1、第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)目的要求：（1）用數(shù)形結(jié)合的思想方法掌握羅爾定理與拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論。 會(huì)判斷是否滿足羅爾定理與拉格朗日中值定理的條件，會(huì)求羅爾定理與拉格朗日中值定理結(jié)論中的。（2）知道洛必達(dá)法則，能運(yùn)用洛必達(dá)法則求不定式的極限，重點(diǎn)掌握“”型和“”型，了解“”、“”型等。（3）掌握用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判別函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行簡單不等式的證明；理解函數(shù)極值與極值點(diǎn)的概念，掌握極值存在的必要條件，掌握求函數(shù)極值的方法（極值點(diǎn)的充分條件），搞清極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。（4）初步掌握簡單實(shí)際問題中最大值和最小值的求法；會(huì)利用導(dǎo)數(shù)討論一些簡單

2、的經(jīng)濟(jì)問題。教學(xué)重點(diǎn)：1函數(shù)單調(diào)性的判斷與單調(diào)區(qū)間的求法2函數(shù)極值、最值的求法3實(shí)際應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：1微分中值定理2洛必達(dá)法則及應(yīng)用3函數(shù)極值的求法與應(yīng)用4函數(shù)最值的求法與應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理【教學(xué)內(nèi)容】羅爾定理，拉格朗日中值定理。【教學(xué)目的】理解羅爾定理，拉格朗日中值定理的分析意義和幾何意義;會(huì)判斷是否滿足羅爾定理與拉格朗日中值定理的條件，會(huì)求羅爾定理和拉格朗日中值定理結(jié)論中的。初步具有應(yīng)用中值定理論證問題的能力.【教學(xué)重點(diǎn)】1羅爾定理；2拉格朗日中值定理。【教學(xué)難點(diǎn)】1羅爾定理與拉格朗日中值定理?xiàng)l件的判斷；2羅爾定理與拉格朗日中值定理結(jié)論中的求解。【教學(xué)時(shí)數(shù)】1學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】一、 羅爾

3、（Rolle）定理羅爾（Rolle 1652-1719）法國數(shù)學(xué)家。年輕時(shí)因家境貧窮，僅受過初等教育，是靠自學(xué)精通了代數(shù)和Diophantus分析理論。這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。在介紹羅爾定理之前，我們先來看一個(gè)幾何事實(shí)。閉區(qū)間上的一條連續(xù)曲線，在相應(yīng)的開區(qū)間內(nèi)處處光滑無尖點(diǎn)（或者說曲線無打折現(xiàn)象），且區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等如圖1, 則在區(qū)間上至少有一條水平切線。我們說這就是微分中值定理之一羅爾中值定理的幾何解釋。幾何意義： 在上是一條連續(xù)的曲線。（連續(xù)） 在內(nèi)處處光滑無尖點(diǎn)（或者說曲線無打折現(xiàn)象）。（可導(dǎo)） 兩端點(diǎn)A、B的連線與軸平行。（端點(diǎn)高度相同）結(jié)

4、論：至少存在一點(diǎn)，使得其切線平行于軸。 圖1分析意義：定理31 如果函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）。則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得例1:驗(yàn)證羅爾中值定理對(duì)函數(shù)，在區(qū)間上的正確性。并求出羅爾定理結(jié)論中的。解：我們從定理中的三個(gè)條件來逐一判斷，是否符合。條件：是初等函數(shù)，所以函數(shù)在上連續(xù)，即條件符合。條件：，所以函數(shù)在（3, 0）內(nèi)可導(dǎo)，條件符合。條件：，條件符合。所以在上滿足羅爾定理的條件。 令，解得，因?yàn)椴辉趨^(qū)間（3, 0）內(nèi)，故舍去。所以取，即在（3, 0）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得。所以羅爾中值定理結(jié)論中的. 思考：如果羅爾中值定理的條件有一個(gè)不成立，結(jié)論會(huì)如何？

5、例2: 驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間上是否滿足羅爾定理，若滿足求出羅爾定理結(jié)論中的。解：我們從定理中的三個(gè)條件來逐一判斷，是否符合。由的圖象可知：圖 2條件：在上連續(xù)，即條件符合。條件：，點(diǎn)是一個(gè)尖點(diǎn)，即在點(diǎn)不可導(dǎo)，所以條件不符合。所以在上不滿足羅爾定理的條件。 同時(shí)我們從圖2也可以看到在內(nèi)不存在點(diǎn)，使得其切線平行于軸。即不存在點(diǎn)，使得。課堂練習(xí)：驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間上是否滿足羅爾定理，若滿足求出羅爾定理結(jié)論中的。（答案：滿足，）強(qiáng)調(diào)：1若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足, 其結(jié)論可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一個(gè)，也可能只有一個(gè).在羅爾中值定理中條件比較特殊，使他的應(yīng)用受到限制。若在羅爾中值定理中，其

6、余條件不變，則我們得到：二、拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange 1736-1813）法國數(shù)學(xué)家。普魯士國王腓特烈大帝尊稱他為“歐洲最大之?dāng)?shù)學(xué)家”，他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。在介紹拉格朗日中值定理之前先簡單介紹拉格朗日的生平。如圖3, 若，其余條件不變，則在區(qū)間上至少有一條切線平行于弦。我們說這就是微分中值定理之一拉格朗日中值定理的幾何解釋。幾何意義： 圖3 在上是一條連續(xù)的曲線。（連續(xù)） 在內(nèi)處處光滑無尖點(diǎn)（或者說曲線無打折現(xiàn)象）。（可導(dǎo)）結(jié)論：至少存在一點(diǎn)，使得其切線平行于弦AB。分析意義：定理32 設(shè)函數(shù)滿足下列條件：（1

7、）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得上式也可表示成例3：驗(yàn)證函數(shù)在閉區(qū)間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件，并求出拉格朗日中值定理結(jié)論中的。解：我們從定理中的兩個(gè)條件來逐一判斷，是否符合。條件1:是初等函數(shù)，所以函數(shù)在上連續(xù)，即條件1成立。條件2:，所以函數(shù)在（1, 4）內(nèi)可導(dǎo)，條件符合。所以在上滿足拉格朗日中值定理的條件。 又，令。所以拉格朗日中值定理結(jié)論中的。推論3.1 若函數(shù)在區(qū)間(a, b)上導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間(a, b)上是一個(gè)常數(shù). 即思考：若其余條件不變，在區(qū)間（a, b）內(nèi)恒有，則拉格朗日中值定理的結(jié)論會(huì)如何？推論3.2 若在區(qū)間（a, b）內(nèi)恒

8、有，則在（a, b）內(nèi)有證明：令則由，得，由推論3.1可知， 即有。例4證明 ,證明 由于,由推論2知（）取，則；即有（）又當(dāng)時(shí)，；所以（）羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，這三個(gè)定理統(tǒng)稱為微分中值定理在這一節(jié)我們只要求掌握前面兩個(gè)定理。課堂練習(xí)：驗(yàn)證函數(shù)在閉區(qū)間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件，并求出拉格朗日中值定理結(jié)論中的。（答案：）三、柯西定理柯西（Cauchy1789-1857）法國數(shù)學(xué)家。柯西是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。他的全集從1882年開始出版到1974年才出齊最后一卷，一共有28卷。柯西在數(shù)學(xué)中的各個(gè)領(lǐng)域都有貢獻(xiàn)，是數(shù)學(xué)彈性理論的奠基人之一。作為拉格朗日中值定理的一個(gè)推廣，還可以得到下

9、面的定理，即柯西定理。定理33 設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得例5：試對(duì)函數(shù)，寫出柯西公式，并求C. 解：因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，所以和在上連續(xù)；又因?yàn)椋Ｋ院驮趦?nèi)可導(dǎo)；因此和在上滿足柯西定理的條件。 又因?yàn)榧葱〗Y(jié)：主要內(nèi)容：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西定理重點(diǎn)：1羅爾定理，2拉格朗日中值定理難點(diǎn)：1羅爾定理與拉格朗日中值定理?xiàng)l件的判斷；2羅爾定理與拉格朗日中值定理結(jié)論中的求解。第二節(jié) 洛必達(dá)法則【教學(xué)內(nèi)容】型未定式，型未定式，其他類型未定式。【教學(xué)目的】理解羅必達(dá)法則，能正確運(yùn)用羅必達(dá)法則求不定式的極限，重點(diǎn)掌握“”和“型，以及較簡單的“”、“”型；了解“”、

10、“”、“”型等。【教學(xué)重點(diǎn)】1型未定式；2型未定式。【教學(xué)難點(diǎn)】型未定式和型未定式的運(yùn)用，簡單的“”、“”型的變形。【教學(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】 復(fù)習(xí)：1. 羅爾中值定理2. 拉格朗日中值定理新課我們把兩個(gè)無窮小量與兩個(gè)無窮大量之比的極限，與稱為未定式極限。根據(jù)微分中值定理可以得到計(jì)算這兩類極限的洛必達(dá)法則。洛必達(dá)（LHospital 1661-1704）法國數(shù)學(xué)家。他曾受襲侯爵銜，并在軍隊(duì)中擔(dān)任騎兵軍官，后來因?yàn)橐暳Σ患讯顺鲕婈?duì)，轉(zhuǎn)向?qū)W術(shù)方面加以研究。首先，我們來介紹型未定式。一、型未定式。定理 （羅必達(dá)法則I）如果函數(shù)與滿足條件：（1），（2）在的某鄰域內(nèi)（除外）都存在，且，（3）存在

11、（或?yàn)椋瑒t說明：對(duì)于的其他變化趨勢(shì)（，,）時(shí)的型未定式的極限，上述定理仍然成立定理3.4告訴我們：如果為型未定式，在符合定理?xiàng)l件的情況下，可通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定極限。例1 利用洛必達(dá)法則求極限。解驗(yàn)證了我們之前學(xué)過的重要極限公式。提問：重要極限一中的一個(gè)重要結(jié)論能否利用洛必達(dá)法則來驗(yàn)證，怎么驗(yàn)證？例2 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達(dá)法則，得例3 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達(dá)法則，得=例4 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達(dá)法則，得=說明：在求極限過程中，如果仍是未定式，且仍滿足羅必達(dá)法則的條件，那么=也就是說，羅必達(dá)法則可累次使用下去如：例5求極限解 課堂練習(xí)：1

12、. 求極限_（答案： 1）.2.求極限_（答案：）.3.求極限_（答案：）.二、型未定式定理35（羅必達(dá)法則II）如果函數(shù)與滿足條件：（1），（2）在的某鄰域內(nèi)（除外）都存在，且，（3）存在（或?yàn)椋瑒t=說明：對(duì)于的其他變化趨勢(shì)（，,）時(shí)的型未定式的極限，上述定理仍然成立定理3.5告訴我們：如果為型未定式，在符合定理?xiàng)l件的情況下，可通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定極限。例6 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達(dá)法則，得例7 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達(dá)法則，得=例8 求解這是型未定式，根據(jù)羅必達(dá)法則，得說明： 洛必達(dá)法則對(duì)型或型未定式可直接使用，每次使用前要首先進(jìn)行檢驗(yàn)，如果不是未定

13、式，就不能使用洛必達(dá)法則例8中已不是不定式了，如果繼續(xù)利用洛必達(dá)法則則會(huì)出錯(cuò)。思考：能否利用洛必達(dá)法則？羅必達(dá)法則的條件是充分的，并非是必要的，因此羅必達(dá)法則有時(shí)失效，但羅必達(dá)法則失效時(shí)極限仍可能存在如在求極限中，雖然初看是型，但若使用羅必達(dá)法則，將會(huì)出現(xiàn)死循環(huán)，羅必達(dá)法則使用失效如：但此極限是存在的，我們可用以下方法求得例9 求極限解 本題應(yīng)當(dāng)這樣求解：或這也說明羅必達(dá)法則雖然能解決一些極限問題，但不是萬能的課堂練習(xí)：1. 求_.（答案： 0）2.求 _.(答案：1 注意洛必達(dá)法則結(jié)本題時(shí)失效)三、其它類型的未定式未定式除型與型外，還有、等類型對(duì)于這幾種未定式，可先化成型或型未定式后用羅必達(dá)

14、法則求極限例10 求極限解 所求極限為型未定式，我們將其轉(zhuǎn)化為型計(jì)算例11 求極限解 所求極限為型未定式，我們將其轉(zhuǎn)化為型計(jì)算說明：將型未定式轉(zhuǎn)化為型或型未定式的過程中，往往將一部分變量拉到分母里，轉(zhuǎn)化為分式，一般的原則是分子分母求導(dǎo)簡單，比較方便使用羅必達(dá)法則例12 求極限解 這是型未定式，作通分變形，將其化為型未定式說明：將型未定式轉(zhuǎn)化為型未定式時(shí)，往往采用通分思考：、型等未定式如何轉(zhuǎn)化為型或型未定式？（答案：一般采用對(duì)數(shù)的恒等變形，先將它轉(zhuǎn)化為型未定式，然后再化成型）課堂練習(xí)：1.求_.（答案：0 這是型，轉(zhuǎn)化為。）2求_.（答案： 這是，采用對(duì)數(shù)恒等變形。）3.求_. (答案：)本堂課

15、小結(jié)：1.型未定式2.型未定式3.、型未定式先轉(zhuǎn)化為型或未定式第三節(jié) 函數(shù)單調(diào)性與極值【教學(xué)內(nèi)容】函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值【教學(xué)目的】掌握用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判別函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行簡單不等式的證明；理解函數(shù)極值與極值點(diǎn)的概念，掌握極值存在的必要條件，熟練掌握求函數(shù)極值的方法（極值點(diǎn)的充分條件），搞清極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。【教學(xué)重點(diǎn)】1函數(shù)單調(diào)性的判斷；2.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法；3.函數(shù)極值的求法。【教學(xué)難點(diǎn)】1. 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法；2. 函數(shù)極值的求法。【教學(xué)時(shí)數(shù)】3學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】 復(fù)習(xí)：1. 型與型未定式 2. 洛必達(dá)法則新課一、函數(shù)的單調(diào)性判斷提

16、問：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，試考慮在區(qū)間內(nèi)符號(hào)？若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，試考慮在區(qū)間內(nèi)符號(hào)？ 從函數(shù)的幾何圖形來看，如果當(dāng)函數(shù)是單調(diào)增加的，那么這條曲線沿軸正向是上升的，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的切線斜率都是正的（即），如圖1所示；如果當(dāng)函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)減少的，如圖2所示，曲線在區(qū)間內(nèi)沿軸正向是下降的，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的切線斜率都是負(fù)的（即）圖1 圖2可見，函數(shù)的單調(diào)性與它的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系，反過來，能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？下面我們給出函數(shù)單調(diào)性的判定法：定理1設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)（1）如果在內(nèi)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，（2）如果在內(nèi)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少證明 （1）在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn)、，不

17、妨設(shè)，顯然在，上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，則一定存在一點(diǎn)，使由已知條件，且，所以，這就是說在內(nèi)是單調(diào)增加的同理可證（2）提問：1. 定理36中的開區(qū)間換成等其他各種區(qū)間，定理3.6的結(jié)論如何變化？2. 與換成與（等號(hào)只在個(gè)別點(diǎn)成立），定理3.6的結(jié)論是否仍然成立？例1 1. 討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 2. 討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性解 1. 因?yàn)椋詤^(qū)間內(nèi)，由定理36知，在上是單調(diào)增加的2. 從函數(shù)的解析中可以看出在上是單調(diào)增加的。同時(shí)我們也可以看到，在上，。結(jié)論：定理1中的開區(qū)間換成等其他各種區(qū)間，定理1的結(jié)論仍成立。例2 討論函數(shù)的單調(diào)性。解 因?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)減少的；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)增

18、加的；例3 求函數(shù)的單調(diào)性解 因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由定理1知，是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間由定理1可知，討論函數(shù)，需要根據(jù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來進(jìn)行判定。當(dāng)連續(xù)時(shí)，的正負(fù)值的分界點(diǎn)是使或不存在的點(diǎn)（如例2與例3）.我們把的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)。例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋郑睿獾民v點(diǎn)用它們將定義域分成三個(gè)區(qū)間：，。列表討論如下：1500所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是、；單調(diào)減少區(qū)間是課堂練習(xí)：1. 結(jié)合以上分析，總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，可分為哪幾步進(jìn)行？答案：1. 求函數(shù)的定義域； 2. 求導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)一步求出的不可導(dǎo)點(diǎn)與駐點(diǎn)； 3. 用2中的點(diǎn)對(duì)定義

19、域進(jìn)行劃分； 4. 在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)判定的符號(hào)，由定理1得出相應(yīng)的結(jié)果。例5 證明：當(dāng)時(shí)，證明 令，則又（），所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加因此，當(dāng)時(shí)，即課堂練習(xí)：2. 討論函數(shù)的單調(diào)性解 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋至睿獾民v點(diǎn)為；又當(dāng)時(shí)，無意義，所以是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)；列表考察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不存在0所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是、；單調(diào)減少區(qū)間是3. 討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 答案：函數(shù)在與上單調(diào)增加；在上單調(diào)減少。二、函數(shù)的極值定義1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)（），均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，稱為的極大值點(diǎn)；同樣，如果在該鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)（），均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，稱為的極小值點(diǎn)函數(shù)

20、的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)提問：函數(shù)的極值與函數(shù)的最大值、最小值有何關(guān)系？這是兩個(gè)不同的概念。極值是一種局部性的概念，它只限于與的某鄰域的函數(shù)值比較；而最大值、最小值是一個(gè)整體概念，它是就整個(gè)區(qū)間的函數(shù)值比較來說的函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，函數(shù)的極小值也不一定就是函數(shù)的最小值；一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上可能有若干個(gè)極值點(diǎn)，在這些點(diǎn)上，有些極小值可能要大于極大值。圖3提問：在圖3中哪些是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)，哪些是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)最值點(diǎn)？函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極大值：，三個(gè)極小值：，其中極大值比極小值還小對(duì)整個(gè)區(qū)間來說，只有一個(gè)極小值是最小值，而沒有一個(gè)極大值是最大值從

21、幾何圖形上看，在函數(shù)可導(dǎo)的前提下，取得極值處，曲線的切線是水平的但曲線有水平切線的地方，函數(shù)不一定取得極值，圖35中的點(diǎn)處曲線的切線都是水平的，但不是極值圖3直觀告訴我們求函數(shù)極值的基本思想，我們先介紹下面的定理。定理2 （極值存在的必要條件） 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，則必有提問：定理2說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，反過來駐點(diǎn)是不是一定是函數(shù)的極值點(diǎn)呢？駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)例如點(diǎn)是函數(shù)、的駐點(diǎn)，它也是函數(shù)的極小值點(diǎn)，但它卻不是函數(shù)的極值點(diǎn)提問：出了函數(shù)的駐點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)之外，還有哪些點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)呢？連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)例如，函數(shù)，在點(diǎn)連續(xù)而不可

22、導(dǎo)，但是函數(shù)的極小值點(diǎn)不過由定理2可以肯定，如果是函數(shù)的極值點(diǎn)且存在，則一定是駐點(diǎn)因此函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都有可能是極值點(diǎn)，這樣尋求函數(shù)的極值點(diǎn)的范圍就大大的縮小了，只須對(duì)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行判斷即可提問：試考慮如何判斷哪些駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是極值點(diǎn)呢？定理3（極值的第一充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（1）如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)在處取得極大值；（2）如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)在處取得極小值；（3）如果在的兩側(cè)，具有相同的符號(hào)，則函數(shù)在處不取得極值綜上所述，求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的一般步驟為：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求，解方程，求出駐點(diǎn)，找出使不存在的點(diǎn)；

23、(3)用上述諸點(diǎn)按從小到大的順序?qū)⒍x區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調(diào)性，也就得到了極值點(diǎn)；(4)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值例6 求函數(shù)的極值解 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋挥至睿獾?，；列表得， ， 1，+00+極大值極小值所以函數(shù)在 處取得極大值，極大值；函數(shù)在處取得極小值，極小值為例7 求函數(shù)的極值解 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋挥郑划?dāng)時(shí)，不存在；列表得，2，+不存在極大值所以函數(shù)在處取得極大值，極大值為課堂練習(xí)：1. 求函數(shù)的極值。（答案：極小值）2. 求函數(shù)的極值。（答案：極大值，極小值）定理4 （極值的第二充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處

24、具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值例8 求函數(shù)的極值解 因?yàn)椋睿民v點(diǎn)由于，所以為極大值，為極大值說明：看起來，第二充分條件比第一充分條件要簡單，但當(dāng)時(shí)，第二充分條件定理失效例如，有，但不是極值點(diǎn)；，有，而是極小值點(diǎn)，在這種情況下，要利用第一充分條件來判斷函數(shù)的極值對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，只能用第一充分條件定理來判斷。課堂練習(xí)：1.求函數(shù)的極值。（答案：極小值，極大值） 2.求函數(shù)的極值。（答案：極大值） 3. 求函數(shù)的極值。（答案：極小值）本堂課小結(jié)：1.函數(shù)的單調(diào)性判斷：1. 求函數(shù)的定義域；2. 求導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)一步求出的不可導(dǎo)點(diǎn)與駐點(diǎn)

25、； 3. 用2中的點(diǎn)對(duì)定義域進(jìn)行劃分； 4. 在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)判定的符號(hào)，如果，則函數(shù)單調(diào)增加；如果，則函數(shù)單調(diào)減少2.函數(shù)極值的判斷(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求，解方程，求出駐點(diǎn)，找出使不存在的點(diǎn)；(3)用上述諸點(diǎn)按從小到大的順序?qū)⒍x區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調(diào)性，也就得到了極值點(diǎn)；(4)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值第四節(jié) 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用【教學(xué)內(nèi)容】函數(shù)的最值，最值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用舉例，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用【教學(xué)目的】初步掌握簡單的實(shí)際問題中最大值和最小值的求法；會(huì)利用導(dǎo)數(shù)討論一些簡單的問題。【教學(xué)重點(diǎn)】

26、函數(shù)最值的求法及應(yīng)用；【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)最值的求法及應(yīng)用【教學(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】 復(fù)習(xí)：1.函數(shù)的單調(diào)性判斷：1. 求函數(shù)的定義域；2. 求導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)一步求出的不可導(dǎo)點(diǎn)與駐點(diǎn)； 3. 用2中的點(diǎn)對(duì)定義域進(jìn)行劃分； 4. 在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)判定的符號(hào)，如果，則函數(shù)單調(diào)增加；如果，則函數(shù)單調(diào)減少2.函數(shù)極值的判斷：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求，解方程，求出駐點(diǎn)，找出使不存在的點(diǎn)；(3)用上述諸點(diǎn)按從小到大的順序?qū)⒍x區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調(diào)性，也就得到了極值點(diǎn)；(4)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值新課一、函數(shù)的最值提問：什么是函

27、數(shù)的最大值、最小值？如果函數(shù)在其定義域上的函數(shù)值滿足，其中，則稱為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值下面我們討論函數(shù)在某些特定條件下的最大值和最小值的問題我們知道，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值，（思考：為什么？）且最大值和最小值只可能在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和端點(diǎn)處得到因此可直接求出一切可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)及個(gè)別不可導(dǎo)點(diǎn)）和端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些數(shù)值的大小，即可得出函數(shù)的最大值和最小值提問：如果函數(shù)在上單調(diào)增加，則函數(shù)的最大值和最小值分別是？如果函數(shù)在上單調(diào)增加，是函數(shù)在上的最小值，是函數(shù)在上的最大值，如圖1所示；提問：如果函數(shù)在上單調(diào)減少，則函數(shù)的最大值和最小值分別是？如果函數(shù)在上單調(diào)減少，則

28、是函數(shù)在上的最大值；是函數(shù)在上的最小值，如圖2所示圖1 圖2提問：在什么情況下函數(shù)的極大值一定是最大值，什么情況下函數(shù)的極小值一定是最小值？如果連續(xù)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極大值，而沒有極小值，則此極大值就是函數(shù)在上的最大值，如圖3所示；如果連續(xù)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極小值，而沒有極大值，則此極小值就是函數(shù)在上的最小值，如圖4所示圖3 圖4例1 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 因?yàn)椋睿民v點(diǎn)為，（不合題意，舍去），由于，比較各值，得函數(shù)的最大值為，最小值為例2 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 因?yàn)椋@然，與是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)令，得駐點(diǎn)為由于，比較各值，得函數(shù)的最大值為，最小值為課堂練習(xí)：1.求函數(shù)在上的

29、最大值和最小值（答案：最大值，最小值）二、最值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用舉例對(duì)于求最大值和最小值的應(yīng)用問題，首先要根據(jù)問題的具體意義，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域，再應(yīng)用前面所學(xué)的方法求函數(shù)的最大值和最小值若問題的最大值或最小值的客觀存在是明顯的，且在所限定的區(qū)間內(nèi)，只有唯一的駐點(diǎn)，那么，這個(gè)唯一駐點(diǎn)的函數(shù)值，一定是所求的最大值或最小值例3 設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為（元）（為產(chǎn)品的產(chǎn)量），求當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本最小，并求最小平均成本解 該產(chǎn)品的平均成本函數(shù)為（）令，即，求得唯一駐點(diǎn)又因?yàn)椋栽谔幦〉米钚≈担渥钚≈禐椋ㄔ├? 一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，

30、公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的維修費(fèi)，問房租定為多少時(shí)可獲得最大收入？解 設(shè)租金每月元，租出去的公寓有，總收入為又，令，則得，由于，因此是函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，所以是函數(shù)的最大值點(diǎn)，即房租定為每月350元可獲得最大收入，最大收入為（元） 課堂練習(xí)：1. 設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)格與需求的關(guān)系為，總成本函數(shù)（元），求當(dāng)產(chǎn)量和價(jià)格分別是多少時(shí)，該產(chǎn)品的利潤最大，并求最大利潤（答案：當(dāng)產(chǎn)品為單位，價(jià)格為175元/單位時(shí)，最大利潤為16950元）本堂課小結(jié)：函數(shù)最值第3章小結(jié)、復(fù)習(xí)課【教學(xué)內(nèi)容】基本定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西定理；基本

31、計(jì)算：函數(shù)極限的計(jì)算、函數(shù)單調(diào)性及極值的計(jì)算、最值等。【教學(xué)目的】使學(xué)生理解本章內(nèi)容中的基本定理；基本概念；掌握相關(guān)的計(jì)算。【教學(xué)重點(diǎn)】1洛必達(dá)法則；2函數(shù)的單調(diào)性與極值 。【教學(xué)難點(diǎn)】1利用中值定理證明等式與不等式；2利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；3最值問題。【教學(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】一、微分中值定理1羅爾定理：如果函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）。則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得2拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得3柯西定理：設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得例1：判斷函數(shù)在閉區(qū)間1,e上是否滿足拉格朗日中值定理？如果滿足，找出使定理結(jié)論成立的的值。解：