1、精選優質文檔-傾情為你奉上第九章 多元函數微分法及其應用一、基本要求及重點、難點1. 基本要求(1) 理解二元函數的概念，了解多元函數的概念。(2) 了解二元函數的極限、連續性概念，有界閉域上連續函數的性質。(3) 理解偏導數和全微分的概念，熟練掌握偏導數的計算，了解全微分存在的必要條件和充分條件。(4) 了解方向導數與梯度的概念及其計算方法。(5) 掌握復合函數一階偏導數的求法，會求復合函數的二階偏導數。(6) 會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數（主要是一階）。(7) 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線、并會求出它們的方程。(8) 理解多元函數極值和條件極值的概念，會求二

2、元函數的極值。了解求條件極值的拉格朗日乘數法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。2. 重點及難點（1）重點：多元函數概念，偏導數與全微分概念，偏導數計算，微分在幾何上的應用，多元函數的極值的計算。（2）難點：二重極限的定義與計算，多元函數連續；偏導數存在與可微之間的關系；復合函數的高階偏導數；方向導數、偏導數、梯度之間的關系。二、內容概述多元函數微分學是一元函數微分學的推廣，因此兩者之間有許多相似之處，但是要特別注意它們之間的一些本質差別。1. 多元函數的極限和連續(1) 基本概念1) 點集和區域。2) 多元函數的定義、定義域。3) 二元函數的極限、連續。(2) 基本定理1) 多元初

3、等函數在其定義域內是連續的。2) 多元連續函數在有界閉區域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之間的任何值。2. 多元函數微分法(1) 基本概念偏導數、全微分、高階偏導數的定義。(2) 計算方法1) 偏導數：在處對的偏導數，就是一元函數在處的導數；對的偏導數（同理）。2) 全微分：的全微分3) 復合函數求導法則：畫出函數到自變量的路經，然后利用鏈式迭加法則：即同條路經的偏導數相乘，不同路經的偏導數相加，求出所要的偏導數。A. 設，則全導數。B. 設，則： ，。4)隱函數求導法則：A. 設函數由隱函數確定，則。B. 設函數由隱函數確定，則，。C. 設函數由隱函數方程組確定，從，

4、求出導數。(3) 多元函數連續、可導、可微的關系(4) 基本定理1)可微的必要條件：如果函數在點處可微分，則函數在點處偏導數必定存在，且全微分為。2)可微的充分條件：如果函數的偏導數在點處連續，則函數在該點必可微，且。3. 多元函數微分學的應用(1) 方向導數和梯度1) 方向導數A. 定義：，B. 計算方法：2) 梯度A. 定義：B. 函數在一點的梯度grad是一個向量，它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向，它的模等于方向導數的最大值。3) 方向導數和偏導數的區別和聯系A. 都是多元函數的變化率，方向導數是沿任意指定方向的變化率而偏導數是沿坐標軸方向（兩個方向）的變化率；B. 方向導

5、數是偏導數概念的推廣，偏導數并不是某一方向的方向導數。(2) 在幾何上的應用空間曲線為曲線上一點1、切線方程：2、法平面方程：1、切線方程：2、法平面方程：空間曲面為曲面上一點1、切平方面方程2、法線方程1、切平面方程2、法線方程(3) 極值問題1) 無條件極值A. 極值的必要條件：若函數在點處達到極值，且偏導數都存在，則，。B. 極值的充分條件：設函數在點的某個鄰域內有連續的二階偏導數，且，記，則為極小值為極大值不是極值無法判斷2) 條件極值及其求法：A. 定義：函數在條件下的極值，稱為條件極值。B. 計算方法：拉格朗日乘數法：將該問題化為求函數的無條件極值，因此從中求出的，就是函數在約束條

6、件下的可能的極值點。(4) 最值問題1) 設函數在開區間內連續，是內唯一的極值點，如果該點是極大（小）點，則該點是最大（小）點，為最大（小）值。2) 設函數在有界閉區域上連續，則必取到最大值和最小值，將邊界上的最值和內的可能極值點進行比較，則最大的為最大值，最小的為最小值。在實際應用中，只有一個最值，而在討論的范圍內所求的函數只有唯一的一個可能極值點，則該點就是所求的最值點三、典型例題分析1. 多元函數的定義域、極限和連續1、求定義域 和一元函數的定義域的求法相同，都是化為解不等式，注意求出的定義域是平面區域。例1：求函數定義域解：由平方根內的函數不小于零，分母不為零，對數函數的定義域為正，由

7、反正弦函數的定義域從而2、復合函數問題在求復合函數的問題時，可適當引入中間變量。例2：求下列復合函數問題(1) 設，求 (2) 設，求解：（1）由，令，則（2）令，則，從而：，所以3、二重極限和連續性(1) 在一元函數極限中，只有三種形式，而在二元函數的重極限中，的方式有無窮多種，這是兩者的本質區別，不要輕易用求累次極限去代替求重極限。(2) 求時，可用連續函數的極限值等于函數值，等價無窮小的代換，重要極限，恒等變換約去零因子，夾逼定理等。(3) 通常用取不同路徑的極限不相等來說明不存在。例3：求下列極限(1)(2)解：（1）（2）例4: 證明：函數分別對x和y是連續的，但在原點函數不連續。證

8、：當時，有，當時，有，所以對變量連續，同理對變量也連續。但當點沿趨于原點時極限為：，故在原點函數不連續2. 多元函數微分法例5：設，求。解： ，例6：設，求解：，；（由位置的對稱性）。例7：求的全微分由，兩邊對求導所以：例8：設,求，解: 例9：，具有二階連續偏導數，求解：，3隱函數、參數方程的偏導數隱函數求導有公式法和直接法。直接法就是將方程或方程組兩邊對某一變量求導，此時其它變量是該變量的函數，注意使用多元復合函數的求導法則。例10：設，求，解：令則，例11：設，其中F具有連續的一階偏導數，證明。證明：，從而，所以。4多元函數微分學的應用1、方向導數和梯度例12：求函數在點處沿點的向徑方向

9、的方向導數。解：在點處 ，故向徑的方向余弦為，向徑的方向導數為例13：求數量場在點的梯度、沿的方向導數和處最大的方向導數。解:由,得:；由方向的方向余弦，得方向導數：； 處最大的方向導數即為點處梯度的模：例14：函數，其中，設沿方向的方向導數，則與的關系如何？解：，由對稱性，由已知得，從而垂直。2、多元函數微分學在幾何上的應用例15：在曲線上求一點，使該點的切線垂直于平面，并求切線和法平面方程。解：點處的切線的方向向量為，平面的法向量為，由已知，故，從而，所以切線方程為法平面方程為，即。例16：求曲面上平行于平面的切平面方程。解：令，故切平面的法向量為，平面的法向量為，由已知，故，所以所求點為

10、，又該點在曲面上，則，解得，因此切平面方程為，即。3、求極值和最值例17：求的極值。解：由，求得駐點為，在點，不是極值點；在點，且，是極小值點，極小值為。例18：在面上求一點，使它到三條直線的距離平方和為最小。解：設所求點為，則該點到三條直線的距離平方和為，由，即，解得唯一駐點為，由唯一性，則該點即為所求。例19：求過點的平面，使它與三個坐標面在第一象限內所圍成的立體體積最小。解：設所求平面與三個坐標面在第一象限內的截距為（其中）從而圍成的立體體積為，平面方程為，故此問題化為求在約束條件下的條件極值問題，則拉格朗日函數為，求的偏導數，并使之為零，則，解得唯一駐點，所以所求平面方程為。四、自測題

11、A及解答一、選擇題1. 極限（ ）（A）不存在（B）0 （C）1（D）2. 設函數，則（ ）（A）（B）（C）（D）3. 設，則（ ）（A） （B）（C）1（D）4. 曲面上點（1，0，2）處切平面方程為（ ）。（A）（B） （C）（D）5. 函數點處方向導數的最大值為（ ）（A）（B）4 （C）2 （D）6二、填空題1. 函數在點處偏導數存在，是函數在點處可微的 條件。2. 設，則。3. 設函數，則，。4. 設，且可導，則5. 設，則在點的值等于 。6. 設有一階連續偏導數，則。7. 設，則。8. 函數在點處的梯度 。三、計算題1. 已知，求在處的全增量和全微分。2. 設，求的全微分。3.

12、設，其中f，g是可微函數，求。4. 設求5. ，求。四、應用題1. 求曲線，在點處的切線與法平面方程。2. 求函數在點沿從點到點的方向的方向導數。3. 求函數的極值。五、證明題設，證明自測題A參考答案一、選擇題(B)、(A)、(C)、(D)、(A)二、填空題1. 必要2. 解：令得，所以。3. 解：，4. 解：，所以。5. 解：，6.7. 解：，。8. ，三、計算題1. 解：，。2. 解：，所以所以：。3. 解：，4. ，5. 解：令，所以：四、應用題1. 解：，由題意可知，由，則所以切線：法平面：，即：。2. 解：，因為所以：3. 為駐點，駐點極值（0，0）00否是0否0否在點，當時，；當時

13、，。五、證明題證明：，故。五、自測題B及解答一、選擇題1. （ ）（A）不存在（B）3 （C）6（D）2. 函數的所有間斷點是（ ）（A） （B） （C） （D）3. 函數在點處的偏導數存在，是函數在點處連續的（ ）條件（A）充分非必要（B）必要非充分 （C）充分必要 （D）非充分且非必要4. 已知函數均有一階連續偏導數，則（ ）（A）（B） （C）（D）5. 設函數在處取得極小值，則函數在處（ ）（A）取得最小值（B）取得極大值 （C）取得極小值（D）取得最大值二、填空題1. 函數的定義域為 。2. 設由方程所確定的函數，則。3. 設，則 。4. 設，則。5. 設，則在點的值為 。6. 面上

14、的曲線繞著y軸旋轉一周的曲面在點（1，1，2）處的法線方程為 。7. 已知曲面上的點M處的切平面平行于已知平面，則M點的坐標是 。8. 函數在點（1，2）沿點（2，1）到（1，2）方向上的方向導數為 。三、計算題1. 設，求。2. ，具有二階連續偏導數，求。3. 設，其中由方程確定，求。4. ，求。5. 已知，而t由確定的x，y的函數，求。四、應用題1. 求橢球面上點處的切平面與面的夾角的余弦。2. 設函數，若在點處沿軸正方向有最大增長率18 ，求的值。3. 求函數在區域上的最大值。五、證明題設可微，而，求證。自測題B參考答案一、選擇題(B)、(D)、(D)、(A)、(C)二、填空題1. 解：。2. 解：令，則。3. 解：4. 解：5. 解： ，6. 解：旋轉曲面為，令，在點（1，1，2）處，故法線方程為。7. 解：；由8.