1、電子科技大學2004年高等數學競賽試題參考解答 （ 180 分鐘） 考試日期 2004 年 9月 11 日一二三四五六七八九十總分評卷教師一、選擇題（40分）1. 下列命題中正確的命題有幾個？ （ ）（1）無界變量必為無窮大量； (2) 有限多個無窮大量之和仍為無窮大量；（3）無窮大量必為無界變量； (4) 無窮大量與有界變量之積仍為無窮大量.(A) 1個； (B) 2個； (C) 3個； (D) 4個. 2. 設 ， 則是間斷點的函數是 （ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .3. 設為在上應用拉格朗日中值定理的“中值”，則 （ ）(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .

2、4. 設連續，當時，與為等價無窮小，令，, 則當時，的 （ ）(A) 高階無窮?。?B) 低階無窮小；(C) 同階無窮小但非等價無窮??；(D) 等價無窮小.5. 設在點的某鄰域內連續，且滿足 則在點處 （ ）(A) 取極大值；(B) 取極小值； (C) 無極值； (D) 不能確定是否有極值.6. 設在連續，且導函數的圖形如圖所示，則有 （ ）(A) 1個極小值點與2個極大值點，無拐點；(B) 2個極小值點與1個極大值點，1個拐點；(C) 2個極小值點與2個極大值點, 無拐點；(D) 2個極小值點與2個極大值點，1個拐點.7. 設有連續的一階導數，則 （ ）(A) ；(B) ； (C) ； (D

3、) 0 .8. 設任意項級數 條件收斂，將其中的正項保留負項改為0所組成的級數記為, 將其中的負項保留正項改為0所組成的級數記為，則與 （ ） (A) 兩者都收斂； (B) 兩者都發散；(C)一個收斂一個發散；(D) 以上三種情況都可能發生.9. 設 階矩陣A的伴隨矩陣 ，且非齊次線性方程組 有兩個不同的解向量，則下列命題正確的是 （ ）(A) 也是的解； (B) 的通鮮為 （）；(C) 滿足的數必不為零；(D) 是的基礎解系.10. 設則三個平面 兩兩相交成三條平行直線的充要條件是 （ ）(A) 秩;(B) 秩;(C) 中任意兩個均線性無關，且不能由線性表出; (D) 線性相關，且不能由線性

4、表出.1_5:ABCDA 6_10:DBBDC二、(10分）設在區間連續，, 試解答下列問題：（1）用表示；（2）求；（3）求證：；（4）設在內的最大值和最小值分別是,求證：. 解（1）（2）（3）（4）三、（10分）求曲線 所圍成的平面圖形的面積.解1去掉絕對值曲線為：解2令.四、（10分）設曲面為曲線 () 繞軸旋轉一周所成曲面的下側，計算曲面積分 解1S的方程為補兩平面 ；解2五、（10分）設n階矩陣 的前 個列向量線性相關, 后 個列向量線性無關, ; （1）證明線性方程組有無窮多解；（2）求方程組的通解.解（1）相關，相關；無關，的秩為，且可以由表出；又由已知可由表出，故與等價，從而

5、的秩為，增廣矩陣的秩與A的秩相等，即，故有無窮多解.（2）相關，不全為0的數，使，即，又 的基礎解系只含一個解向量的基礎解系；又 的解，故的通解為x = C六、（10分）設 階矩陣的4個不同特征值為, 其對應的特征向量依次為，記, 求證： 線性無關.解1，從而.無關，故的秩為4，故線性無關.解2設存在一組數使 （1）由題設，利用特征向量的性質可得 （2）將（2）式一并代入（1）式可有整理得因分屬不同的特征值，故線性無關，從而有視為未知數，此為4個未知量，4個方程組成的齊次線性方程組，其系數行式為范德蒙德行列的轉置. 因互異，所以. 這表明只有零解，即=0，從而線性無關.七、（10分）設冪級數 , 當時，且;（1）求冪級數的和函數；（2）求和函數的極值.解（1）令，求得（2）由.八、（10分）設函數可微，, 且滿足 求 . 解 ，對y積分得代入，九、（10分）如圖所示，設河寬為，一條船從岸邊一點出發駛向對岸，船頭總是指向對岸與點相對的一點。假設在靜水中船速為常數 ，河流中水的流速為常數 ，試求船