結果對比，都達到了高通濾波的效果。較為理想。5.2用窗函數法設計一個線性相位FIR低通濾波器用窗函數法設計一個線性相位FIR低通濾波器，并滿足性能指標:通帶邊界頻率Wp=0.5*pi,阻帶邊界頻率Ws=0.66*pi,阻帶衰減不小于40dB,通帶波紋不大3dB。分析：因為阻帶衰減不小于40db，選擇漢寧窗。程序代碼如下：design FIR filter with windowswp =0.5*

43、pi;ws=0.66*pi;wdelta =ws-wp;N= ceil(8*pi/wdelta)if rem(N,2)=0N=N+1;endNw =N;wc =(wp+ws)/2;n =0: N-1;alpha =(N-1)/2;m =n-alpha+0.00001;hd =sin(wc*m)./(pi*m);win =(hanning(Nw);h=hd.*win;b=h;freqz(b,1,512)南昌航空大學科技學院學士學位論文圖5-5 濾波器的幅度和相位響應特性仿真結果分析：從圖中可以看書所設計濾波器的幅度響應符合設計要求，且相位響應滿足線性相位5.3 FIR帶通濾波器的設計及仿真用窗函

44、數設計FIR帶通濾波器，性能指標如下：通帶下限截止頻率fc1=100HZ，通帶上限截止頻率fc2=200HZ，采樣頻率為1000HZ，階數為81，最小阻帶衰減As=-70dB。分析：從表1可以看出凱澤窗能提供74dB的最小阻帶衰減，所以選用凱澤窗進行設計，程序主要部分如下：M=81;fc1=100fc2=200fs=1000wc1=2*pi*fc1/fs;wc2=2*pi*fc2/fs;alpha=(M-1)/2;n=0:1:(M-1)m=n-alpha+eps;hd=sin(wc2*m)-sin(wc1*m)/(pi*m)w_han=(hanning(M);h=hd.*w_han南昌航空大學

45、科技學院學士學位論文H,w=freqz(h,1,1000,whole);H=(H(1:501);w=(w(1:501);mag=abs(H);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(h,1,w);delta_w=2*pi/1000subplot(221);stem(hd);text(-25,0,3,理想沖擊響應);grid on; axis(0 M-1 -0.1 0.3);ylabel(hdn);subplot(222);stem(w_han);text(-20,1,漢寧窗)；grid on;axis(0 M-1 0 1.

46、1);ylable(wn);subplot(223);stem(h);text(-25,0.3,實際沖擊響應)；grid on; axis(0 M-1 -0.1 0.3);ylable(hn);subplot(224);plot(w/pi,db);text(-0.3,0,衰減幅度);grid on; axis(0 1 -100 0);ylabel(Hw);程序運行結果如圖所示圖5-6 凱澤窗設計的FIR帶通濾波器的響應程序結果如圖5-4所示，濾波器長度為81，最小阻帶衰減為-80dB，滿足設計要求。南昌航空大學科技學院學士學位論文如果不考慮最小阻帶衰減，也可用另外五個窗函數設計，只需修改程序中

47、的加窗函數即可。矩形窗程序修改如下：w_box=(boxcar(M);h=hd.*w_box;圖5-7 矩形窗設計的FIR帶通濾波器的響應程序結果如圖5-5所示，濾波器長度為81，最小阻帶衰減為-21dB。 三角窗程序修改如下：w_tri=(triang(M);h=hd.*w_tri;圖5-8 三角窗設計的FIR帶通濾波器的響應程序結果如圖5-6所示，濾波器長度為81，最小阻帶衰減為-25dB。 27南昌航空大學科技學院學士學位論文漢寧窗程序修改如下：w_han=(hanning(M);h=hd.* w_han ；圖5-9 漢寧窗設計的FIR帶通濾波器的響應程序結果如圖5-7所示，濾波器長度為81，最小阻帶衰減為-44dB。 海明窗程序修改如下：w_ham=(hamm