1、數字圖像處理第二次作業(改)巴特沃斯低通濾波器及高斯低通濾波器段嘉煒西安交通大學電氣工程及自動化學院碩6029班學號:3116160004摘要本文使用巴特沃斯低通濾波器及高斯低通濾波器對圖像進行低通濾波，并對結果進行了分析。兩種濾波器都使用了兩種不同的方式進行實現：一種是利用MATLAB，先把圖像數據由時域變到頻率域，再利用濾波函數濾除圖像的高頻分量，最后將在頻率域經過濾波的數據轉換回時域，即可得到處理結果。另一種是使用MATLAB事先計算好的巴特沃斯濾波函數與高斯濾波函數的模板函數，利用OpenCV將模板函數直接在時域對原圖像進行掃描，即可直接獲得結果。通過比較，上述兩種低通濾波器由于濾波函

2、數平滑，濾波后圖像效果較好，都沒有振鈴現象產生。從處理時間上來說，在給定濾波參數的條件下，后一種實現方法可更簡單的實現并行運算，節省較多的CPU執行時間。另一種是利用傅里葉變換的時頻特性，將上述需要在頻域對圖像進行變換的方式轉變為在時域對圖像進行處理。我們知道傅里葉變換函數有以下特性：FFTGGBf(x,y)h(x,y)FGGGGGGGGF(u,v)H(u,v)IFFT(1)因此我們可以把上一方法中將濾波函數與經過傅里葉變換的函數在頻域相乘這一操作，轉換為將經過傅里葉反變換的濾波函數與原圖像在時域做卷積，這樣就可以避免大型圖像求傅里葉變換，加快圖像處理速度。該流程可表示為圖2。1.簡介一副圖像

3、中的邊緣和其他尖銳的灰度轉變(如噪聲)對其高頻信息起主要作用。為了對圖像進行平滑處理，需要對其進行低通濾波。比較典型的低通濾波器有理想低通濾波器，巴特沃斯低通濾波器，高斯低通濾波器三種。其中巴特沃斯低通濾波器有一個參數，當該參數較大時，巴特沃斯濾波器接近于理想濾波器；當該參數較小時，巴特沃斯濾波器接近于高斯濾波器，即可以把巴特沃斯濾波器看作是其余兩種濾波器的過渡態。1圖2:圖像濾波流程(時域變換)2.巴特沃斯低通濾波器頻率域低通濾波是指通過算法濾除二維圖像中的高頻信息，主要是利用頻域上不同的傳遞函數與二維圖像的傅里葉變換函數相乘而濾除圖像的高頻分量。截止頻率位于距原點D0處的n階巴特沃斯低通濾

4、波器的傳遞函數定義為：H(u,v)=(2)D(u,v)2n1+0其中D0是一個正的常數，D(u,v)是頻率域中數據點與頻率域矩形中心點的距離，即：PQD(u,v)=(u)2+(v)21/2(3)22圖1:圖像濾波流程(頻域變換)若要對圖像進行濾波，有兩種方式。一種需要先將圖像進行FFT(快速傅里葉變換)，在轉換到頻域的圖像分別與巴特沃斯濾波函數與高斯濾波函數相乘，再將結果通過IFFT(傅里葉逆變換)變換到時域獲得處理結果。上述處理流程可由圖1表示。利用上述巴特沃斯函數(H(u,v)，由圖1或圖2所示流程即可完成濾波。代碼1:巴特沃斯低通濾波器濾波函數1forx=(Length):1:(Leng

5、th)2fory=(Length):1:(Length)3D=(x2+y2)(0.5);4D_0=100;5H_1(x+(Length)+1,y+(Length)+1)=1/(1+(D/D_0)2);6H_2(x+(Length)+1,y+(Length)+1)=1/(1+(D/D_0)6);7end8end由小節2.1所述，分別選取n=1和3，其濾波函數頻域下的MATLAB實現如代碼1所示。其中Length為Lenna圖像寬度(512)。在求得濾波函數后，需要將該函數與經過傅里葉變換的圖像相乘，并對所得結果進行傅里葉逆變換才可得到濾波結果，具體見代碼2。其中第1行表示將濾波函數H(u,v)與

6、灰度圖像F(u,v)進行點乘，第2行表示將點乘結果G(u,v)做傅里葉逆變換，將信號由頻域轉換到時域，得到濾波結果g(x,y)。代碼2:巴特沃斯低通濾波器傅里葉變換1G=H.*F;2g=real(ifft2(G);3g=g(1:1:M,1:1:N);在時域對圖像做卷積如代碼4所示。該段代碼很好理解，其中第5行至第8行表示以圖像中的某點做卷積。為代碼3:巴特沃斯低通濾波器圖像模板計算1H_1=abs(ifft2(H_1);2H_1=H_1(1:1:DataLength,1:1:DataLength);3H_1=fftshift(H_1);代碼4:巴特沃斯低通濾波器圖像模板濾波1for(intk=

7、1;k<7;k+)23for(intl=1;l<7;l+)45temp+=input.at<uint8_t>(circle(il,input.cols),circle(jk,input.cols)*calculator6l6k;6temp+=input.at<uint8_t>(circle(il,input.cols),circle(j+k,input.cols)*calculator6l6+k;7temp+=input.at<uint8_t>(circle(i+l,input.cols),circle(jk,input.cols)*calcul

8、ator6+l6k;8temp+=input.at<uint8_t>(circle(i+l,input.cols),circle(j+k,input.cols)*calculator6+l6+k;91011output.at<uint8_t>(i,j)=uint8_t(temp+calculator66*input.at<uint8_t>(i,j);了便于編寫代碼，將中心點像素的值在第11行添加(該處程序并非最簡單寫法，但是為了使其數學概念清楚故如此編寫)。由圖4和圖5比較可以驗證上述說法，即在巴特沃斯濾波中取n=1時輸出圖像更平滑。除此之外通過觀察圖6可以

9、發現，在頻域對圖片進行變換，濾波后的圖像邊界有黑色邊緣，推斷這是由于進(a)巴特沃斯濾波函數二維(b)巴特沃斯濾波函數三維圖像(D0=100,n=1)圖像(D0=100,n=1)(c)巴特沃斯濾波函數二維(d)巴特沃斯濾波函數三維圖像(D0=100,n=3)圖像(D0=100,n=3)圖3:巴特沃斯濾波函數圖像3.高斯低通濾波器原理與巴特沃斯低通濾波器相似，只是濾波函數有所不同，其截止頻率位于距原點D0處的高斯低通濾波(a)(b)圖4:巴特沃斯頻域變換結果(D0=100,n=1)(a)(b)圖5:巴特沃斯頻域變換結果(D0=100,n=3)(a)(b)圖6:巴特沃斯低通頻域變換結果的邊緣黑邊器

10、的傳遞函數定義為：H(u,v)=eD2(u,v)(4)其中D0是一個正的常數，D(u,v)是頻率域中數據點與頻率域矩形中心點的距離，即：D(u,v)=(uP)2+(vQ)2221/2(5)利用上述高斯函數(H(u,v)，由圖1或圖2所示流程即可完成濾波。(a)巴特沃斯濾波模板二維(b)巴特沃斯濾波模板三維圖像(D0=100,n=1)圖像(D0=100,n=1)(c)巴特沃斯濾波模板二維(d)巴特沃斯濾波模板三維圖像(D0=100,n=3)圖像(D0=100,n=3)圖7:巴特沃斯濾波模板圖像(a)(b)圖8:巴特沃斯時域結果的邊緣D(u,v)與經過傅里葉變換的圖像相乘，之后將所得結果進行離散傅

11、里葉逆變換，取所獲得值的實部的絕對值即為經過高斯低通濾波的結果。由小節2.1所述，分別選取D0=60和160，其MATLAB實現如代碼6所示。其中Length為Lenna圖像寬度(512)。將該模板與灰度圖像做卷積，(a)(b)圖9:巴特沃斯時域變換結果(D0=100,n=1)(a)(b)圖10:巴特沃斯時域變換結果(D0=100,n=3)代碼5:邊緣數據補全1intcircle(intx,intcol)23if(x>=col)4x=col(xcol)1;5elseif(x<0)6x=abs(x)1;7returnx;8卷積所得極為經過濾波的圖像。代碼與巴特沃斯低通濾波器相同。(a

12、)高斯濾波函數二維圖像(b)高斯濾波函數三維圖像(=60)(=60)(c)高斯濾波函數二維圖像(d)高斯濾波函數三維圖像(=160)(=160)圖11:高斯濾波函數圖像(a)(b)圖12:高斯頻域變換結果(=60)(a)(b)圖13:高斯頻域變換結果(=160)代碼6:高斯低通濾波器濾波函數1forx=(Length):1:(Length)2fory=(Length):1:(Length)3D=(x2+y2)(0.5);4D_0=60;5H_3(x+(Length)+1,y+(Length)+1)=exp(D*D)/(2*D_0*D_0);6D_0=160;7H_4(x+(Length)+1,y+(Length)+1)=exp(D*D)/(2*D_0*D_0);8end9end(a)高斯濾波模板二維圖像(b)高斯濾波模板三維圖像(=60)(=60)(c)高斯濾波模板二維圖像(d)高斯濾波模板三維圖像(=160)(=160)圖14:巴特沃斯濾波模板圖像即當=60時的模糊程度大于=160時的模糊程度，這是由于濾波模板的范圍更廣。時域對圖像進行變換的結果見圖15及圖16所示。雖