1、動(dòng) 量一.沖量、動(dòng)量定理1.沖量：I=Ft，相當(dāng)于F-t圖象的面積。2.動(dòng)量定理：Ft=mv2-mv1(是矢量關(guān)系)。3.動(dòng)量定理的推廣：。1. 如圖所示,水平面上有二個(gè)物體A和B,質(zhì)量分別為mA=2Kg,mB=1Kg,A與B相距一定的距離,A以v0=10m/s的初速度向靜止的B運(yùn)動(dòng),與B發(fā)生正碰后分開,分開后A仍向原方向運(yùn)動(dòng),已知A從開始運(yùn)動(dòng)到停下來(lái)共運(yùn)動(dòng)6s時(shí)間.求碰后B能滑行的時(shí)間.(略去A、B的碰撞時(shí)間,A和B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為0.1,重力加速度g=10m/s2) （答案：8s） 解：對(duì)系統(tǒng)，有動(dòng)量定理：-mmAgtA-mmBgtB=0-mAv0,tB=8s. 2. 以速度大小

2、為v1豎直向上拋出一小球,小球落回地面時(shí)的速度大小為v2,設(shè)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受空氣阻力大小與速度大小成正比,求小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.答案：(v1+v2)/g 解:因小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力大小是變化的,所以無(wú)法直接用牛頓定律解,把物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成無(wú)數(shù)段,則。上升過(guò)程，有動(dòng)量定理:-mgDt-kvDt=mDv,求和得:mgt上+ks=mv1.同理下落過(guò)程:mgt下-ks=mv2.兩式相加得:t=t上+t下=(v1+v2)/g. 3. 質(zhì)量為m的均勻鐵鏈,懸掛在天花板上,其下端恰好與水平桌面接觸,當(dāng)上端的懸掛點(diǎn)突然脫開后,求當(dāng)有一半的鐵鏈在水平桌面上時(shí),鐵鏈對(duì)桌面的壓力. （答案：3mg/2）

3、解:設(shè)鐵鏈長(zhǎng)為L(zhǎng),則單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m/L,當(dāng)有一半的鐵鏈在水平桌面上時(shí),鐵鏈對(duì)桌面的壓力為:桌面上的鐵鏈的重力F1=mg/2和落到桌面上的鐵鏈對(duì)桌面的沖力F2之和. 取剛落到桌面上的一小段鐵鏈作為研究對(duì)象,它的初速度v0=,末速度v=0,質(zhì)量Dm=v0Dtm/L. 有動(dòng)量定理:所以鐵鏈對(duì)桌面的壓力F=F1+F2=3mg/2.(F2不能用動(dòng)能定理,為什么?) 4. 一根均勻柔軟繩長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為m,對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上.其中一端突然從釘子上脫落,如圖所示.求下落端的端點(diǎn)離釘子的距離為x時(shí),釘子對(duì)繩子另一端的作用力.答案：mg(1+3x/L) 解:當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為x時(shí),左邊繩長(zhǎng)為x=

4、(L-x),速度.右邊繩長(zhǎng)為(L+x),又經(jīng)一段很短時(shí)間Dt后,左邊的繩子又有長(zhǎng)度為vDt的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了,我們就分析這一小段繩子,這一小段繩子受兩個(gè)力作用:上面繩子對(duì)它的拉力T和它本身的重力vDtlg(l=m/L,為繩子的線密度),根據(jù)動(dòng)量定理(不能用動(dòng)能定理,因在繩子受T的作用過(guò)程有動(dòng)能損失),設(shè)向上方向?yàn)檎?(T-vDtlg)Dt=0-(-vDtlv),由于Dt取得很小,因此這一小段繩子的重力相對(duì)于T來(lái)說(shuō)是很小的，可以忽略。所以T=v2l=gxl,因此釘子對(duì)右端繩的作用力F=(L+x)gl+T=mg(1+3x/L). 5. 如圖所示,質(zhì)量為M小車在光滑的水平面上以v的速度向左作勻速

5、直線運(yùn)動(dòng).一質(zhì)量為m的小球從高為h處自由下落,與小車碰撞后,反彈上升的高度仍為h,小球與小車碰撞時(shí),小球受到小車的彈力N>>mg,小球與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m,求小球彈起后的水平速度。答案：或Mv/(M+m) 解：小球剛落到車上量的豎直速度。設(shè)小球碰后的水平速度為v ¢，豎直方向速度改變量為2v0，平均支持力為N，在豎直方向：Nt=2mv0,在此過(guò)程中摩擦力產(chǎn)生的沖量:ft=mNt=2mmv0,根據(jù)動(dòng)量定理：2mmv0=mv¢,得小球彈起后的水平速度v¢=2mv0= 若2mmv0>mv ¢,實(shí)際上小球離開小車前摩擦力消失，小球的水平速度

6、與小車相等。有動(dòng)量守恒定律：Mv=(M+m)v¢,得小球彈起后的水平速度v ¢=Mv/(M+m). 二.動(dòng)量守恒定律：m1v1+m2v2=m1v1¢+m2v2¢.6. 光滑水平面上有一平板車，質(zhì)量為M,上面站著質(zhì)量為m的人,共同以v0的速度前進(jìn),若人相對(duì)于車以v的水平速度跳出，求下列情況下人跳出車后車的速度大小。（1）人向后跳出。（2）人向前跳出。答案：（1）；（2） 解（1）設(shè)人跳出車后車的速度為v ¢,若選定向前為正方向，則人對(duì)地的速度為v ¢-v有動(dòng)量守恒：(M+m)v0=Mv ¢+m(v ¢-v),得。若選

7、定向后為正方向，人對(duì)地的速度v-v ¢(向后)，則：(M+m)v0=Mv ¢-m(v-v ¢),得。 （2）設(shè)人跳出車后車的速度為v ¢（向前）,則人對(duì)地的速度v ¢+v有動(dòng)量守恒：(M+m)v0=Mv ¢+m(v ¢+v),得。車對(duì)地的速度v ¢(向后)：(M+m)v0=-Mv ¢+m(v-v ¢),得（負(fù)號(hào)向前）。 1.當(dāng)速度方向不在一直線上時(shí)的動(dòng)量守恒：正交分解7. 如圖所示，光滑水平面上有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的平板小車,其質(zhì)量為M，車左端站著一個(gè)質(zhì)量為m的人,車和人都處于靜止?fàn)顟B(tài)，若人要從車的左端剛

8、好跳到車的右端，至少要多大的速度（對(duì)地）。（答案：） 解：設(shè)人起跳的速度大小為v0,與水平面的夾角為a，則人的水平位移：，對(duì)人而言，a=45°時(shí)，x1最大，v0可最小，但車向左在運(yùn)動(dòng)，x與車的速度有關(guān)。有水平方向動(dòng)量守恒：-Mv+mv0soca=0,得車的速度v=mv0soca/M, 人落到車的右端條件：，得起跳的速度大小：，當(dāng)a=45°時(shí)， v0最小，起跳的最小速度：。 8. 有一個(gè)質(zhì)量及線度足夠大的水平板,它繞垂直于水平板的豎直軸以角速度w旋轉(zhuǎn).在板的上方h處有一群相同的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),它們以板的轉(zhuǎn)軸為中心、R為半徑均勻地在水平面內(nèi)排成一個(gè)圓周(以單位長(zhǎng)度內(nèi)小球的個(gè)

9、數(shù)表示數(shù)線密度).現(xiàn)讓這些小球同時(shí)從靜止?fàn)顟B(tài)開始自由落下,設(shè)每個(gè)球與平板發(fā)生碰撞的時(shí)間非常短,而且碰撞前后小球在豎直方向上速度的大小不變,僅是方向相反.而在水平方向上則會(huì)發(fā)生滑動(dòng)摩擦,滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m.（1）求這群小球第二次和第一次與平板碰撞時(shí)小球數(shù)線密度之比。(2)如果（g為重力加速度）且，求這群小球第三次和第一次與平板碰撞時(shí)小球數(shù)線密度之比。答案：（1）；(2) 解(1):設(shè)總數(shù)為N,則第一次l1=N/2pR,在這些小球中任取一只,剛碰時(shí),設(shè)碰撞時(shí)間Dt,平均力為F,其豎直速度不變,所以FDt=2mv0,板有切線方向的速度v1=R.這樣使小球在切線方向獲得速度v2.當(dāng)v2<v1時(shí),則

10、fDt=mv2,或mFDt=mv2,得v2=2mv0=當(dāng)v2³v1時(shí),則f作用時(shí)間小于Dt,v2=wR.第一次和第二次碰撞點(diǎn)的水平距離: 第二次與平板碰撞時(shí)離圓心的距離（即半徑）。 （2）如果取的結(jié)果，得，由，得到，這與題設(shè)條件相矛盾。 如果取的結(jié)果，得，由，得到，這與題設(shè)條件相符合。因此取，將代入L后得。在第二次碰撞中，每個(gè)小球在豎直方向上仍有FDt=2mv0,在碰撞前小球?qū)Φ氐乃俣葹椋鲎颤c(diǎn)板對(duì)地的速度為，它們間的夾角a=45°，有，得球相對(duì)板的速度，因第一次和第二次與板碰撞時(shí)與板的相對(duì)速度相同，那么在的條件下，而平板對(duì)小球的摩擦力與相對(duì)速度方向相反，碰撞結(jié)束前小球已處

11、于相對(duì)靜止，碰后的速度為，它的水平射程于是第三次相碰時(shí)這群小球?qū)?yīng)的半徑， 2.當(dāng)外力不零時(shí)的動(dòng)量守恒：當(dāng)物體間作用時(shí)間極短時(shí)，可忽略外力的沖量，動(dòng)量守恒9. 質(zhì)量為m的重錘從高為H處自由下落,打在質(zhì)量也為m的木樁上,設(shè)重錘與木樁為完全非彈性碰撞(碰撞后速度相同),木樁受到地的阻力與木樁進(jìn)入地內(nèi)的深度成正比，即f=kx(k為已知的常數(shù)，x是木樁打入地內(nèi)的深度)，設(shè)每次重錘下落的高度相同，地對(duì)木樁的阻力比重力大得多。求（1）第一次打入的深度。（2）第n次打入的深度。答案：（1）；（2） 解（1）:重錘自由下落過(guò)程,有機(jī)械能守恒定律得，重錘打擊木樁過(guò)程,有動(dòng)量守恒定律得mv0=2mv,得共同速度v

12、=v0/2,木樁打入地過(guò)程,因f>>2mg,忽略重力,有動(dòng)能定理(kx1/2)x1=2mv2,得。 （2）因每次打擊木樁后的共同速度相同，所以每次克服阻力做的功相同。第二次：，打入的深度。第三次：，打入的深度。同理，第n次打入的深度。 每次阻力做的功可用f-x圖象或者解。 10. 如圖所示,固定在小車上的彈簧發(fā)射器以及小車的質(zhì)量為3m,發(fā)射筒與水平面成450角,小車放在光滑水平面上,被發(fā)射的小球質(zhì)量為m,現(xiàn)將彈簧壓縮L后放入小球,從靜止開始,將小球彈射出去.已知小球的射高為H,不計(jì)小球在發(fā)射筒內(nèi)的重力勢(shì)能變化.試求彈簧的勁度系數(shù)k. （答案：） 解:此題最易犯的錯(cuò)誤是認(rèn)為小球的出口

13、速度方向與水平面成450, 實(shí)際上由于小車向后運(yùn)動(dòng),發(fā)射的小球拋射角a>45°。 設(shè)小球剛射出時(shí)對(duì)地速度的分量分別為vx及vy ,車的速度為v.有系統(tǒng)在x方向動(dòng)量守恒mvx=3mv-(1)在發(fā)射過(guò)程中,有機(jī)械能守恒-(2)小球的豎直速度與射高的關(guān)系-(3)再有小球的速度與相對(duì)速度的關(guān)系-(4)有以上四個(gè)方程得. 11. 如圖所示,小車的質(zhì)量M =1Kg,左端放一質(zhì)量m=2Kg的鐵塊（可看成質(zhì)點(diǎn)）,鐵塊和小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)m=0.5,起先小車和鐵塊一起以v0=6m/s的初速度在光滑地面上向右滑行,然后與豎直的墻發(fā)生碰撞,且碰撞過(guò)程中不損失機(jī)械能.求(1)要使鐵塊不從小車上滑出,則

14、小車的長(zhǎng)度至少要多長(zhǎng)?(2)若小車足夠長(zhǎng),則小車與墻第一次相碰后所通過(guò)的總路程為多少?答案：（1）5.4m；(2)4.05m 解（1）因M<m,物體最后停在墻邊，有能量守恒定律：，得L=5.4m。 (2)第一次碰撞后小車以v1=v0向左彈回,其a=mmg/M=10m/s2,向左滑行最遠(yuǎn)時(shí)小車的速度為零，最遠(yuǎn)距離為=1.8m;有動(dòng)量守恒,以v2=v1/3的共同速度運(yùn)動(dòng)（速度相同前小車會(huì)不會(huì)與墻碰撞？）第二次碰撞后小車向左滑行的距離為同理.所以小車的總路程:s總=2(s1+s2+s3+ LL)=2 s1=m 3.連接體12. 質(zhì)量分別為m1、m2和m3的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B、C位于光滑的水平面上,

15、用已拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟的輕繩AB和BC連結(jié),角ABC為p-a,a為一銳角,如圖所示,今有一沖量為J 的沖擊力沿BC方向作用于質(zhì)點(diǎn)C.求質(zhì)點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度.（答案：） 解:設(shè)A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)物體的速度分別為v1,v2,v3,求v1,因m1只受到BA繩的拉力,m3只受到BC繩的拉力,所以當(dāng)A剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)v1沿AB方向,v3沿BC方向,設(shè)v2與BC夾角為q,沿BC方向動(dòng)量定理：J =m1v1cosa+m2v2cosq+m3v3 垂直BC方向動(dòng)量守恒m1v1sina=m2v2sinq沿繩方向速度相等(繩不可伸長(zhǎng))v1=v2cos(a+q),v3=v2cosq 得: 13. 如圖所示，三個(gè)質(zhì)量都是m的

16、剛性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（圖中紙面），A、B之間，B、C之間分別用剛性輕桿相連，桿與A、B、C的各連接處皆為“鉸鏈?zhǔn)健钡模ú荒軐?duì)小球產(chǎn)生垂直于桿方向的作用力）已知桿AB與BC的夾角為p-a，a<p/2DE為固定在桌面上一塊擋板，它與AB連線方向垂直現(xiàn)令A(yù)、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB連線方向向DE運(yùn)動(dòng)，已知在C與擋板碰撞過(guò)程中C與擋板之間無(wú)摩擦力作用，求碰撞時(shí)當(dāng)C沿垂直于DE方向的速度由v變?yōu)榱氵@一極短時(shí)間內(nèi)擋板對(duì)C的沖量的大小（答案：） 解：令I(lǐng)表示極短時(shí)間Dt內(nèi)擋板對(duì)C沖量的大小，因?yàn)閾醢鍖?duì)C無(wú)摩擦力作用，可知沖量的方向垂直于DE，如圖所示；表示B、C間的桿對(duì)B

17、或C沖量的大小，其方向沿桿方向，對(duì)B和C皆為推力；表示Dt末了時(shí)刻C沿平行于DE方向速度的大小，表示Dt末了時(shí)刻B沿平行于DE方向速度的大小，表示Dt末了時(shí)刻B沿垂直于DE方向速度的大小有動(dòng)量定理，對(duì)C有，對(duì)B有，對(duì)AB有B、C沿桿方向的分速度必相等故有有以上五式，可解得 三.碰撞1.完全非彈性碰撞：碰后v1¢=v2¢=v,只有壓縮過(guò)程，動(dòng)能損失最大。動(dòng)量守恒：m1v1+m2v2=(m1+m2)v.2.完全彈性碰撞：能恢復(fù)原狀，無(wú)機(jī)械能損失。由動(dòng)量守恒：m1v1+m2v2=m1v1¢+m2v2¢，或m1(v1-v1¢)=m2(v2¢-

18、v2)機(jī)械能守恒：，或m1(v1-v1¢)(v1+v1¢)=m2(v2¢-v2)(v2¢+v2)。解得碰后的速度：。討論：當(dāng)m1=m2時(shí)，v1¢=v2,v2¢=v1.速度交換。 當(dāng)一個(gè)物體靜止時(shí)，如v2=0, . 當(dāng)v2=0且m1<<m2時(shí)，v1¢=-v1,原速?gòu)椈豽2¢=0; 當(dāng)m1>>m2時(shí)，v1¢=v1,v2¢=2v1.3.一般碰撞： 由動(dòng)量守恒：m1v1+m2v2=m1v1¢+m2v2¢.機(jī)械能關(guān)系：。4.恢復(fù)系數(shù)： （在力作用方向上速度分量）

19、。彈性碰撞:v2¢-v1¢=v1-v2,e=1（相對(duì)速度大小不變）.其它碰撞：e<1.14. 如圖所示,質(zhì)量為3m的物體P靜止在光滑的水平面上,另有一質(zhì)量為m的物體Q以速度v0正對(duì)P滑行,則碰撞后Q的速度可能是( )A.v0/2,方向向右 B.v0/5,方向向右C.v0/3,方向向左 D.2v0/3,方向向左（答案：BC）15. 網(wǎng)球拍以速率v擊中以速率v0飛來(lái)的網(wǎng)球,被擊回的網(wǎng)球最大速率可能為多少？（答案：2v+v0） 解：最大速率可能：網(wǎng)拍連人的質(zhì)量無(wú)限大，作用前后速度不變。碰撞為彈性碰撞，作用前后相對(duì)速度不變。所以v+v0=v¢-v,得v¢=

20、2v+v0. 16. 如圖所示,兩個(gè)彈性小球互相接觸,下面小球的質(zhì)量為M,上面小球的質(zhì)量為m,讓兩個(gè)小球從高為h處由靜止開始自由下落.下落時(shí)這兩個(gè)小球的球心始終在一條豎直線上,與地碰撞后彈起,而且所有碰撞均為彈性碰撞(設(shè)M>>m,兩小球均可看成質(zhì)點(diǎn)).上面這個(gè)小球反彈后能達(dá)到的最大高度.（答案：） 解:小球著地時(shí)的速度為v=。 下面的小球先與地面碰撞后，仍以v的速度彈起,與上面小球碰撞,碰撞前兩小球的相對(duì)速度大小為2v.因M>>m,且是彈性碰撞,兩小球碰撞后,下面的小球速度不變,兩小球的相對(duì)速度大小也不變,所以上面小球反彈的速度大小為3v,得上面小球反彈的最大高度. 四

21、.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律1.質(zhì)心：xc=(m1x1+m2x2+××××)/(m1+m2+×××),質(zhì)心和重心不一定重合。2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：F合=MaC。當(dāng)F合=0時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速運(yùn)動(dòng)或靜止，其速度為。質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量P總=M總vc，相對(duì)質(zhì)心的總動(dòng)量P總=0。17. 如圖所示,一長(zhǎng)直光滑板AB放在平臺(tái)上,OB伸出臺(tái)面,在左側(cè)的D點(diǎn)放一質(zhì)量為m1的小鐵塊,它以初速度v向右運(yùn)動(dòng).假設(shè)直板相對(duì)桌面不發(fā)生滑動(dòng),經(jīng)時(shí)間T0后直板翻倒.現(xiàn)讓直板恢復(fù)原狀,并在直板O點(diǎn)放上另一質(zhì)量為m2的小物體,同樣讓m1從D點(diǎn)開始以v的速度向右運(yùn)動(dòng),并與m2發(fā)生正

22、碰,那么從m1開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)多少時(shí)間直板翻倒? （答案：） 解:這道題因?yàn)槲凑f(shuō)明m1和m2碰撞性質(zhì),因些進(jìn)行具體的計(jì)算有一定的困難.我們可以用質(zhì)心定律來(lái)解,即把m1和m2作為一個(gè)物體,它們的質(zhì)心作勻速運(yùn)動(dòng). 第一種情況：第一次m1在滑到O點(diǎn)前直板翻倒,因m2對(duì)O點(diǎn)不產(chǎn)生力矩,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不變,T=T0）。 第二種情況：若第一次m1滑過(guò)O點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)后直板翻倒,則.設(shè)E是直板質(zhì)心的位置,M是直板的質(zhì)量,則有m1gL=MgOE. 第二次設(shè)m1和m2的質(zhì)心在板的C點(diǎn),則可以把m1和m2看作是有質(zhì)心C點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng),OC=DO,質(zhì)心的速度為vc=v,再設(shè)質(zhì)心滑過(guò)O點(diǎn)離O點(diǎn)距離為x時(shí)直板翻倒,應(yīng)有(m1

23、+m2)gx=MgOE=m1gL,得x=L,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=. 18. 一根質(zhì)量為M均勻的麥管放在無(wú)摩擦的水平桌面上,麥管有一半突出桌子外,一只質(zhì)量為m的蒼蠅降落到麥管在桌內(nèi)末端上,并從麥管的末端爬到另一端.麥管沒有傾覆.甚至當(dāng)有另一只蒼蠅在此時(shí)落到第一只蒼蠅身上時(shí),麥管也沒有傾覆,問(wèn)第二只蒼蠅質(zhì)量最大值是什么?答案：M£m,則B³L, 第二只蒼蠅的質(zhì)量可任意值; M>m, 解:設(shè)麥管的長(zhǎng)度為L(zhǎng),因?yàn)樽烂鏌o(wú)摩擦,水平方向無(wú)外力作用,蒼蠅移動(dòng)到另一端時(shí),設(shè)蒼蠅的位移為A,麥管向里移動(dòng)B。由動(dòng)量守恒,蒼蠅和麥管在任一時(shí)刻的動(dòng)量大小關(guān)系Mv麥=mv蒼,或Mv麥Dt=mv蒼Dt

24、，兩邊求和得MB=mA，且B+A=L,得-或由質(zhì)心定律，對(duì)末端，質(zhì)心的位置 (1)如果M£m,則B³L,即整根麥管在桌內(nèi),第二只蒼蠅的質(zhì)量可任意值. (2)如果M>m,設(shè)第二只蒼蠅的質(zhì)量為m¢,求第二只蒼蠅質(zhì)量的最大值,可把第二只蒼蠅降到第一只蒼蠅時(shí)的速度認(rèn)為是零.由力矩平衡條件MgB³(m+m¢)g(L-B)-由、式得,第二只蒼蠅質(zhì)量的最大值. 19. 在光滑水平面上放置一個(gè)質(zhì)量為M,截面是1/4圓(半徑為R)的柱體A,如圖所示.柱面光滑,頂端放一質(zhì)量為m的小滑塊B.初始時(shí)刻A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài),在固定的坐標(biāo)系xoy中的位置如圖所示,設(shè)

25、小滑塊從圓柱頂端沿圓弧滑下,試求小滑塊脫離圓弧以前在固定坐標(biāo)系中的軌跡方程.答案： 解:設(shè)A的坐標(biāo)(相對(duì)圓心)為(x1、0),B的坐標(biāo)為(x2、y2),如圖所示.有質(zhì)心定律mx1-Mx2=0幾何關(guān)系Rsina=x1+x2， Rcosa=y2消去a和x1,得顯然B的軌跡是半長(zhǎng)軸為R(在y方向),半短軸為MR/(M+m)(在x方向)的橢圓的一部分. 20. 如圖所示，質(zhì)量為M的剛性均勻正方形框架在某邊的中心開一個(gè)小缺口，缺口對(duì)質(zhì)量分布的影響可以忽略，將框架靜止地放在以紙平面為代表的光滑水平面上，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的剛性小球在此水平面上從缺口處以速度v0進(jìn)入框架內(nèi)，方向如圖所示，a=45°。設(shè)

26、小球與框架發(fā)生的碰撞均為無(wú)摩擦的完全彈性碰撞。（1）若框架的邊長(zhǎng)為a，求小球從進(jìn)入框架到離開框架這一過(guò)程中，小球相對(duì)水平面的位移大小。（2）小球離開框架時(shí)，框架的速度大小。答案：（1）;（2） 解：（1）小球與框架碰撞時(shí)，小球?qū)蚣艿淖饔昧Φ淖饔镁€通過(guò)框架的質(zhì)心，框架只作平動(dòng)。以框架為參照物，因碰撞是彈性碰撞，小球與框架碰撞前后小球相對(duì)框架的速率不變，所以小球從進(jìn)入框架到離開框架這一過(guò)程中所用的時(shí)間，系統(tǒng)質(zhì)心的速率在t時(shí)間內(nèi)質(zhì)心的位移大小因小球離開框架時(shí)相對(duì)質(zhì)心的位置與初狀態(tài)相同，所以小球從進(jìn)入框架到離開框架這一過(guò)程中位移 （2）設(shè)小球離開框架時(shí)，框架的速度大小為v。小球離開框架時(shí)相對(duì)框架的速

27、率大小仍為v¢=v0,方向如圖所示小球?qū)Φ氐乃俣龋ㄠ忂吪c對(duì)角線關(guān)系）由動(dòng)量守恒定律：上式可寫成的平形四邊形如圖所示，大小為，方向如圖所示所以小球離開框架時(shí)，框架的速度大小 3質(zhì)心系的動(dòng)能（柯尼希定理）以二個(gè)質(zhì)點(diǎn)為例，質(zhì)量分別為m1和m2，相對(duì)于靜止參考系的速度分別為和，質(zhì)心C的速度為，二質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的速度分別為和，于是，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，把和代入，且，括號(hào)中的求和表示質(zhì)心對(duì)于自己的速度（或兩物體相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量為零），心定為零。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，由此可見，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能等于其質(zhì)心的動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心動(dòng)能之和,對(duì)于都個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這個(gè)關(guān)系也成立。 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)只有二個(gè)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能還可以用兩物體的相對(duì)

28、速度和質(zhì)心的速度表示：根據(jù)動(dòng)量守恒定律，和相對(duì)速度關(guān)系可得和，代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能得。4.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：5.角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律（1）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：L=mvrsina；（2）角動(dòng)量定理:Mt=L2-L1.（3）角動(dòng)量守恒定律：沖量矩:Mt.當(dāng)M=0時(shí)，L=恒量。如在有心力場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)的物體，力矩為零，其角動(dòng)量守恒。如衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)，對(duì)地心的角動(dòng)量不變，開普勒第二定律實(shí)際上對(duì)有心力點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，對(duì)其它點(diǎn)不一定守恒。21. 兩個(gè)滑冰運(yùn)動(dòng)員，質(zhì)量分別為MA=60kg，MB=70gk，它們的速率vA=5m/s，vB=10m/s，在相距1.3m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時(shí)，便拉起手來(lái)開始

29、繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)，并保持二人之間的距離1.3m不變。求：（1）二人拉手后，系統(tǒng)的角速度。（2）計(jì)算兩個(gè)人拉手前后的動(dòng)能是否相等，并說(shuō)明理由。答案：（1）11.54rad/s; (2)4250J, 機(jī)械能守恒 解（1）拉手后二人一定繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)嗎？如何證明？將兩個(gè)看作質(zhì)點(diǎn)，相距L=1.3m,先求質(zhì)心的位置，MALA=MBLB，LA+LB=1.3m,得LA=07m,LB=0.6m，接觸后繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。以兩人為系統(tǒng)，初角動(dòng)量L1=MAvALA+MBvBLB，未角動(dòng)量L2=MAwLA2+MBwLB2，有角動(dòng)量守恒定律得角速度=11.54rad/s. (2)拉手前的總動(dòng)能J，拉手后質(zhì)心的速度=3.1m/s拉

30、手后的總動(dòng)能J。兩個(gè)人拉手前后的機(jī)械能守恒，當(dāng)兩人的速度方向不平行時(shí)，機(jī)械能不守恒。 22. 如圖所示，質(zhì)量為m的長(zhǎng)方形箱子放在光滑的水平地面上，箱內(nèi)有一質(zhì)量也為m的小滑塊，滑塊與箱底之間無(wú)摩擦。開始時(shí)箱子不動(dòng)，滑塊以速度v0從箱子的A壁向B壁處運(yùn)動(dòng)，然后又與B壁碰撞。假定滑塊每碰撞一次，兩者相對(duì)速度的大小變?yōu)樵摯闻鲎睬跋鄬?duì)速度的e倍（即恢復(fù)系數(shù)為e），。（1）要使滑塊與箱子這一系統(tǒng)的動(dòng)能的總損耗不超過(guò)其初始動(dòng)能的40%，滑塊與箱壁最多可碰撞幾次？（2）從滑塊開始運(yùn)動(dòng)到剛完成上述次數(shù)的碰撞期間，箱子的平均速度是多少？答案：（1）4次；（2） 解：（1）此題用冠尼希定理來(lái)解比較方便。因系統(tǒng)無(wú)外力

31、，質(zhì)心作勻速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的速度質(zhì)點(diǎn)系的初動(dòng)能為開始時(shí)兩物體的相對(duì)速度為v0,經(jīng)n次碰撞后的相對(duì)速度經(jīng)n次碰撞后質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為根據(jù)題意：，得，故按題述的要求最多可碰撞4次。 （2）因第一次和第三次是在B壁發(fā)生，而第二次和第四次是在A壁發(fā)生的。這樣，從滑塊開始到剛完成第四次碰撞的過(guò)程中，箱子與質(zhì)心的位移相等，所以箱子的平均速度等于質(zhì)心的速度： 五.綜合題例23. 一袋面粉沿著與水平面成a=60°的光滑斜面上從高H處無(wú)初速地滑下，落到水平地面上。袋與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)m=0.7。求：（1）袋停在何處。（2）如果a=45°，m=0.5，袋又停在何處。答案：（1）停在斜面下端; （2）

32、離斜面下0.26H 解（1）當(dāng)袋剛滑到斜面底端時(shí)的速度，在地的支持力作用下，豎直方向的速度變?yōu)榱悖O(shè)平均支持力為N，則在豎直方向：Nt=mv0sina,在此過(guò)程中摩擦力產(chǎn)生的沖量:ft=mNt=mmv0sina=0.6mv0,而袋的水平動(dòng)量：Px=mv0cosa=0.5mv0,因ft>Px,實(shí)際上袋的水平分量先變?yōu)榱悖瑫r(shí)摩擦力也消失，袋立即停在斜面下端。 （2）當(dāng)a=45°，m=0.5時(shí)，摩擦力產(chǎn)生的沖量:ft=mNt=mmv0sina=0.35mv0,而袋的水平動(dòng)量：Px=mv0cosa=0.71mv0,在袋與地碰撞過(guò)程中，有動(dòng)量定理：-ft=mv-0.71mv0,得v=0

33、.36v0.在袋滑行過(guò)程中，有動(dòng)能定理：-mmgs=0-mv2,得=0.26H. 24. 如圖所示,金屬板A的質(zhì)量為M,金屬球B的質(zhì)量為m,長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿將球與板的中央O點(diǎn)連接,O為轉(zhuǎn)動(dòng)軸,開始時(shí)桿處于豎直位置,球和板都靜止在光滑的水平面上.放開B球后桿將倒下.求桿抵達(dá)水平位置時(shí),桿對(duì)金屬小球B的拉力. 答案： 解:桿水平時(shí),球和板有共同的水平速度,有水平方向動(dòng)量守恒,得水平方向的共同速度為零（只有m的豎直速度，但加速度都不為零）。當(dāng)桿抵達(dá)水平時(shí),有機(jī)械能守恒,小球的豎直速度.設(shè)此時(shí)球?qū)Φ氐募铀俣萢m,板對(duì)地的加速度aM。則球相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)(板)的加速a=am+aM=-(1)對(duì)M:T=MaM-(2)

34、, 對(duì)m:T=mam-(3),有(1)、(2)、(3)得. 或若取板為參照系時(shí),有,得. 25. 如圖所示,質(zhì)量為2m,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的木塊置于水平臺(tái)面上.質(zhì)量為m的子彈以初速v0水平向右射入木塊,設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力始終恒定不變,求:(1)若木塊能在光滑水平臺(tái)面上自由滑動(dòng),子彈穿出木塊時(shí)速度變?yōu)関0/2.則子彈穿透木塊的過(guò)程中,木塊滑行的距離為多少.(2)若木塊固定在平臺(tái)上,使木塊隨平臺(tái)始終以某一恒定的速度(小于v0)水平向右運(yùn)動(dòng),子彈仍以v0的水平速度射入木塊,且子彈恰好穿透木塊,則子彈穿透木塊的時(shí)間為多少.答案：(1)L/5；(2) 解:(1)有動(dòng)量守恒,子彈穿出木塊時(shí),木塊的速度為v=v0/4

35、,對(duì)木塊s=v0t/8;對(duì)子彈s+L=3v0t/4.得s=L/5. (2)設(shè)平臺(tái)的速度為v¢,子彈射入木塊過(guò)程中木塊移動(dòng)s¢,有L+s¢=(v0-v¢)t/2,s¢=v¢t,得;對(duì)子彈有動(dòng)量定理ft=m(v0-v¢).有此兩式得，,代入上式得時(shí)間 26. 一塊足夠長(zhǎng)的木板，放在光滑的水平面上，如圖所示，在木板上自左向右放有序號(hào)為1、2、3、n的木塊，所有木塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為m。開始時(shí)，木板靜止不動(dòng)，第1、2、3、n號(hào)的木塊的初速度分別為、，方向向右，木板的質(zhì)量與所有的木塊的總質(zhì)量相同，最終所有的木塊與木

36、板以共同的速度運(yùn)動(dòng)，試求： （1）第號(hào)木塊從開始運(yùn)動(dòng)到與木板速度剛好相等的過(guò)程中的位移。（2）第號(hào)木塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度。答案：（1）；（2） 解：（1）有動(dòng)量守恒，得共同速度。木塊在木板上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受滑動(dòng)摩擦力有動(dòng)能定理，得 （2）設(shè)第號(hào)木塊的最小速度為，此時(shí)第塊木塊的速度為，第號(hào)木塊在此速度以前為減速運(yùn)動(dòng)，后為加速運(yùn)動(dòng)，且此速度為其與木板速度相等時(shí)的速度，此時(shí)只有第塊木塊相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)，有動(dòng)量守恒有 在此過(guò)程中，第塊木塊與第塊木塊在木板上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，所受的摩擦力相同，故速度改變量相同，有，或 有、兩式可得。 27. 如圖所示，質(zhì)量M=1kg的箱子靜止在光滑水平面上，箱底長(zhǎng)L=1m

37、，質(zhì)量m=1kg的小物體從箱子中央以v0=5m/s的速度開始向右運(yùn)動(dòng)，物體與箱底間的動(dòng)摩擦因數(shù)m=0.05，物體與箱壁發(fā)生完全彈性碰撞，問(wèn)小物體可與箱壁發(fā)生多少次碰撞？當(dāng)小物體在箱中剛達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)，箱子在水平面上的位移是多少？（答案：12次，12.25m） 解：設(shè)物體與箱子處于相對(duì)靜止時(shí)的共同速度為v,有動(dòng)量守恒：mv0=(M+m)v-有能量守恒：-代入數(shù)據(jù)得s相=12.5m,所以小物體與箱壁發(fā)生12次 碰撞后停在右壁（最后只接觸，不發(fā)生碰撞）對(duì)小物體用動(dòng)量定理并求和得-mmgt=mv-mv0,得t=5s.質(zhì)心的速度=2.5m/s.在t時(shí)間內(nèi)質(zhì)心的位移xc=vCt=12.5m,由于初狀態(tài)質(zhì)心

38、在箱中央，末狀態(tài)質(zhì)心在箱中央前0.25m處，所以箱子的位移x=xC-0.25m=12.25m. 28. 如圖所示,AOB是一內(nèi)表面光滑的楔形槽,固定在水平桌面(圖中紙面)上.夾角a=10(為了能看清楚,圖中的a是夸大了的).現(xiàn)將一質(zhì)點(diǎn)在BOA面內(nèi)從C處以速度大小v=5m/s射出,其方向與AO間的夾角q=600,OC=10m,設(shè)質(zhì)點(diǎn)與桌面間的摩擦力可忽略不計(jì),質(zhì)點(diǎn)與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞,且每次碰撞時(shí)間極短,可忽略不計(jì).試求:(1)共能與板發(fā)生幾次碰撞？最后一次碰撞發(fā)生在哪塊板？ (2)在這過(guò)程中,質(zhì)點(diǎn)到O點(diǎn)的最短距離是多少?答案：(1) 60次碰撞，最后一次與C相碰；(2)8.67m

39、 解: (1)因?yàn)榕鲎蔡幨枪饣?而且是彈性碰撞,所以反射角等于入射角.因?yàn)檫B續(xù)兩次碰撞的法線之間的夾角等于OA與OB之間的夾角a, 第一次碰撞時(shí)，第二次碰撞時(shí)，第n次碰撞時(shí)，有圖可知，第n次碰撞時(shí)，CC¢與板相交，第n+1次碰撞時(shí)，CC¢與板不相交，故n應(yīng)滿足，得n =119次，寄數(shù)次與B板相碰，偶數(shù)次與A板相碰，所最后一次碰撞發(fā)生在B板，最后平行A板離開。因?yàn)榈谝淮闻鲎驳娜肷浣菫?90,第30次碰撞時(shí)的入射角等于00,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿原路返回,第60次與出發(fā)點(diǎn)C相碰,往返共經(jīng)60次碰撞. (2)質(zhì)點(diǎn)到O點(diǎn)的最短距離等于OP=OCsin600=8.67m. 六.剛體力學(xué)基礎(chǔ)(不

40、要求)1.基本概念(1)力矩；M=FLsina.(2)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:J=Dm1r12+Dm2r22+Dm3r32+××××××××. 半徑為r作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)（也可看成是平動(dòng)）：J=mr2。 半徑為r的圓環(huán)：轉(zhuǎn)軸通過(guò)圓心垂直圓平面J=mr2；以直徑為轉(zhuǎn)軸J=mr2/2。 半徑為r的圓盤：轉(zhuǎn)軸通過(guò)圓心垂直圓盤平面J=mr2/2，以直徑為轉(zhuǎn)軸J=mr2/4。 轉(zhuǎn)軸過(guò)軸線的圓柱J=mr2/2。 轉(zhuǎn)軸過(guò)圓心的球體：J=2mr2/5。 長(zhǎng)為L(zhǎng)均勻細(xì)桿：轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直桿：J=mL2/3；轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直桿J=mL2/12。 我們以長(zhǎng)

41、為L(zhǎng)均勻細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直桿為例來(lái)求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：把桿分成n段（n®¥），每段長(zhǎng)DL=L/n,每段質(zhì)量Dm=m/n.J1=DmDL2; J2=Dm(2DL)2; Ji=Dm(iDL)2;.當(dāng)n®¥時(shí)J= mL2/3。當(dāng)轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直桿時(shí)，L¢=L/2，m¢=m/2,J=2J¢=mr2/12。(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理和垂直軸定理 平行宙定理：為過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I為平行于為軸相距為d的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則，如長(zhǎng)為L(zhǎng)均勻細(xì)桿，以不同轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)系J=mL2/3和J=mL2/12。 垂直軸定理：對(duì)平面薄板，垂直平在為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則，如圓盤，以不同轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)系J=mr2和J=mr2。(4)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能EK=Jw2；即有轉(zhuǎn)動(dòng),又有平動(dòng)的動(dòng)能EK=Jw2+mvc2/2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能EK=mvc2.（5）角動(dòng)量：剛體的角動(dòng)量L=Jw。（6）沖量矩:Mt.29. 試證：半徑和質(zhì)量都相同的圓柱體、圓筒、和實(shí)心的球，沿同一斜面、同一高度從靜止純滾動(dòng)地滾下時(shí)，它們到達(dá)底部的速度大小次序是：實(shí)心球，圓柱體，圓筒。已知：滾動(dòng)時(shí)，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為圓柱J=mR2。圓筒J=mR2；球體J=mR2。 解（1）純滾動(dòng)時(shí)，靜摩擦力不做功，機(jī)械能守恒：。有上式可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的速度小，所以它們到達(dá)底部的速度大小次