1、剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)問題 編者按 中國(guó)物理學(xué)會(huì)全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽委員會(huì) 2000 年第十九次會(huì)議對(duì)全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽內(nèi)容提要作了一些調(diào)整和補(bǔ)充，并決定從 2002 年起在復(fù)賽題與決賽題中使用提要中增補(bǔ)的內(nèi)容 一、競(jìng)賽涉及有關(guān)剛體的知識(shí)概要 1. 剛體 在無論多大的外力作用下，總保持其形狀和大小不變的物體稱為剛體剛體是一種理想化模型，實(shí)際物體在外力作用下發(fā)生的形變效應(yīng)不顯著可被忽略時(shí)，即可將其視為剛體，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變是其重要的模型特征 2 . 剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（速度、加速度、位移）總是相同的，這種運(yùn)動(dòng)叫做平動(dòng)研究剛體的平動(dòng)時(shí)，可選取剛體上任意一個(gè)

2、質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫做轉(zhuǎn)動(dòng)，而所繞的直線叫做轉(zhuǎn)軸若轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的，剛體的運(yùn)動(dòng)就是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的任何一個(gè)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)總可看做平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加，剛體的運(yùn)動(dòng)同樣遵從運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理 3. 質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 質(zhì)心這是一個(gè)等效意義的概念，即對(duì)于任何一個(gè)剛體（或質(zhì)點(diǎn)系），總可以找到一點(diǎn)，它的運(yùn)動(dòng)就代表整個(gè)剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）的平動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就等效于將剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）的質(zhì)量集中在點(diǎn)，剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）所受外力也全部作用在點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)叫做質(zhì)心當(dāng)外力的作用線通過剛體的質(zhì)心時(shí)，剛體僅做平動(dòng)；當(dāng)外力作用線不通過質(zhì)心時(shí)，整個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是隨質(zhì)心的平動(dòng)及繞質(zhì)心的

3、轉(zhuǎn)動(dòng)的合成 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律物體受外力 F 作用時(shí)，其質(zhì)心的加速度為 ，則必有，這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，該定律表明：不管物體的質(zhì)量如何分布，也不管外力作用點(diǎn)在物體的哪個(gè)位置，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)總等效于物體的質(zhì)量全部集中在此、外力亦作用于此點(diǎn)時(shí)應(yīng)有的運(yùn)動(dòng) 4 . 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度，它等于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積的總和，即 2 從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式可知，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于剛體各部分的質(zhì)量及對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的分布情況我們可以利用微元法求一些質(zhì)量均勻分布的幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 5. 描述轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量 對(duì)應(yīng)于平動(dòng)狀態(tài)參量的速度、加速度、動(dòng)量、動(dòng)能 （ 1

4、2 ）；描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量有： 角速度 角速度的定義為 在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離處的線速度與角速度之間的關(guān)系為 角加速度角加速度的定義為 在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離處的線加速度與角加速度的關(guān)系為 角動(dòng)量角動(dòng)量也叫做動(dòng)量矩，物體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離處某質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量大小是 ，各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的總和即為物體的角動(dòng)量，即 （ 2 ） 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 當(dāng)剛體做轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)具有共同的角速度 及不同的線速度，若第個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，離轉(zhuǎn)軸垂直距離為 ，則其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為（ 1 2 ） （ 1 2 ）2 ，整個(gè)剛體因轉(zhuǎn)動(dòng)而具有的動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的總和，即 （ 1 2 ）（ 2 ） （

5、1 2 ） 6 . 力矩力矩的功沖量矩 如同力的作用是使質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變、產(chǎn)生加速度的原因一樣，力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)、使剛體獲得角加速度的原因力的大小與力臂的乘積稱為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，即 類似于力的作用對(duì)位移的累積叫做功，力矩的作用對(duì)角位移的累積叫做力矩的功恒力矩的作用使剛體轉(zhuǎn)過 角時(shí)，力矩所做的功為力矩和角位移的乘積，即 與沖量是力的作用對(duì)時(shí)間的累積相似，力矩的作用對(duì)時(shí)間的累積叫做沖量矩，沖量矩定義為力矩乘以力矩作用的時(shí)間，即 7. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本規(guī)律 轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體在合外力矩的作用下，所獲得的角加速度與合外力矩大小成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，即 如同質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律可表述為動(dòng)量形式

6、，轉(zhuǎn)動(dòng)定理的角動(dòng)量表述形式是 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，即 （ 1 2 ） （ 1 2 ） O2 該定理揭示了力矩作用對(duì)角位移的積累效應(yīng)是改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 角動(dòng)量定理轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受的沖量矩等于該物體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量，即 該定理體現(xiàn)了力矩作用的時(shí)間積累效應(yīng)是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)量矩 角動(dòng)量守恒定律當(dāng)物體所受合外力矩等于零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變，此即角動(dòng)量守恒定律該定律適用于物體、物體組或質(zhì)點(diǎn)系當(dāng)不受外力矩或所受合外力矩為零的情況在運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律時(shí)，要注意確定滿足守恒條件的參照系 如果將上述描述剛體的物理量及剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)照（如表 1

7、 所示），可以發(fā)現(xiàn)它們極具平移對(duì)稱性，依據(jù)我們對(duì)后者的熟巧，一定可以很快把握剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題的規(guī)律 表 1 質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 位移 角位移 速度 角速度 加速度 角加速度 勻速直線運(yùn)動(dòng) 勻角速轉(zhuǎn)動(dòng) 勻變速直線運(yùn)動(dòng) （ 1 2 ） 2 2 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) （ 1 2 ） t2 O2 2 牛頓第二定律 轉(zhuǎn)動(dòng)定理 動(dòng)量定理 （恒力） 角動(dòng)量定理 動(dòng)能定理 （ 1 2 ） 2 （ 1 2 ） 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 （ 1 2 ） t2（ 1 2 ） O2動(dòng)量守恒定律 常量 角動(dòng)量守恒定律 常量 二、確定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法 物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的內(nèi)因，求解轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)問題，離不開轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的

8、確定確定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的途徑通常有： 1. 從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義來確定 對(duì)于一些質(zhì)量均勻分布、形狀規(guī)則的幾何體，計(jì)算它們關(guān)于對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，往往從定義出發(fā)，運(yùn)用微元集合法，只需要初等數(shù)學(xué)即可求得 例 1 如圖 1 所示，正六角棱柱形狀的剛體的質(zhì)量為，密度均勻，其橫截面六邊形邊長(zhǎng)為試求該棱柱體相對(duì)于它的中心對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 圖 1 分析與解 這里求的是規(guī)則形狀的幾何體關(guān)于它的中心對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義出發(fā)，我們可將棱柱沿截面的徑向均勻分割成（ ）個(gè)厚度均為（ 2 ） · （）、棱長(zhǎng)為的六棱柱薄殼，確定任意一個(gè)這樣的薄殼對(duì)中心軸的元轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后求和即可，有 圖 2 現(xiàn)在，先給出

9、一矩形薄板關(guān)于與板的一條邊平行的軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量板的尺寸標(biāo)注如圖 2 所示，質(zhì)量為且均勻分布，軸 與板的距離為，沿長(zhǎng)為的邊將板無限切分成條長(zhǎng)為、寬為的窄條，則有 板 （） · （） · （） （ ）（ ） （ （ 3 ） 回到先前的六棱柱薄殼元上，如圖 1 所示，由對(duì)稱性可知其中第個(gè)薄殼元的 2 ， 2 薄殼元對(duì)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 1 2 板 ，即 =1 2 （ 2 ）（ 2 ）（ 2 ） （ 1 3 ）（ 2 ） 式中， 是六棱柱體的密度，即 6 × （ 1 2 ） · · （ 2 ） 2 3 則六棱柱體對(duì)中心對(duì)稱軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 1 2

10、83; （） · （ 2 ） · （ 2 ）（） · （ 2 ） （ 1 3 ）（ 2 ） 1 2 · （ 4 ） · （ ） · 3 4 1 1 2 （ 5 Ma2 3 ） （ 5 Ma2 3 ） （ 1 ）（ 1 2 ） （ 5 Ma2 3 ） （ 1 ） · （ （ 1 ） 4 ） 5 Ma2 1 2 2 . 借助于平行軸定理 在剛體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，需對(duì)過該點(diǎn)的軸求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，借助于平行軸定理，可以解決這樣的問題：已知?jiǎng)傮w對(duì)過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如何求對(duì)不通過質(zhì)心但平行于過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 平行軸定理：設(shè)任意物體繞某

11、固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，繞過質(zhì)心而平行于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則有 ，式中 d 為兩軸之間的距離，為物體的質(zhì)量 圖 3 證明：如圖 3 所示，為過剛體質(zhì)心并與紙面垂直的軸，為與它平行的另一軸，兩軸相距為，在與軸垂直的平面內(nèi)以質(zhì)心為原點(diǎn)，過的直線為軸，建立坐標(biāo)系 代表剛體上任一微元的質(zhì)量，它與軸及軸的距離依次為 和 ，微元與質(zhì)心連線與軸方向的夾角為 ，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知，剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為 2 （ 2 ） 2 上式中第一項(xiàng)即為剛體對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；第二項(xiàng) ，是剛體的總質(zhì)量；而第三項(xiàng)中 ，是質(zhì)量元在平面坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，按質(zhì)心的定義，有 0 ，所以 在上述例 1 中，我們已求得正六棱柱關(guān)于其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

12、量，利用平行軸定理，我們還可求得六棱柱相對(duì)于棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 （ 5 1 2 ）Ma2 Ma2 （ 17 1 2 ）Ma2 3. 運(yùn)用垂直軸定理 對(duì)任意的剛體，任取直角三維坐標(biāo)系，剛體對(duì)、 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為、，可以證明 2 2 ， 是質(zhì)元到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 圖 4 證明：如圖 4 所示，質(zhì)元的坐標(biāo)是、 、 ，顯然， 而剛體對(duì)、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為 （ ）， （ ）， （ ） 則 2 （ ） 2 2 這個(gè)結(jié)論就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的垂直軸定理，或稱正交軸定理這個(gè)定理本身及其推導(dǎo)方法對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求解很有指導(dǎo)意義 例 2 從一個(gè)均勻薄片剪出一個(gè)如圖 5 所示的對(duì)稱的等臂星此星對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為求該星對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

13、慣量和 軸都位于圖示的平面中，和都可看做是已知量 圖 5 分析與解 設(shè)星形薄片上任意一質(zhì)元到過中心而與星平面垂直的軸距離為 ，則星對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2 = ，由于對(duì)稱性，星對(duì)軸及同平面內(nèi)與軸垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，均為已知量；同樣，星對(duì) 軸及同平面內(nèi)與 軸垂直的 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量亦相等，設(shè)為，等同于垂直軸定理的推導(dǎo)，則 2 ， 2 ， 于是有 2 2 ，即 4 . 巧用量綱分析法 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義 2 ，其量綱應(yīng)為 ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式常表現(xiàn)為2形式，是剛體的質(zhì)量，是剛體相應(yīng)的幾何長(zhǎng)度，只要確定待定系數(shù)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問題便迎刃而解 例 3 如圖 6 甲所示，求均勻薄方板對(duì)過其中心且與軸形成 角的軸的

14、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 圖 6 分析與解 如圖 6 （甲所示為待求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的正方形薄板，設(shè)其邊長(zhǎng)為，總質(zhì)量為，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，過中心將板對(duì)稱分割成四個(gè)相同的小正方形，各小正方形對(duì)過各自質(zhì)心且平行于的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 （ 4 ） · （ 2 ） 1 6 如圖 6 乙所示，小正方形的軸與軸距離為或，由平行軸定理，它們對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)分別為（ 1 6 ）（ 4 ） （兩個(gè)質(zhì)心與軸距離為的小正方形）或（ 1 6 ）（ 4 ） （兩個(gè)質(zhì)心與軸距離為的小正方形），則有下列等式成立，即 2 （ 1 6 ）（ 4 ） ） 2 （ 1 6 ）（ 4 ） ） 整理可得（ 3 2 ） （ ） 而由幾何關(guān)系，可得（

15、2 ） · （ 2 ）（ 4 ）， （ 2 ） · （ 2 ）（ 4 ）， 故有（ 3 2 ） （ 8 ） （ 4 ） （ 4 ）， 則 1 1 2 于是求得正方形木板對(duì)過其中心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（ 1 1 2 ） ，且與角 無關(guān) 5 一些規(guī)則幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 一些規(guī)則幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如表 2 所示 表 2 三、剛體運(yùn)動(dòng)問題例析 根據(jù)今年將實(shí)行的新提要，剛體運(yùn)動(dòng)問題應(yīng)該要求運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律等剛體基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律來求解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)問題下面就此展示四個(gè)例題 例 4 在平行的水平軌道上有一個(gè)纏著繩子且質(zhì)量均勻的滾輪，繩子的末端固定著一個(gè)重錘開始時(shí)

16、，滾輪被按住，滾輪與重錘系統(tǒng)保持靜止在某一瞬間，放開滾輪過一定的時(shí)間后，滾輪軸得到了固定的加速度，如圖 7 甲所示假定滾輪沒有滑動(dòng)，繩子的質(zhì)量可以忽略試確定： （ 1 ）重錘的質(zhì)量和滾輪的質(zhì)量之比； （ 2 ）滾輪對(duì)平面的最小動(dòng)摩擦因數(shù) 圖 7 分析與解 與處理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)問題一樣，處理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)問題，要清楚了解力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的制約關(guān)系 （ 1 ）當(dāng)滾輪軸亦即滾輪質(zhì)心純滾動(dòng)而達(dá)到恒定的加速度時(shí)，其角加速度為 ，為滾輪的半徑滾輪可看做質(zhì)量均勻的圓盤，其關(guān)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（ 1 2 ） ，分析滾輪受力情況如圖 7 乙所示，可知以輪與水平軌道的接觸點(diǎn)為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸考察將比較方便，因?yàn)榻?/p>

17、觸點(diǎn)處的力對(duì)剛體的這種轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生影響關(guān)于軸，對(duì)滾輪形成轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的只有繩子上的張力，張力可以通過重錘的運(yùn)動(dòng)來確定：相對(duì)于接觸點(diǎn)，滾輪的質(zhì)心的水平加速度為，重錘相對(duì)滾輪質(zhì)心的線加速度也為，且方向應(yīng)沿繩子向下，這兩個(gè)加速度是由重錘所受到的重力與繩子拉力提供的，重錘的加速度為這兩個(gè)加速度的矢量和由牛頓第二定理，有 ，（ ） ， 則 再研究滾輪，注意到點(diǎn)到張力的作用線之距離的幾何尺寸，滾輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用平行軸定理轉(zhuǎn)換為（ 3 2 ） ，對(duì)滾輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有 （ ）（ 1 （ ）（ 3 2 ） · （） 解之得 3 2 （ ） （ 2 ）對(duì)滾輪應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，滾輪質(zhì)心加速度為，方向水平，

18、則應(yīng)有 ， ， 其中 ， ， 那么，動(dòng)摩擦因數(shù)滿足 在上面解答中，確定滾輪與重錘的相關(guān)加速度是本題的 “ 題眼 ” 所在 例 5 如圖 8 甲所示，在光滑地面上靜止地放置著兩根質(zhì)量均為，長(zhǎng)度均為的均勻細(xì)桿，其中一桿由相等的兩段構(gòu)成，中間用光滑的鉸鏈連接起來，兩段在連接點(diǎn)可以彎折但不能分離在兩桿的一端，各施以相同的垂直于桿的水平?jīng)_量試求兩細(xì)桿所獲得的動(dòng)能之比 圖 8 分析與解 本題的求解方向是通過質(zhì)心的動(dòng)量定理與剛體的角動(dòng)量定理，求得桿的質(zhì)心速度及繞質(zhì)心的角速度，進(jìn)而求出桿由于這兩個(gè)速度所具有的動(dòng)能 如圖 8 乙所示，設(shè)桿 1 在沖量作用下，質(zhì)心獲得的速度為 ，桿的角速度為 ，由質(zhì)心的動(dòng)量定理，

19、得 ， 由剛體的角動(dòng)量定理，得 · 2 （ 1 1 2 ） 則桿 1 的動(dòng)能為 1 （ 1 2 ） （ 1 2 ） （ 1 2 ）（） （ 1 2 ）（ 2 ） （ 2 ）（ 3 2 ） 2 如圖 8 丙所示為桿 2 的左、右兩段受力情況，當(dāng)在桿 2 左端作用沖量時(shí)，在兩段連接處，有一對(duì)相互作用的沖量 與 ，它們大小相等，方向相反由于兩段受力情況不同，各段的質(zhì)心速度及角速度均不同，但在連接處，注意到 “ 不分離 ” 的條件，左段的右端與右段的左端具有相同的速度現(xiàn)對(duì)兩段分別運(yùn)用動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理，對(duì)桿 2 左段，有 （ 2 ） ，（ ） · （ 4 ）（ 9 6 ） ， 對(duì)

20、桿 2 右段，有 （ 2 ） 2 ， · 4 （ 9 6 ） 由連接處 “ 不分離 ” 條件得左、右兩段的速度與角速度的關(guān)系是 1 · （ 4 ） · （ 4 ） 2 ， 由以上各式，可得 1 8 ， 6 ， 1 5 2 ， 2 2 ， 于是可計(jì)算桿 2 的動(dòng)能為 2 （ 1 2 ） · （ 2 ）（ 1 2 ）（ 1 2 ） · （ 2 ）（ ） 7 2 易得 1 、 2 兩桿的動(dòng)能之比為 4 7 本題求解中，抓住桿 2 左、右兩段連接處速度相同的相關(guān)關(guān)系，全盤皆活 例 6 形狀適宜的金屬絲衣架能在如圖 9 所示的平面里的幾個(gè)平衡位置附近做小

21、振幅擺動(dòng)在位置甲和位置乙里，長(zhǎng)邊是水平的，其它兩邊等長(zhǎng)三種情況下的振動(dòng)周期都相等試問衣架的質(zhì)心位于何處？擺動(dòng)周期是多少？（第 13 屆試題） 圖 9 圖 10 分析與解 本題涉及剛體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的問題，即復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律一個(gè)在重力作用下繞水平軸在豎直面內(nèi)做小角度擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺或物理擺我們先來推導(dǎo)復(fù)擺的周期公式如圖 1 0 所示，設(shè)為轉(zhuǎn)軸（懸點(diǎn)），質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸距離（等效擺長(zhǎng)）為，質(zhì)量為，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，最大偏角 5° 由機(jī)械能守恒定律，可得 （ 1 ）（ 1 2 ） 是剛體的質(zhì)心通過平衡位置時(shí)的角速度對(duì)擺長(zhǎng)、質(zhì)量的理想單擺而言，有 （ 1 ）（ 1 2 ）（ 1 2 ）（ ） （ 1

22、 2 ）（ ） 式中 是擺球（質(zhì)點(diǎn)）通過平衡位置時(shí)的角速度，是振幅（ = ）， 是擺球振動(dòng)的圓頻率可知 將 式變形為 （ 1 ）（ 1 2 ） （ 1 2 ）（ · ） （ 1 2 ）（ ） ， 比較 式，即對(duì)復(fù)擺與單擺作等效變換，可得復(fù)擺小幅振動(dòng)（亦為諧振）的圓頻率為 ， 那么復(fù)擺的周期公式為 2 圖 11 由題設(shè)條件確定衣架的質(zhì)心位置及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，依據(jù)復(fù)擺周期公式，即可確定三種情況下相同的擺動(dòng)周期如圖 11 所示，質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸、的距離設(shè)為、，由圖 9 甲所示衣架的平衡位置可知，質(zhì)心必在衣架長(zhǎng)邊的中垂線上，在三種情況下衣架對(duì)轉(zhuǎn)軸、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為 2， 式中為所設(shè)衣架對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

23、是衣架總質(zhì)量因?yàn)槿N情況下的周期相同，故有 （2）（）， 即（）（） 0 ， 顯然 ，則可知； 又有（2）（）， 即（）（） 0 ， 此式中因，故（- ） 0 ， 則必有，即質(zhì)心位于之中點(diǎn)衣架周期為 = 2 2 根據(jù)圖 9 標(biāo)注的尺寸可知 5 ， 2 1 6 ， 代入后得 1. 0 3 本題是國(guó)際物理奧林匹克的一道賽題，題意簡(jiǎn)潔，解答方法也很多，筆者給出的這種解法應(yīng)該說比較嚴(yán)密且巧妙 最后，我們?cè)賴L試解答另外一道比較繁難的國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題，該題涉及動(dòng)量矩守恒定律的運(yùn)用 例 7 如圖 1 2 所示，一個(gè)質(zhì)量為，半徑為的均勻圓盤在光滑水平面內(nèi)以速度沿軸方向平動(dòng)，圓盤中心至軸的垂直距離為圓盤

24、與另一靜止的、其中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的均勻圓盤相碰圓盤的質(zhì)量與相同，半徑為 假定碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量（垂直于連心線方向的速度）相等，并假設(shè)碰撞前后兩圓盤沿連心線方向的相對(duì)速度大小不變?cè)诎l(fā)生碰撞的情況下，試求： （ 1 ）碰后兩圓盤質(zhì)心速度的分量和分量，結(jié)果要以給定的參量、 、 、和表示； （ 2 ）碰后兩圓盤的動(dòng)能，結(jié)果要以給定的參量、 、 、和表示（第 24 屆試題） 分析與解 （ 1 ）本題情景是質(zhì)量相同的運(yùn)動(dòng)圓盤與靜止圓盤在水平面上發(fā)生非彈性斜碰碰撞前后，質(zhì)心動(dòng)量守恒 系統(tǒng)不受外力；對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒 外力沖量矩為零；動(dòng)能不守恒 碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量相等，必有摩擦力存在

25、，動(dòng)能有損失本題給出諸多的附加條件，除了根據(jù)動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒列出基本方程外，還必須根據(jù)附加條件給出足夠的補(bǔ)充方程，并適當(dāng)選用速度分量，方可最終得解 圖 12 圖 13 如圖 13 所示，設(shè)碰撞時(shí)兩盤質(zhì)心連線與軸成 角，由幾何關(guān)系可知 = （ + ） 對(duì)系統(tǒng)，在法向與切向動(dòng)量均守恒，即 ， ， 式中， 、 、 、 是、盤碰撞后沿切向與徑向的質(zhì)心速度；系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒即 （ ） ， 該式中，（ 1 2 ） 2 ，（ 1 2 ） 2 ， 、 為兩盤碰撞后的角速度（待定）注意碰撞后盤既有轉(zhuǎn)動(dòng)又有平動(dòng)，對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量由兩部 分組成，而盤質(zhì)心在點(diǎn)，故角動(dòng)量?jī)H為 上述三個(gè)方程涉及六個(gè)未知量，需列出補(bǔ)充

26、方程根據(jù)兩盤接觸處切向速度相同有 ， 根據(jù)兩盤法向相對(duì)速度不變有 對(duì)盤，由動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理，摩擦力的作用是 · ， · · ， 即 由上述六個(gè)方程，解得 3 ， 3 ， （ 5 6 ） ， （ 1 6 ） ， 0 ， 碰后兩盤的質(zhì)心速度的分量分別為 （ 5 6 ） ， （ 1 6 ） ， 碰后兩盤的質(zhì)心速度的分量分別為 （ 5 6 ） ， （ 5 6 ） ， 其中 （ ）， （ ） （ 2 ）各圓盤的動(dòng)能是各盤質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和，這里不再贅述，答案是 3 8 （ ）， （ 1 2 ）（ 1 （ 11 1 2 （） ） 四、競(jìng)賽訓(xùn)練題 1 如圖 1

27、4 所示，質(zhì)量為的均勻圓柱體的截面半徑為，長(zhǎng)為 2 試求圓柱體繞通過質(zhì)心及兩底面邊緣的轉(zhuǎn)軸（如圖中的 、 軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 圖 14 圖 15 2 如圖 15 所示，勻質(zhì)立方體的邊長(zhǎng)為，質(zhì)量為試求該立方體繞對(duì)角線軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3 橢圓細(xì)環(huán)的半長(zhǎng)軸為，半短軸為，質(zhì)量為（未必勻質(zhì)），已知該環(huán)繞長(zhǎng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，試求該環(huán)繞短軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 4 在一根固定的、豎直的螺桿上有一個(gè)螺帽，螺距為，螺帽的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)量為假定螺帽與螺桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為零，螺帽以初速度 向下移動(dòng)，螺帽豎直移動(dòng)的速度與時(shí)間有什么關(guān)系？這是什么樣的運(yùn)動(dòng)？重力加速度為 g 5 如圖 1 6 所示，兩個(gè)質(zhì)量和半徑均相同的實(shí)心圓柱輪，它們的

28、質(zhì)心軸互相平行，并用一輕桿相連，軸與軸承間的摩擦忽略不計(jì)兩輪先以共同的初速度 沿水平方向運(yùn)動(dòng)，兩輪的初角速度為零，如圖 1 6 甲所示然后同時(shí)輕輕地與地面相接觸，如圖 1 6 乙所示，設(shè)兩輪與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為 和 （ ）試求兩輪均變?yōu)榧儩L動(dòng)所需的時(shí)間及純滾動(dòng)后的平動(dòng)速度大小 圖 16 圖 17 6 如圖 17 所示，光滑水平地面上靜止地放著質(zhì)量為、長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以垂直于桿的水平初速度 與桿的一端發(fā)生完全非彈性碰撞試求：（ 1 ）碰后系統(tǒng)質(zhì)心的速度及繞質(zhì)心的角速度；（ 2 ）實(shí)際的轉(zhuǎn)軸（即靜止點(diǎn)）位于何處？ 7 如圖 1 8 所示，實(shí)心圓柱體從高度為的斜坡上由靜止做純滾動(dòng)到

29、達(dá)水平地面上，且繼續(xù)做純滾動(dòng)，與光滑豎直墻發(fā)生完全彈性碰撞后返回，經(jīng)足夠長(zhǎng)的水平距離后重新做純滾動(dòng)，并純滾動(dòng)地爬上斜坡設(shè)地面與圓柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，試求圓柱體爬坡所能達(dá)到的高度 圖 18 圖 19 8 如圖 19 所示，半徑為的乒乓球繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（ 2 3 ）2 ，為乒乓球的質(zhì)量乒乓球以一定的初始條件在粗糙的水平面上運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)球的質(zhì)心速度為 ，初角速度為 ，兩者的方向如圖 1 8 所示已知乒乓球與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 試求乒乓球開始做純滾動(dòng)所需的時(shí)間及純滾動(dòng)時(shí)的質(zhì)心速度 9 一個(gè)均勻的薄方板的質(zhì)量為，邊長(zhǎng)為，固定它的一個(gè)角點(diǎn)，使板豎直懸掛，板在自身的重力作用下，在方板所在的豎直

30、平面內(nèi)擺動(dòng)在通過板的固定點(diǎn)的對(duì)角線上距固定點(diǎn)的什么位置（除去轉(zhuǎn)動(dòng)軸處之外），粘上一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，板的運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生變化？已知對(duì)穿過板中心而垂直于板的軸，方板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（ 1 6 ）Ma2 圖 20 1 0 如圖 20 所示，一個(gè)剛性的固體正六角棱柱，形狀就像通常的鉛筆，棱柱的質(zhì)量為，密度均勻橫截面呈六邊形且每邊長(zhǎng)為六角棱柱相對(duì)于它的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（ 5 1 2 ）Ma2 ，相對(duì)于棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 （ 17 1 2 ）Ma2 現(xiàn)令棱柱開始不均勻地滾下斜面假設(shè)摩擦力足以阻止任何滑動(dòng)，并且一直接觸斜面某一棱剛碰上斜面之前的角速度為 ，碰后瞬間角速度為 ，在碰撞前后瞬間的動(dòng)能記為 和 ，試證明： ， ，并求出系數(shù)和的值（第 2 9 屆試題） 五、訓(xùn)練題簡(jiǎn)答 圖 21 圖 22 1 解：如圖 2 1 所示，對(duì)圖所示的 、 、坐標(biāo)系與 、 、坐標(biāo)系運(yùn)用正交軸定理，有 ， （ 1 2 ）2 ，（ 7 1 2 ）2 ， 則（ 13 24