1、北 京 交 通 大 學(xué)2006-2007學(xué)年第二學(xué)期復(fù)變函數(shù)和積分變換期末試卷（B）學(xué)院_ 專業(yè)_ 班級(jí)_學(xué)號(hào)_ 姓名_ 任課教師 題號(hào)一二三四五六七八總分得分閱卷人一（本題30分，其每小題各3分）（1） 方程（t為實(shí)參數(shù)）給出的曲線是 ；（2） 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式是 ；（3） 函數(shù)，z=0為 級(jí)極點(diǎn)，為 級(jí)極點(diǎn)；（4） 計(jì)算 ；（5） 若，則其收斂半徑 ；（6） 計(jì)算留數(shù)： ；（7） 函數(shù)在可微的充要條件為 ；（8） 曲線在映射下的像是 ；（9） C為以a為圓心，r為半徑的圓周，計(jì)算（n為正整數(shù)） ；（10） 判斷的斂散性 .二、計(jì)算題（25分，每小題各5分）(1)、計(jì)算積分其中積分路徑C為：連

2、接由原點(diǎn)到1+i的直線段；連接由原點(diǎn)到點(diǎn)1的直線段及連接由點(diǎn)1到點(diǎn)1+i的直線段所組成的折線. (2)、已知：求： (3)、計(jì)算（4）、計(jì)算，其中。（5）計(jì)算.三、求積分（7分）四、求解析函數(shù)，已知 ，且. （7分）五、驗(yàn)證在右半z平面內(nèi)滿足Laplace方程，即；其中， 并求以此為虛部的解析函數(shù).（8分）六、（8分）求函數(shù)分別在如下區(qū)域展成洛朗展式（1） （2）0<<1.七、求實(shí)軸在映射下的象曲線（8分）八、求函數(shù)的傅立葉變換（7分） 一、(1)直線y=x(2)(3)一;二(4)(5)2(6)(7)函數(shù)u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 u(x,y),v(x,y)在(x,

3、y)滿足C.-R.條件.即.(8)x=-y(9)(10發(fā)散 二、(1) 連接原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段的參數(shù)方程為： z=(1+i)t 故 = = = 連接由原點(diǎn)到點(diǎn)1的直線段的參數(shù)方程為: z=t , 連接由點(diǎn)1到點(diǎn)1+i的直線段參數(shù)方程為: z=(1-t)+(1+i)t , 即 z=1+it ,故 = = =(2)由題可知被積函數(shù)只有z=0一個(gè)奇點(diǎn)。 將被積函數(shù)展為羅朗級(jí)數(shù) ，后面那個(gè)分式在z=0為解析，故可展為z的冪級(jí)數(shù)： （其中及以下各項(xiàng)不需關(guān)心）于是在z=0的去心鄰域內(nèi)有 由此即得 故由留數(shù)定理，原積分等于i.(3)因?yàn)樵诜e分區(qū)域內(nèi)解析，在邊界連續(xù)， 故由柯西積分定理 原積分等于0。(4

4、)因?yàn)閦=-i在積分區(qū)域內(nèi)， 所以 原積分= =(5)在單位圓周內(nèi)，函數(shù)只有一個(gè)本性奇點(diǎn)z=0.在該點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有羅朗展式于是 故由留數(shù)定理 原積分等于.三、函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：z=0,1.由復(fù)合閉路定理有= 四、由C.-R.條件中的一個(gè)得再由C.-R.條件中的另一個(gè)得故 因此 故 要滿足 f(i)=0,必C=1，故f(z)=.五、解： (x>0)于是 故在右半z平面內(nèi)，v(x,y)是調(diào)和函數(shù)。 =兩端對(duì)y求導(dǎo) 所以 故 六、由題可知被積函數(shù)在z平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)z=1及z=2.則 (1) 在去心鄰域 內(nèi) = =(2) 在去心鄰域0<<1內(nèi) =.七、在實(shí)軸上取三點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的三個(gè)象點(diǎn)