1、實用標準全等三角形輔助線系列之三與截長補短有關的輔助線作法大全一、截長補短法構造全等三角形截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想.所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的 一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短” ，就是將一個已知的較短的線段 延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關系.有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的三角形進行求解.截長補短法作輔助線，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.典型例題精講【例1】 如圖，在 MBC中

2、，/BAC=602 AD是/BAC的平分線，且 AC = AB+BD ,求NABC的度a D【解析】法一：如圖所示，延長AB至E使BE =BD ,連接ED、EC.由 AC =AB +BD 知 AE =AC ,而NBAC =60）則 欣EC為等邊三角形.注意到 /EAD =/CAD , AD =AD , AE = AC ,故 MED 9 MCD .從而有 DE =DC , /DEC =NDCE ,故.BED =. BDE =. DCE . DEC =2. DEC .所以 /DEC =/DCE =20=, NABC =/BEC +ZBCE = 60* +20。= 80：.法二：在 AC上取點E ,

3、使得 AE=AB,則由題意可知 CE=BD .在 MBD和 MED 中，AB=AE, /BAD=/EAD, AD=AD,則 MBD© MED ,從而 BD =DE ,進而有 DE =CE , /ECD =/EDC ,AED - - ECD EDC = 2 ECD .注意到 /ABD =ZAED ,則：1 3/ABC +/ACB =/ABC +-ZABC =/ABC =1800/BAC =120 12 2故.ABC =80 .【答案】見解析.例2 已知 MBC中，/A =60。BD、CE分別平分 /ABC和./ACB , BD、CE交于點O ,試判斷BE、CD、BC的數量關系，并加以證

4、明.文案大全【解析】BE+CD=BC,理由是：在 BC上截取BF =BE ,連結OF ,利用 SAS證得 ABEO 色 ABFO ,. Z1 =N2 ,1/A=60。，./BOC=90 口+ /A=120' ./DOE=12012乙A +/DOE =180 0,ZAEO +/ADO =180©,N1 +23=180°,. /2+/4 =180，/1=/2,，/3=/4,利用 AAS 證彳導 iCDO 省 ACFO ,，CD =CF ,BC =BF +CF =BE +CD .【答案】見解析.【例3】如圖，已知在 ABCJ, . BAC= 60% ZC =40% P、Q

5、分別在BC CA±,并且 AP BB別是/ BAC / ABC勺角平分線，求證： BQ+AQ=AB+BP.【解析】延長 AB至D,使BD =BP ,連DP在等月BP計，可得ZBDP =40*,從而 ZBDP =40 3=/ACP , AD國 ACP(ASA),故 AD 二AC又 NQBC =40 S=ZQCB ,故 BQ =QC , BD = BP .從而 BQ +AQ =AB +BP.【答案】見解析.【例4】如圖，在四邊形 ABC由,BC >BA , AD =CD , BM分/ ABC 求證：/A+/C=180，【解析】延長 BA至F,使BF =BC ,連FD BD已 BDC

6、( SAS),故 NDFB =NDCB , FD =DC又 AD =CD ,故在等腰 BFD中，/DFB =/DAF 故有.BAD . BCD =180【答案】見解析.BD=DC, ZBDC =120°, /MDN =60 )求【例5】 點M, N在等邊三角形 ABC的AB邊上運動, 證：MN =MB +NC .【解析】延長 NC至E ,使得CE =MBiBDC 是等腰三角形，且 /BDC =120%，/DBC =/DCB=30。 9BC是等邊三角形. ABC =/ACB =/BAC =60. MBD =/ABC . DBC =/ACB . DCB _/DCN _/DCE =90在

7、iDBM 和 ADCE 中，BD =DC , MB =CE ,MBMiDCE.DE =DM , . 1 =/2.又: /1+/NDC=60。，/2+/NDC =/END =603在iMDN與AEDN中，ND=ND, /MDN =NEDN =60，DE =DM.MNDMENDMN =EN =NC MB【答案】見解析.【例6】 如圖在 ABC中，AB >AC , /1 =/2 , P為AD上任意一點，求證： AB -AC>PB-PC .【解析】延長AC至F,使AF =AB ,連PDAB陛 AFP (SAS)故 BP =PF由三角形性質知PB -PC =PF -PC < CF =A

8、F - AC =AB - AC 【答案】見解析.【例7】 如圖，四邊形 ABCD43, AB/ DC BE CE分別平分/ ABC / BCD且點 E在 AD上.求證:BC =AB +DC .【解析】在BC上截取BF =AB ,連接EF. BE平分/ ABC. ABE FBEE又 BE=BE, .ABE FBE(SAS,，/A=/BFE. AB/ CD . . A D =180 /BFE +/CFE =180°,DD =/CFE又 ZDCE =/FCE , CE平分/ BCD CE =CE. .DC除AFCE(AAS,. CD =CFBC =BF CF = AB CD【答案】見解析.

9、【例8】 如圖，點M為正方形ABCD的邊AB上任意一點，MN ± DM且與/ ABC外角的平分線交于 點N , MD與MN有怎樣的數量關系？【解析】猜測DM =MN .在AD上截取AG=AM , DG =MB ,ZAGM =45*ZDGM =/MBN =135:. Z ADM =/ NMB , iDGM 9 iMBN ,DM =MN .【答案】見解析.【例9】 已知：如圖， ABCD是正方形，/FAD =/FAE ,求證：BE + DF=AE.【解析】延長CB至M ,使得BM =DF ,連接AM . AB=AD, AD，CD, AB±BM , BM=DF MBMMDFZAF

10、D =/AMB , ZDAF =/BAM AB/ CD, AFD =. BAF =. EAF . BAE =. BAE . BAM =. EAM /AMB =/EAM , AE=EM =BE+BM =BE+DF【答案】見解析.【例10如圖所示，已知正方形 ABC珅，M為CD的中點，E為MC±一點，且NBAE=2ZDAM .求證:AE =BC +CE .【解析】分析證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種：(1)通過添輔助線“構造” 一條線段使其為求證中的兩條線段之和，再證所構造的線段與求證 中那一條線段相等.(2)通過添輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，再證明

11、截剩的部分與線段中的另一段相等.我們用(1)法來證明.【答案】延長 AB至IJ F ,使BF =CE ,則由正方形性質知 AF =AB + BF =BC +CE下面我們利用全等三角形來證明AE=AF .為此，連接 EF交邊BC于G .由于對頂角ZBGF =/CGE ,所以 RtABGF iCGE(AAS ),一1從而 BG =GC = BC , FG = EG , BG = DM 2于是 Rt AABG 9 RtAADM (SAS),1所以 /BAG =/DAM =/ BAE =/EAG , AG 是/EAF 的平分線 2【例 11】五邊形 ABCDE3, AB=AE ， BC +DE =CD

12、 , /ABC+/AED =180*,求證：AM分/ CDE【解析】延長 DE至F,使得EF =BC ,連接AC /ABC +/AED =180。/AEF 十/AED =180，/ABC =/AEF . AB=AE, BC=EF, .AB笠AAEFEF =BC , AC =AFBC +DE =CD ,CD =DE +EF =DF .ADC24ADF. ADC =. ADF即AM分/ CDE【答案】見解析.【例12若P為 MBC所在平面上一點，且ZAPB =/BPC =/CPA = 120。，則點P叫做AABC的費馬點.(1)若點P為銳角 MBC的費馬點，且 /ABC =60*, PA = 3,

13、 PC =4 ,則PB的值為 (2)如圖，在銳角 MBC外側作等邊 AACB',連結BB'.求證：BB'過AABC的費馬點 P ,且BB' = PA+PB + PC .【解析】(1) 2后(2)證明：在 BB'上取點P,使NBPC=120:連結AP ,再在PB'上截取PE =PC ,連結CE ./BPC =120©,，/EPC=60。，&PCE 為正三角形， . PC =CE , /PCE=60- ZCEB，=120°,MCB'為正三角形，AC=B'C, ZACB，= 600, /PCA+/ACE =/

14、ACE +/ECB'=60，/PCA=/ECB', MCP iB'CE ,/APC =/B'CE =120 PA = EB',/APB =/APC =/BPC =120 口，P為AABC的費馬點，. BB'過MBC的費馬點P ,且 BB' = EB'+PB+PE =PA+PB +PC .【答案】見解析.A課后復習【作業1】已知，八次分/ BAC AC =AB+BD ,求證：/B=2/C .【解析】延長 AB至點E,使AE =AC ,連接DE. ADW/ BAC 1 . EAD =. CAD AE =AC , AD =AD , .A

15、E四AACD (SAS,，NE=/CAC =AB +BD ,AE =AB + BD. AE =AB +BE ,BD =BE , . . NBDE =/ENABC =NE +NBDE , /ABC =2/E ,/ABC =2/C .【答案】見解析.【作業 2】如圖， ABC43, AB=2AC , ADF分/ BAC 且 AD = BD ,求證：CDLAC.【解析】在AB上取中點F,連接FD.則八口等腰三角形，F是底AB的中點，由三線合一知DFL AR 故. AFD =90ADB ADC (SAS)/ACD =/AFD =90*,即：CDL AC【答案】見解析.【作業3】如圖所示， /BC是邊長

16、為1的正三角形，ABDC是頂角為120。的等腰三角形，以 D為頂點 作一個60n的ZMDN，點M、N分別在 AB、AC上，求MMN的周長.【解析】如圖所示，延長 AC到E使CE =BM .在 iBDM 與 ACDE 中，因為 BD =CD , NMBD =/ECD =90，BM =CE , 所以 ABDM 9 ACDE ,故 MD =ED .因為 ZBDC =120，ZMDN =60 ,所以 NBDM +ZNDC =60=.又因為 ZBDM =/CDE ,所以 ZMDN =/EDN =60%在 AMND 與 iEND 中，DN =DN , /MDN =/EDN =60© , DM = DE , 所以AMND 9 iEND ,則NE =MN ,所以 MMN的周長為2.【答案】見解析.【作業 4】