1、第四章 廠商理論專題本章第一節討論齊次生產函數的性質，和歐拉定理與收入分配。第二節討論不變替代彈性（constant-elasticity-of-substitution，縮寫為CES）生產函數的性質。第三節分別對兩種不同類型的生產，作了庫恩塔克分析。第四節討論了生產函數和成本函數的對偶性，以及謝潑德引理。第五節通過把利潤導入企業家的效用函數，把廠商理論發展到了不確定價格和產出的情形。第六節描述了線性生產函數。第七節展開了線性規劃的基本概念。第一節 齊次生產函數“規模報酬”描述產出對所有投入同比例變動的反應。如果產出以相同的比例增加，則規模報酬不變；如果產出以更大比例增加，則規模報酬遞增；如果

2、產出以更小比例增加，則規模報酬遞減。一些經濟學家假定，當投入量較小時，生產函數展示出遞增的規模報酬；然后經過一個規模報酬不變階段；最后，當投入數量越來越大時，顯示出遞減的規模報酬。一，性質規模報酬可用齊次生產函數描繪：f(tx,tx)=tf(x, tx) （411）其中k是常數，t是任何正實數，則這個生產函數就是k次齊次的，表明兩種投入隨因子t增加，產出隨因子t增加。k1，規模報酬遞增；k=1，規模報酬不變，線性齊次；0k1，規模報酬遞減。k次齊次函數的偏導數，是k-1次齊次函數： ，若生產函數一次齊次，即k1，則x 和x的邊際產量是零次齊次的，當兩種投入成比例變動時，它們保持不變。令t=1/

3、x，則：f(x,x) =f(,1)，f(x,x)=f (,1)邊際產出MP（f1(tx1,tx2)、f2(tx1,tx2)）只取決于兩種要素（x 和x）的比例。齊次生產函數的等產量線的邊際技術替代率RTS取決于所用投入的比例，而非它們的絕對數量，所以它的擴張線是正象限里一條從原點出發的直射線。它把投入組合點與相等的RTS連接起來。二，位似生產函數位似生產函數：齊次生產函數的單調增函數。任何生產函數，只要它能表示成一個齊次函數的單調增函數，則稱它為位似生產函數，并且有與它所基于的齊次函數相同的等產量線，雖然對應于每條等產量線的數量一般不同。三，柯布道格拉斯生產函數：最常用的齊次生產函數之一，是科

4、布道格拉斯生產函數：q= A （412） 其中，00上，這種生產函數嚴格正值遞增擬凹。科布道格拉斯函數產生的擴張線是線性的。有約束的最優化的一階條件要求=因此，擴張線是由隱函數給定： 它描述了在等產量線平面上從原點出發的一條直線。四，歐拉定理和分配歐拉定理：設為齊次函數，則。對t求導，得： 令t=1，則： （413）兩邊除以，得： ， 1f1x1/f， 2f2x2/f1和2分別為對于x1和 x2的彈性，即兩個彈性之和等于齊次性的次數。假定生產函數是齊次生產函數，市場是完全競爭的，從而要素價格等于其邊際生產力，則歐拉定理的經濟含義是兩種要素的收入份額之和等于產出的k倍。即： =若k=1，則：=q

5、 （414）即兩種要素的收入份額之和等于產出。表明如果生產函數是一次齊次的，廠商付給每種投入的供給者以它的邊際實物產量，則總產出應正好耗竭。由于這些條件只為一次齊次的生產函數所滿足，所以，不能假定所有的生產函數都屬于這種類型。如果齊次性的次數大于1，即規模報酬遞增，總支出將超過產出；如果次數小于1，即規模報酬遞減，總支出將小于產出。科布道格拉斯函數被用于邊際生產力分配理論的經驗檢驗。以變量q代表總產出，x和x分別代表勞動和資本的總投入。歐拉定理得到滿足：代入（412），得：如果每種要素付以其邊際產量，總產出分別以和的比例在勞動和資本之間分配。道格拉斯根據總時間序列數據估計了，并且把他的估算與總

6、產出的勞動份額進行了比較。 產品耗竭條件，相當于最大化長期利潤等于零的條件。（414）兩邊同時乘以價格，得： 把利潤最大化一階條件和代入，得： （415）長期總支出等于長期總收益。根據邊際生產力理論的假定，（415）引出了令人吃驚的結論，不管產品價格水平如何，長期利潤等于零。 齊次生產函數的假定，對于邊際生產力理論的產品耗竭條件，并非必要。只要1，利潤最大化的一階和二階條件得到滿足；2，企業家的最大利潤等于零；則不論生產函數是否齊次，邊際生產力理論的假設前提都能滿足。競爭廠商的自由進入和退出，將使條件2得到滿足。條件2要求：代入和（利潤最大化一階條件），再求q的解，得：這里沒有運用歐拉定理，得

7、到了（414）的結果。 并且，在生產函數是一次齊次時，企業利潤最大化的二階條件將無法滿足。這被稱作不確定性問題。對（414）全微分，得：令且兩邊除以，再令且兩邊同除以，分別得到：第一個方程兩邊同減去且求的解，第二個方程兩邊同減去且求的解，得 （416）這樣，如果根據邊際報酬遞減法則，和將是負數，則是正數。由（416），求生產函數的海賽行列式的值，得 這表明企業利潤最大化的二階條件不能得到滿足。因為即便一次齊次生產函數是凹的，但是它不是嚴格凹的，它有線性子區域。盡管存在單個廠商的不確定性問題，一次齊次生產函數仍被常用，且很有意義。為此提出了許多假定。一個可能的假定是：即使部門內部的單個廠商沒有一

8、次齊次生產函數，但整個部門仍擁有這種生產函數。 五，長期成本函數對于有凸性無差異曲線的齊次生產函數，可以建立包括所有投入變量的長期成本函數，設為生產一單位Q的最優投入組合。對應的生產成本是。由于齊次生產函數的擴張線是線性的，所以，全部最優投入組合可以寫成。因此，生產函數和成本方程可以寫成據第一個方程求t的解并代入第二個方程，則總成本函數是且有 一次齊次生產函數有不變的MC和TC以及線性長期總成本函數。當k1，MC始終是遞減的。只有當齊次性的次數小于1時，MC遞增的二階條件才能滿足。 設生產函數，是次的齊次函數：方程（351）給出了這類生產函數的長期成本函數。當時，科布道格拉斯生產函數的成本函數

9、是，其中， 第二節 CES生產函數屬于CES類型的生產函數，有兩個重要特性：（1）它是一次齊次的；（2）它有不變的替代彈性（見第四章第一節）。缺少一個或兩個這些特性的生產函數，都不屬于CES類型的。第三章第一節說明，生產函數有不變的單位替代彈性。因此，所有這種類型的生產函數都滿足特性（2）。然而，對于科布-道格拉斯生產函數，只有當時，特性（1）才能滿足。生產函數是一次齊次的，但是，它沒有不變的替代彈性，因而不屬于CES類型的函數。一，性質 前面的方法已經表明，CES類型的生產函數可以表達成這樣的形式： （421）（5-7）其中，參數且。很容易證明（421）是一次齊次的：投入的邊際產量： 在定義

10、域內，它們是正數。技術替代率是： （422）（5-8）當時，RTS遞減，等產量曲線是凸的。這也證明，對于定義域，CES生產函數嚴格正值擬凹。把（416） 代人（3326）可得一次齊次生產函數替代彈性的表達式根據歐拉定理，得： （423）（5-9）根據（421）， 據此計算（423），得： （424）（5-10）可知參數是與不變替代彈性緊密關聯。不等式，相當于。二，等產量線由CES函數而產生的凸等產量曲線的具體斜率，取決于的值。兩個極限和三個中間情形，描述了可能的等產量線形狀。情形1，。在極限上，替代不可能的，如果，則RTS（422）趨向于零；如果，則RTS（422）趨向于。等產量線的曲率趨向直

11、角。情形2，。（421）的等產量線可以寫成： （425） (5-11)其中對于任何選定的q的正值，K是一個正的常數。（425）左邊的任一項都不可能是負數。因此無一項能超過K。當時，。由于的值上存在一個上限K，所以不可能等于零。同理，也不可能為零。這樣，等產量線既不可能中斷，也不可能達到坐標軸。它趨近于和。情形3，。當時，CES生產函數變成科布道格拉斯函數。這一性質由（421）是不能直接看清楚的。這一性質只能用羅彼塔法則來確定。該法則表明，如果 ，且，則。對（421）兩端求自然對數，得：當時，。取分子的導數，得：時，上式收斂于。同時。據羅彼塔法則，得：兩邊取消對數，得科布道格拉斯函數：情形4，。

12、（425）左邊項的指數都是正數。等產量線將達到兩個坐標軸。如果，則，如果，則。情形5，。在極限情形下，（425）左邊兩項的指數都為1。等產量線是直線。在這種極限情形下，投入是完全替代的。三，均衡條件CES生產函數（421）用起來很困難。可是它的RTS很簡單，這是它能廣泛運用的原因之一。根據（424）把代入（422），均衡時RTS等于投入價格比率，得：RTS從而 （426）（5-12）其中，。根據（426）能夠證明，不變替代彈性也是投入使用比率對于投入價格比率的不變彈性。（426）表明，投入使用比率是投入價格比率的一個簡單冪函數。由于它的對數是線性的，所以，參數和服從于由線性回歸分析根據時間序列

13、數據所作的估計。如果和分別是勞動和資本，則（426）表明，隨著工資資本租費比率的變動，特定物品的資本勞動比率如何變動。四，一般化的CES生產函數前面把CES生產函數規定為一次齊次的。在這里，要概述包含齊次性的任何次的生產函數。考慮生產函數 （427）（5-13）其定義域為，其中B，a, k都是正數。這個函數是k次齊次的：MP為 函數（427）可以表達成（421）的正單調變換。等產量線不會受這種變換影響。這樣，（427）的RTS由（422）給定，替代彈性由（424）給定，有約束的成本最小化的一階條件由（426）給定，如果k1，則（4-2-7）是嚴格凹的，利潤最大化的一階條件有意義。第三節 庫恩塔

14、克條件庫恩塔克條件對于廠商理論中各專題的廣泛分析具有重要作用。設函數： y=f(x)庫恩塔克條件：dy/dx0，x(dy/dx)=0，x0y yx x一、投入選擇 假定企業家有包括兩種投入的生產函數：其中，是企業家生產的的數量，是她在市場上按每單位美元的固定價格購買的數量。全部第二種投入的數量，都是以每單位美元的固定價格購買的。關于投入的企業家的生產函數是其中，是用于生產的第三種投入的數量。它的固定價格是，假定暗含。 利潤最大化的相應的拉格朗日函數是：假定兩個生產函數都是凹的，利潤最大化的庫恩-塔克條件為 （431）（5-14） 它要求五個變量都不是負數。 有三種可能的一般結果：（1）投入是購

15、買的，而不是生產的；（2）投入是產出的，而不是購買的；（3）投入既有生產的，也有購買的。實際的情形由的邊際生產成本與它的邊際產品的價值的比較來決定。根據（431）的第一個和第四個不等式得：同時，由第二個不等式得：如果投入是購買的，而不是生產的，即，則（431）的均衡關系式產生。如果投入是生產的，而不是購買的，即，則。最后，如果投入既生產又購買，則均衡邊際生產成本等于投入的市場價格。二、分段性勞動合同至今為止一直假定企業家可以按固定價格購買所需要數量的投入，容易找到這種假設的反例。假定企業家根據合同可以按現行工資率w購買不超過單位的勞動。但如果要購買更多單位的勞動，就必須支付加班津貼。具體地說，

16、假定可以按1.5w（即一倍半工資率）再購買最多0.2的新增單位，以2w（即雙倍工資率）再購買最多0.2的新增單位。令，和分別表示常規勞動、一倍半工資勞動、雙倍工資勞動，則勞動需要受下列不等式約束： （432）（5-15）資本只是另一種投入，生產由凹性生產函數決定。在這種情形下，拉格朗日函數是：（433）（5-16）其中，和分別是固定的產出價格和資本價格。庫恩-塔克條件為： 要求七個變量都不是負數。回想，其中，表示最優值，則這些變量可以解釋為三種勞動中每種勞動的影子利潤，勞動的MP超過付給勞動的工資的數量。依據參數值，有下列七種可能情形：1 2 3 4 5 6 7 企業家盡力使勞動的MP等于相應

17、工資率。在情形1，沒有任何合意的生產。三種工資率之一出現在情形2，4和6。在情形3和5中，勞動的MP的最優值處于兩種工資率之間；在情形7中，所有的勞動都被利用，勞動的MP的最優值可能超過雙倍勞動工資。第四節 生產中的對偶性在第三章第四節中，進行了對偶性分析。經過稍微修正，這種分析可運用于成本約束下的廠商的產出最大化。然而對于廠商來說，產出約束下的成本最小化是一個更有趣的問題，廠商對偶性的焦點就是這個問題。廠商的重要對偶性，存在于生產函數和成本函數之間。在第四章第四節里，討論了根據生產函數而推導出來的成本函數的導數。這里將考慮由成本函數推導出來的生產函數的導數。考慮規定廠商的等產量線和這種產出下

18、成本最小化的一階條件：。為得投入函數解這些方程，則 （441）（5-17）其中，和是成本最小的兩種投入，它們是投入價格比率和規定產出水平的函數。現在對成本方程微分，給定（441）和一階條件，則 （442） (5-18)其中，是有約束的成本最小化問題中的拉格朗日乘數。括號里的項沿等產量線等于。方程（442）就是著名的謝潑德引理（Shephards lemma）。成本函數（351）對于投入價格的偏導數，等于投入的成本最小值。 （443）（5-19）由于可變成本函數在投入價格上是一次齊次的，所以其偏導數在投入價格上是零次齊次的，且決定于投入價格比率，而不是絕對投入價格。在相應的條件下，（443）的兩

19、個方程可以求出兩個變量和的解，而的解規定基本（underlying）生產函數。不過在實踐上，求解（443）可能非常困難。典型的對偶性定理表明，（1）給定特定的正則性（regularity）條件，則凹生產函數產生關于投入價格的一次齊次成本函數；（2）給定特定的正則性條件，則關于投入價格的一次齊次成本函數產生凹生產函數；（3）由具體的生產函數而推導出來的成本函數，反過來將產生生產函數。作為一個例子，考慮成本函數（352），其中。它產生于生產函數。在此情形下，方程（443）為根據這些方程求解q最容易不過。第一個方程兩邊同增加到次冪，第二個方程兩邊同增加到次冪，再兩個相乘。這將產生生產函數。第五節 不確定情形下的生產第二章第八節和第九節的期望效用分析，可用于不確定情況下的廠商。假定生產者有一個效用函數，其中利潤是自變量，而且它遵從馮紐曼摩根斯頓公理。這一節提出兩個例子。第一個例子中產出確定，價格處于不確定性之中；第二個例子里價格確定，產出處于不確定之中。一、假定產出價格可能分別以的概率實現n種不同的價格之一，。廠商的期望利潤：令產出的導數為零，則： （451）（5-20）是價格期望值。為了最大化期望利潤，企業家將使期望價格等于邊際成本，不確定性的導入，對分析沒有太大影響