1、向量數量積的物理背景與定義教材說明 平面向量數量積具有代數與幾何的雙重性質，因此所涉及的內容較為廣泛，如方程、不等式等代數問題；夾角、距離、面積、平行、垂直等幾何問題。 平面向量數量積是數學中知識與能力的載體，是數學上的一個重要工具之一，值得一提的是在教材的后續兩章的學習中，對三角函數內容中某些問題的處理都是借助向量的數量積來解決的，這正體現了平面向量數量積的工具性，在解決代數與幾何問題中都有著很強的實用性。課型 新授課課時 1課時（練習 共2課時）學情分析 在學習平面向量數量積之前，學生已學習了平面向量的概念、向量的線性運算及向量的基本定理與坐標表示等有關內容，這為過渡到本節的學習起了鋪墊作

2、用；在后繼知識的學習中，是據此內容用向量代數方法進一步研究了平面圖形的有關性質。本節以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數量積。但是，學生作為初學者不清楚向量數量積是數量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當然，以及對運算律的理解和平面向量的數量積的靈活應用。通過情景創設、探究和思考引導學生認知、理解并掌握相關的內容。利用向量數量積運算討論一些幾何元素的位置關系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量學生容易混淆。利用數量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關系解決問題，是學生學習本節內容的重點又是難點。由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個很自然的過渡，深

3、入淺出、符合學生的認知規律，也有利于明確本節課的教學任務，激發學生的學習興趣和求知欲望。教學內容分析教學的主要內容：以物體受力做功為背景引入數量積的概念，使向量數量積運算與物理知識聯系起來；向量數量積與向量的長度及夾角的關系；進一步探究兩個向量的夾角對數量積符號的影響及有關的性質、幾何意義和運算律。教材的編寫的特點：本節內容安排在普通高中課程標準實驗教科書·數學必修4（版）第二章、第3節第1課時。它是平面向量的核心內容，向量的平行、垂直關系是向量間最基本、最重要的位置關系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數量特征，向量的數量積恰好是解決問題的一個重要工具。 教學目標知識與技

4、能：（1）理解平面向量數量積的含義及其物理意義；（2）掌握向量數量積的性質和運算律，會進行平面向量數量積的運算；（3）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個向量的垂直關系.過程與方法： 通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學生的類比思想情感態度與價值觀： 通過數量積的性質、運算律的靈活應用，發展學生從特殊到一般的認知能力，培養學生學習的主動性和合作交流的學習習慣教學重點和難點重點：平面向量的數量積的概念和性質；用平面向量數量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數量積的運算律的探究及應用.難點：難點是平面向量的數量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數量積的靈活應用。教

5、學策略選擇與設計高中數學課程標準指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，轉變學生的學習方式，激發學生的學習積極性，讓學生樂于參與到探索性和創造性的學習活動中來，這是新課程數學教學的基本要求。高中數學課程標準還明確提出了提高學生的知識與技能、重視學生的學習過程與方法，培養學生的情感態度、價值觀的三維目標。為此，結合本節課的教學內容，教學中注重過程、方法，注重引導學生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動、交流的過程中滲透情感態度與價值觀。教學資源與手段資源：三角板，彩粉筆，電腦，多媒體。手段：通過師

6、生互動，共同探討生成新知，更加有助于學生探究能力的培養。教學過程設計教學環節教學過程師生活動設計意圖情景引入1、給出有關材料并提出問題問題1：表示一個么角？SF （1）如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S，那么力F所做的功：。（2）這個公式有什么特點？請完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積提問學生易答：表示力的方向與位移的方向的夾角創設學生熟悉的問題情景，將學生自然的帶入到課堂的教學內容中來。探究問 題，形成定義。探究問 題，形成定義。探究問 題，形成定義。探究問 題，形成

7、定義。（1）探究兩個向量的夾角的定義。問題2：你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎？ 問題3：對于兩個非零向量，你能給出它們夾角的定義嗎？ 問題4：思考向量夾角的范圍問題5： 表示什么？sF（2）探究向量在方向上的投影問題6：對于兩個非零向量，向量在向量方向上的投影為什么？你能從圖中作出在方向上的投影嗎？ （3）探究與的數量積.問題7：F（力）是 量， S（位移）是 量，W（功）是 量定義： 叫做與的數量積（或內積），記作：.即：=。（板書三）問題8：向量數量積的運算與線性運算的結果有什么不同?若是非零向量，設夾角為，完成下表：夾角的范圍的符號問題9：根據投影的概念，數量積=的幾何意義如何？ （板書

8、四）問題10：請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積（板書五）學生容易得到，學生可能會出現兩種答案，教師給予指導 學生思考回答，教師予以補充，關鍵是點出兩向量起點相同，并給出夾角符號有了問題2的鋪墊，學生容易得出0，教師強調同向時為0，反向時為.教師補充：（1）當=時，向量與向量互相垂直，記作.（2）在討論垂直問題時規定：零向量與任一向量垂直.生答：力F在位移方向上的分量師補充：我們把稱為力F在位移S方向上的投影師生共作向量在方向上的投影圖象。對上述物理意義下的“功”概念進行抽象，將公式中的力與位移推廣到一般向量與。怎么來規定的含義?教師強調記法，中的“”不可少，不可寫成.學

9、生回答。學生自己動手完成表格。學生回答。對于易錯點加以強調。通過提問，由學生自己生成定義，印象更為深刻。由師生合作共同完成，拉近師生距離，增進師生感情。以上兩個環節都是從物理模型中抽象出我們要研究的概念，通過具體問題引領學生得到精確定義，且由形到數的研究方法符合認知規律。由于課標中明確要求“體會平面向量的數量積與向量投影的關系”，因此我舍棄B版教材中向量在軸上的正射影和向量在軸上的數量兩個概念，而選用其他版本的投影的概念。通過此問題不僅使學生認識到數量積的結果與線性運算的結果有著本質的不同，而且認識到向量的夾角是決定數量積結果的重要因素，為下面更好地理解數量積的性質作好鋪墊。通過此問題讓學生從

10、“形”的角度重新認識數量積的概念，從中體會數量積與向量投影的關系數量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數量積的概念后，學生就會明白功的數學本質就是力與位移的數量積。練習鞏固，總結性質。練習1：已知求. 已知求. 已知求.已知求.已知求.已知求.問題11：(1)嘗試將練習中的的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論？ (2) 比較與的大小,你能得到什么結論？性質：當與同向時，；當與反向時，.特別地即求長度。且-證垂直。如果是單位向量，則即向量與單位向量的數量積就是向量在向量方向上的投影.-求夾角.學生作答。學生討論。是為了鞏固數量積定義，分別設置了同向、反向、垂直的兩個向量，為學生總結性質做

11、好鋪墊， 為單位向量時，即為在方向上的投影，是讓學生學會使用數量積表示角，體會數量積的初步應用在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數量積的性質，證明留待課后學生嘗試加以證明。本環節通過學生動手實踐，一是鞏固數量積定義，二是滲透由特殊到一般的思維方法，培養學生歸納概括的能力辨析質疑，初步應用。練習2：(1)判斷正誤，并簡要說明理由. 0； 0； ；若，則對任一非零有；，則與中至少有一個為；與是兩個單位向量，則.若，則.(2)已知ABC中，,，當或時，試判斷ABC的形狀。通過（1）使學生在與向量的線性運算、實數乘法運算比較的基礎上全面認識數量積這一重要運算.通過（2）使學生感受數量積在三角形中的應用價值。小結提升1、本節課我們學習的主要內容是什么？2、平面向量數量積的基本應用是什么？3、你收獲了哪些研究問題的方法？通過小結使學生進一步理解和貫通本節課所學內容。板書設計向量數量積的物理背景與定義一、與的夾角   &#