1、第十一章 無窮級數一、常數項級數1.基本概念（1）無窮級數的定義：（2）級數的收斂與發散如果，則稱無窮級數收斂,叫做級數的和，且；如果沒有極限，則稱無窮級數發散.（3）性質性質1線性性質：設級數，為常數，則. 性質2 （級數收斂的必要條件）級數收斂如果級數的一般項不趨于零,則級數發散。（4）柯西審斂原理級數收斂對任意給定的，總存在自然數，當n>N時，對任意的自然數，有 成立（5）幾個典型常數項級數的斂散性 等比級數 (幾何級數) 調和級數： (發散) P-級數：【例1】判別級數的收斂性，并求級數的和。解：由于，由定義所以原級數收斂，且和為1。【例2】判斷級數的斂散性。解：因為 而所以 ，

2、由級數收斂的必要條件，原級數發散。【例3】 若，且收斂于，證明級數收斂.解 設級數的部分和為，級數的部分和為，因為所以 因為，所以，且，從而所以 ，由級數收斂的定義知級數收斂.【例4】利用柯西審斂原理判定下列級數的收斂性(1)； (2) 解：（1）對任意給定的，要使取自然數，當時，對任何自然數有成立，由柯西審斂原理，級數收斂。（2）取，無論n多大，p=3n，有由柯西審斂原理，級數發散。2. 常數項級數審斂法(1) 常數項級數類型正項級數： 交錯級數: 任意項級數: （2）正項級數及其審斂法充分條件：正項級數收斂部分和所成的數列有界. 比較審斂法：設和均為正項級數，且,a.若收斂,則收斂；b.若

3、發散，則發散.極限審斂法：設與都是正項級數，則a. 當時，與具有相同的斂散性；b.當時，若收斂，則收斂；c.當時，若發散，則發散；重要參考級數:幾何級數, P-級數, 調和級數.等價無窮小法：若（等價無窮小），則與具有相同的斂散性.比值審斂法(達朗貝爾判別法)：設是正項級數,如果,則時級數收斂;時級數發散; 時失效.根值審斂法(柯西判別法)：設是正項級數,如果,則時級數收斂;時級數發散; 時失效.（3）交錯級數審斂法(萊布尼茨定理) 如果交錯級數滿足條件:；,則級數收斂,且其和,其余項的絕對值.（4）任意項級數審斂法絕對收斂：若收斂, 則稱為絕對收斂;條件收斂：若發散,而收斂, 則稱為條件收斂

4、.注：若級數發散，不能斷定級數也發散，但可利用比值法或根值法進行判斷.做法如下：如果或，則發散。由可知，從而，因此，發散。【例5】判定級數的斂散性解當時，由級數收斂的必要條件知級數發散.當時，而為公比為的等比級數收斂，由比較審斂法知級數收斂.【例6】判斷級數的斂散性。解：此級數為正項級數，收斂，故由比較審斂法，原級數收斂。注：應用比較法判斷一個正項級數的斂散性，最關鍵問題是要熟練掌握一批已知正項級數的斂散性(如幾何級數，調和級數，級數等), 然后根據的特點，進行有針對性的放縮。【例7】 判別級數的斂散性。解： 因為 ，所以，分別考慮和的斂散性。對于，由比值法 ，知收斂，所以，絕對收斂；同理得收

5、斂，可知原級數收斂。【例8】判斷級數的斂散性。解：由比值審斂法，當時，原級數收斂；當時，原級數發散。當時，比值審斂法失效，注意到，原級數發散。注：在級數一般項中，若含有形如的因子時，適于使用比值審斂法。【例9】判斷級數的斂散性。解：此級數為正項級數， 故由根值審斂法，原級數收斂。注：在級數一般項中，若含有次方時，適于使用根值審斂法。【例10】設常數k>0 ，則級數 (A) 發散 (B) 絕對收斂 (C) 條件收斂 (D) 收斂或發散與 的取值無關 【 】解： 因為而級數為絕對收斂；級數為條件收斂，因此原級數為條件收斂，(C)選項正確.【例11】判別級數 的斂散性。解：原級數為交錯級數，先

6、考慮級數的斂散性。由于當時，而級數發散，由比較審斂法，級數發散，即原級數非絕對收斂。因為，令，因為所以f(x)在內單調遞減，得于是由萊布尼茲判別法可得級數收斂，從而原級數條件收斂。注：在運用萊布尼茲定理判別時，可引入函數，利用函數的導數，判別單調性。【例12】若級數收斂，則級數（A）收斂.（B）收斂.（C）收斂.（D）收斂. 【 】解 因為級數收斂，則級數收斂，所以收斂，（D）選項正確。若，此級數收斂，但發散，所以(A)不正確；發散，所以(B)不正確。若，此級數收斂，但發散，所以(C)不正確。二、函數項級數1基本概念（1）函數項級數，是定義在上的函數（2）收斂域函數項級數的所有收斂點的全體稱為

7、收斂域.（3）和函數 在收斂域上,函數項級數的和函數為 .函數項級數的部分和 且.2. 冪級數（1）形式：或（2）冪級數的收斂半徑與收斂區間收斂半徑：對冪級數，都存在唯一的實數（），當時冪級數絕對收斂，冪級數發散，稱為冪級數的收斂半徑收斂區間為；冪級數的收斂域，需確定端點的收斂性. （3）收斂定理（阿貝爾(Abel)定理）：如果級數在處收斂，則它在滿足不等式的一切處絕對收斂；如果級數在處發散，則它在滿足不等式的一切處發散.（4）收斂半徑求法定理：冪級數，若（或），則（5）冪級數的收斂半徑、收斂區間（收斂域）的求法：求冪級數的收斂域，通常有三種基本類型，即型、型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數型

8、。解題方法見流程圖。【例1】 求下列冪級數的收斂域：(1)(2)(1)解：，當時，級數為，該級數發散。當時，級數為，該級數收斂。故此冪級數的收斂域為。 (2) 解：缺少偶次冪的項，由比值審斂法當，即時，級數收斂, 當，即時，級數發散,當時，級數為，為交錯級數收斂,當時，級數為，為交錯級數收斂,故此冪級數的收斂域為。【例2】設冪級數與的收斂半徑分別為與，求冪級數的收斂半徑.解：因為冪級數與的收斂半徑分別為與，有，【例3】設冪級數的收斂半徑為3，求冪級數的收斂區間.解：因為冪級數的收斂半徑為3，所以令，所以 =，即，所以 【例4】求冪級數的收斂域.解：令，則=因為，所以 ，收斂區間為.當時，級數為

9、，收斂. 當時，級數為，發散.所以，即，解得或故此級數的收斂域為.4冪級數的和函數（1）冪級數的和函數的分析性質：冪級數的和函數在收斂域上連續。冪級數的和函數在收斂域上可積，且收斂半徑不變冪級數的和函數在收斂區間內可導，且收斂半徑不變（2）冪級數和函數的求法：求冪級數的和函數，最常用的方法是首先對給定的冪級數進行恒等變形，然后采用“先求導后積分”或“先積分后求導”等技巧，并利用與形如（或等）冪級數的和函數，求出其和函數。【例5】求冪級數的和函數，并求的和。解：記 求導得   積分得 令，則2【例6】 求冪級數 在收斂區間內的和函數。解：令 ，對冪級數在區間內逐項積分，得：其中，。再應

10、用逐項積分的方法得：對求導得 所以 對求導得 即 5. 函數展開成冪級數（1）泰勒級數如果在點處任意階可導，則冪級數稱為在點的泰勒級數. 時，稱為的麥克勞林級數.（2）幾個重要函數的麥克勞林級數（3）將函數展開成冪級數方法：直接法(泰勒級數法)：（1）求； （2）討論，則級數在收斂區間內收斂于間接法：利用常見展開式，通過變量代換，四則運算，恒等變形，逐項求導，逐項積分等方法求展開式.注意：展開冪級數后，必須寫出收斂域。【例7】將函數展開成的冪級數。解：（）【例8】 將函數展開成的冪級數，并求級數的和。解：因為而，所以，又因為，從而積分得，因為冪級數在處收斂，所以，收斂域為。當時，=0，所以【例

11、9】將函數展開成的冪級數.解：積分得，再求導得 ，6. 函數項級數的一致收斂性 （1）一致收斂定義：設函數項級數，對于任意給定的，總存在著一個只依賴于的自然數N，使得當n>N時，對區間I上的一切x有成立，則稱函數項級數在區間I上一致收斂于和s(x)，也稱函數序列在區間I上一致收斂于s(x).（2）一致收斂判定理（魏爾斯特拉斯判別法）如果函數項級數在區間I上滿足條件：；正項級數收斂，則函數項級數在區間I上一致收斂.（3）一致收斂的基本性質級數的各項在a, b上都連續，且在區間a, b上一致收斂于s(x)，則s(x)在a, b上也連續。級數的各項在a, b上都連續，且在區間a, b上一致收斂

12、于s(x)，則級數在a, b上可以逐項積分，即其中，且級數在a, b上也一致連續.級數在區間a, b上收斂于s(x)，它的各項都具有連續導數，且在區間a, b上一致收斂，則級數在a, b上也一致收斂，且可逐項求導，即【例10】討論級數在區間-1, 1上的一致收斂性.解：前n項和 要使 取，當時，對于上的一切x，有成立，所以級數在區間上的一致收斂.【例11】利用維爾斯特拉斯判別法證明下列級數一致收斂(1) ； （2）解：(1) 因為，而收斂，由維爾斯特拉斯判別法知在上一致收斂.(2) 因為, 而收斂，由維爾斯特拉斯判別法知在上一致收斂.7.傅里葉級數（1）傅里葉級數：設是以為周期的函數，且在上可

13、積，稱三角級數為傅里葉級數，其中或 稱為傅里葉系數.（2）傅里葉級數收斂定理(狄利克雷充分條件)：設是以為周期的周期函數，如果它滿足條件：在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點，則的傅里葉級數收斂，并且：當是的連續點時,級數收斂于；當是的間斷點時,收斂于；注意：對于非周期函數,如果函數只在區間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級數.做法：對進行周期延拓，得到周期為的函數，將展開成傅里葉級數，限制在內，此時，在區間端點處收斂于.（3）奇偶函數的傅里葉級數周期為的奇函數展開成傅里葉級數為正弦級數,它的傅里葉系數為周期為的偶函數展開成傅里葉級數余弦級數,它的傅

14、里葉系數為注：對于非周期函數，如果函數只在區間或上有定義，并且滿足狄氏充分條件，也可展開成正弦級數和余弦級數。做法：對進行奇延拓或偶延拓，將延拓后的函數展開成傅里葉級數，限制在上，此時，這樣便得到的正弦級數或余弦級數的展開式。（4）一般周期的傅里葉級數：設周期為的周期函數滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級數展開式為其中系數為 【例12】將展開成傅里葉級數。解：所給函數在上滿足收斂定理，將函數進行周期延拓，函數在每一點均連續。為偶函數，所以。傅立葉系數為： ()【例13】在上將函數展開為正弦級數，并求常數項級數的和。解：將函數進行奇延拓，則有函數的正弦級數為 ()令，則， 注：數項級數求和也可通過傅立葉級數展開式求得。【例14】設，其中 ( )，則= .解：因為為余弦級數，可見將進行偶延拓。，為的和函數，為間斷點，所以=