1、點(diǎn)列、遞歸數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法【考題回放】 1已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2(an -1)，則a2等于(  A  ) A. 4        B. 2         C. 1        D. -2 2在數(shù)列中，且，則  35  3在數(shù)列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數(shù)

2、列的通項(xiàng)an=_2 n+1-3_. 4對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是2n+1-2    .  5已知n次式項(xiàng)式.若在一種算法中，計(jì)算的值需要k1次乘法，計(jì)算P3（x0）的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），則計(jì)算P10（x0）的值共需要   65  次運(yùn)算. 下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，n1）.利用該算法，計(jì)算P3（x0）的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算Pn（x0）的值共需要 

3、;     2n      次運(yùn)算.       6已知函數(shù)f (x)=，數(shù)列x(x0)的第一項(xiàng)x1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f (x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）. 求證：當(dāng)n時， ()  x （）.  【解答】(I)證明：因?yàn)?#160;所以曲線在處的切線斜率 即和兩點(diǎn)的直線斜率是 以. （II）因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時單調(diào)遞

4、增， 而， 所以，即   因此 又因?yàn)?#160; 令  則 因?yàn)?#160;   所以 因此  故 【考點(diǎn)透視】 本專題是等差（比）數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，同時加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，是歷年的重點(diǎn)內(nèi)容之一，近幾年考查的力度有所增加，體現(xiàn)高考是以能力立意命題的原則 【熱點(diǎn)透析】 高考中常常把數(shù)列、極限與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等等相關(guān)內(nèi)容綜合在一起，再加以導(dǎo)數(shù)和向量等新增內(nèi)容，使數(shù)列綜合題新意層出不窮常見題型： （1）由遞推公式給出數(shù)列

5、，與其他知識交匯，考查運(yùn)用遞推公式進(jìn)行恒等變形、推理與綜合能力 （2）給出Sn與an的關(guān)系，求通項(xiàng)等，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與解決問題能力 （3）以函數(shù)、解析幾何的知識為載體，或定義新數(shù)列，考查在新情境下知識的遷移能力理科生需要注意數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列綜合題中的應(yīng)用，注意不等式型的遞推數(shù)列 【范例講解】 【范例1】已知數(shù)列中，對一切自然數(shù)，都有且 求證：(1)；       (2)若表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則 解析： (1)由已知得， 又因?yàn)椋? 因此，即 (

6、2) 由結(jié)論(1)可知 ，即， 于是， 即 【點(diǎn)睛】從題目的結(jié)構(gòu)可以看出，條件是解決問題的關(guān)鍵，必須從中找出和的關(guān)系 【文】記    （）求b1、b2、b3、b4的值；    （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和 解析（I） 整理得  （）由 所以  【范例2】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和， （）求首項(xiàng)與通項(xiàng)； （）設(shè)，證明： 解析 ()由     

7、  得所以 再由有  將和相減得:  整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數(shù)列an+2n是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列，即an+2n = 4×4 n1= 4 n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3,  ()           所以 = =  <  【點(diǎn)睛】Sn與an始終是我們的重點(diǎn)，需要我們引起重視；注意總結(jié)積累數(shù)列不等式放縮的技巧 

8、【文】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若是首項(xiàng)為S1各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用S1和q表示）； （）試比較的大小，并證明你的結(jié)論. 解析（）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， 當(dāng)n=1時，a1=S1；   當(dāng)  （）當(dāng)n=1時，   當(dāng)時，   當(dāng)q=1時， 當(dāng) 當(dāng) 綜上可知：當(dāng)n=1時，當(dāng) 若  若 【范例3】由坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線引切線，切于O以外的點(diǎn)P1，再由P1引此曲線的切線

9、，切于P1以外的點(diǎn)P2），如此進(jìn)行下去，得到點(diǎn)列 Pn. 求：（）的關(guān)系式；     （）數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）當(dāng)時，的極限位置的坐 解析（）由題得   過點(diǎn)P1（的切線為 過原點(diǎn)  又過點(diǎn)Pn（的 因?yàn)檫^點(diǎn)Pn-1（    整理得   （）由（I）得  所以數(shù)列xn-a是以公比為的等比數(shù)列  （法2）通過計(jì)算再用數(shù)學(xué)歸納法證明. （） 

10、 的極限位置為（ 【點(diǎn)睛】注意曲線的切線方程的應(yīng)用，從而得出遞推式 【文】數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知 （）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式； （）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 解析由得， 即，所以，對成立 由， 相加得，又，所以， 當(dāng)時，也成立 （）由，得 而， ， . 【范例4】設(shè)點(diǎn)(，0)，和拋物線：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：  x11，點(diǎn)P2 (x2，2)在拋物線C1：yx2a1xb1上

11、，點(diǎn)A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點(diǎn)的最短距離，點(diǎn)在拋物線：yx2an xbn上，點(diǎn)(，0)到的距離是 到 上點(diǎn)的最短距離  ()求x2及C1的方程  ()證明是等差數(shù)列 解：()由題意,得A(1,0),  C1：y=x2-7x+b1. 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是C1上任意一點(diǎn),則|A1P|= 令f (x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2, 則 由題意得, 即 又P2(x2,0)在C1上,  2=x22 -7x2+b1 解得x2=3,

12、b1=14. 故C1方程為y=x2-7x+14. ()設(shè)P(x,y)是C1上任意一點(diǎn),則 |AnP|= 令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,則, 由題意得,即=0, 又,(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n1), 即(1+2n+1)xn+1- xn+2 n an =0,   (*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明xn=2n-1.        當(dāng)n=1時,x1=1,等式成立.   &

13、#160;         假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,即xk=2k-1.  則當(dāng)n=k+1時,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0,   (*) 又ak=-2-4k-,. 即當(dāng)n=k+1,時等式成立. 由知,等式對nN+成立,xn是等差數(shù)列. 【點(diǎn)睛】注意第（1）小題其實(shí)是第（2）小題的特例，對于求數(shù)列的通項(xiàng)公式，歸納猜想證明是十分常用的手段 【文】已知數(shù)列滿足 （I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

14、0;（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 解析（I）證明：    是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 （II）解：由（I）得   （III）證明：     ，得 即  ，得  即      是等差數(shù)列 自我提升1.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，稱為數(shù)列，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列，的“理想數(shù)”為2004，那么數(shù)列2， ，的“理想數(shù)”為（A） (A)

15、 2002          (B) 2004         (C) 2006         (D) 2008  2. 數(shù)學(xué)拓展課上，老師定義了一種運(yùn)算“*”，對于nN*滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1) 2*2 = 1，(2) ( 2n + 2) * 2 = 3(2n * 2)則2n*2用含n的代數(shù)式表示為 3n-1_&#

16、160;3. 若數(shù)列an滿足若，則的值為（  B ） (A)           (B)          (C)            (D)  4. 彈子棋共有60顆大小相同的球形彈子，現(xiàn)在棋盤上將它疊成正四面體形的球垛，使剩下的彈子盡可能少，那么剩余的彈子有(B)

17、 （A）0顆        （B）4顆      （C）5顆        （D）11顆 5. 一個機(jī)器貓每秒前進(jìn)或后退一步，程序設(shè)計(jì)人員讓機(jī)器貓以每前進(jìn)3步，然后再后退2步的規(guī)律移動；如果將此機(jī)器貓放在數(shù)軸的原點(diǎn)上，面向正的方向，以1步的距離為1個單位長，令P（n）表示第n秒時機(jī)器貓所在的位置的坐標(biāo)，且P（0）=0，那么下列結(jié)論中錯誤的是（ C） （A）P(3)=3 

18、;    （B）P(5)=1    （C）P(101)=21    （D）P(103)<P(104) 6. 已知函數(shù)f(x) = 2x2x,則使得數(shù)列(nN+)成等差數(shù)列的非零常數(shù)p與q所滿足的關(guān)系式為      .p=-2q 7. (理)已知x軸上有一點(diǎn)列：P1(x1,0), P2(x2,0), ,Pn(xn,0),點(diǎn)Pn+2分有向線段所成的比為，其中nN*，>0為常數(shù)，x1=1, x2=2. （1）設(shè)an=xn+1xn，求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)f ()=x n，當(dāng)變化時，求f ()的取值范圍. 解析（1）由題得        an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，   當(dāng)>0時    (文) 設(shè)曲線與一次函數(shù)yf（x）的圖象關(guān)于直線 yx對稱，若f (-1)=0，且點(diǎn) 在曲線上，又a1= a2 （1）求曲線C所對應(yīng)的函數(shù)