1、矩陣的特征根的求法及應用摘要 本文主要討論關于矩陣特征值的求法及矩陣特征值一些常見的證明方法。對于一般矩陣，我們通常是采用求解矩陣特征多項式根的方法。關鍵字 矩陣 特征值 特征多項式1.特征值與特征向量的定義及其性質；1 矩陣特征值與特征向量的概念及性質1.1 矩陣特征值與特征向量的定義設是階方陣，如果存在數和維非零向量，使得成立，則稱為的特征值，為的對應于特征值的特征向量.1.2 矩陣特征值與特征向量的性質矩陣特征值與特征向量的性質包括：（1）若重特征值，則個線性無關的特征向量，其中.（2）若線性無關的向量都是矩陣的對應于特征值的特征向量，則當不全為零時，仍是的對應于特征值的特征向量.（3）

2、若的互不相同的特征值，其對應的特征向量分別是，則這組特征向量線性無關. （4）若矩陣的特征值分別為，則 ，. （5）實對稱矩陣的特征值都是實數，且對應不同特征值的特征向量正交. （6）若是實對稱矩陣的重特征值，則對應特征值恰有個線性無關的特征向量. （7）設為矩陣的特征值，為多項式函數，則為矩陣多項式的特征值.2特征值與特征向量的常規求法；1.一般教科書求特征值的傳統方法是令特征多項式| E- A| = 0, 求出A的特征值, 對于A的任一特征值, 特征方程(E- A)X= 0的所有非零解X即為矩陣A的屬于特征值􀀁的特征向量. 兩者的計算是分割的, 一個是計算行列式, 另一個

3、是解齊次線性方程組, 且計算量都較大.下面介紹利用矩陣的初等變換求特征值與特征向量的兩種方法.1：特征方程(E- A)X= 0進行行列式計算，求特征值與特征向量。列1：求實數域上矩陣的特征值與特征向量。傳統解法；解令,得（二重），是A的全部特征值。當時，對應的特征方程；的基礎解析為，所以A的屬于全部特征向量為，其中，為不全為零的常數；當時，對應的特征方程的基礎解析為所以A的屬于的全部特征向量為其中不為零.定理1：A 是n 階方陣, 為待求特征值.若對矩陣(A- E) 施行一系列行初等變換, 可得到上三角矩陣 () , 令 () 的主對角線上元素乘積為零, 求得􀀁值即為矩陣A

4、的特征值.例 求實數域上矩陣的特征值與特征向量.解令的主對角線元素之積為零, 即=0，特征值為（二重）；時；=。，于是對應的特征向量為 , 所以A 的屬于全部特征向量為，其中，為不全為零的常數；當時。=，于是對應的特征向量為，其中不為零。2：列行互逆變換法定義1:把矩陣的下列三種變換稱為列行互逆變換;1：互換i.j兩列，同時互換j.i兩行2：第i列乘以非零數k，同時i行乘；3：第i列k倍加到第j列，同時第J行-k倍加到第i行。定理1：A為任意n階方陣，若,其中J=diag是jordan標準型矩陣，P=證：任一矩陣必相似于jordan標準型矩陣，有矩陣A的轉置矩陣相識于一jordan矩陣J，即純真可逆矩陣P，使得,故AP=P，其中P= 所以A=固有。所以為A的特征值，為A對于的的特征向量。列1： 解 所以，特征值，對應特征值的特征向量為，對應特征值的特征向量為。注：解答過程中(1)處的K=-1是由方程2+3K+(2+k)(-K)=