1、1兩種產(chǎn)品和唯一需要的要素投入是勞動。一單位產(chǎn)品需要的勞動投入量是8，一單位產(chǎn)品需要的勞動投入量是1。假設(shè)可投入的勞動量總共為48。（1）寫出生產(chǎn)可能集的代數(shù)表達(dá)式；（2）寫出生產(chǎn)（隱）函數(shù)；（3）在平面上標(biāo)示生產(chǎn)邊界。解：（1）由題意可知，總量為48，勞動是兩種產(chǎn)品唯一需要的要素投入，所以有：因此，生產(chǎn)可能集的代數(shù)表達(dá)式為。（2）一單位產(chǎn)品需要的勞動投入量是8，一單位產(chǎn)品需要的勞動投入量是1，所以生產(chǎn)（隱）函數(shù)為。（3）由（1）可得，生產(chǎn)可能集為，如圖1-1所示。2試畫出Leontief生產(chǎn)函數(shù)的等產(chǎn)量線。解：由Leontief生產(chǎn)函數(shù)表達(dá)式可知，當(dāng)時(shí)，由此可得到其等產(chǎn)量線如圖1-2所示。3

2、對Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù) （1）證明，。（2）求技術(shù)替代率。（3）當(dāng)或變化時(shí)，如何隨之變化？（4）畫出等產(chǎn)量曲線。解：（1）已知生產(chǎn)函數(shù)，即，所以有：即得證。（2）在（1）中已經(jīng)證明，因此，技術(shù)替代率為：在Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)中，整理得。（3）由（2）可知，技術(shù)替代率與無關(guān)，不隨的變化而變化；而變化時(shí)，技術(shù)替代率隨之等比例變化。（4）已知Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的技術(shù)替代率，就是相應(yīng)點(diǎn)處等產(chǎn)量曲線切線的斜率。它的等產(chǎn)量線如圖1-3所示。圖1-34對CES生產(chǎn)函數(shù)，（1）證明邊際產(chǎn)出。（2）求技術(shù)替代率。（3）當(dāng)或變化時(shí)，如何隨之變化？（4）證明技術(shù)替代彈性。解：（

3、1）同理可證，因此可得邊際產(chǎn)出為。（2）由（1）得，。所以，技術(shù)替代率。（3）已知技術(shù)替代率，所以，當(dāng)變化時(shí)，保持不變；當(dāng)變化時(shí)，隨之等比例變動。（4）假設(shè)，則，那么：即得證。7下列生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模收益狀況如何？（1）線性函數(shù)：，；（2）Leontief生產(chǎn)函數(shù)；（3）Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)；（4）CES生產(chǎn)函數(shù)。解：（1）線性生產(chǎn)函數(shù)，產(chǎn)量隨要素投入變動同比例變化，規(guī)模收益是不變的。（2）Leontief生產(chǎn)函數(shù)也是產(chǎn)量隨要素投入變動同比例變化，規(guī)模收益是不變的。（3）Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是規(guī)模收益不變的；當(dāng)時(shí)，規(guī)模收益是遞增的；當(dāng)時(shí)，規(guī)模收益是遞減的。（4）同理

4、，CES生產(chǎn)函數(shù)，產(chǎn)量隨要素投入變動同比例變化，規(guī)模收益是不變的。1對于Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)：，。（1）驗(yàn)證：僅在參數(shù)條件下，利潤最大化問題的二階條件才能得到滿足；（2）求要素需求函數(shù)和產(chǎn)品供給函數(shù)（可在結(jié)果中保留變量）；（3）求利潤函數(shù)；（4）驗(yàn)證利潤函數(shù)是的一次齊次函數(shù)；（5）驗(yàn)證Hotelling引理。解：（1）Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為，利潤最大化的二階條件是生產(chǎn)函數(shù)的Hessian矩陣是半負(fù)定的，即：中，且矩陣的行列式非負(fù)，所以，。（2）利潤最大化問題的一階必要條件是：，所以要素需求函數(shù)為，。將要素需求函數(shù)代入生產(chǎn)函數(shù)，解得產(chǎn)品供給函數(shù)為。（3）利潤函數(shù)為：將代入

5、，得：（4）由（3）知，利潤函數(shù)為：因此，利潤函數(shù)是的一次齊次函數(shù)。（5）利潤函數(shù)中，的冪次為，且。其中一部分從而有，。同理，可驗(yàn)證。3廠商在短期內(nèi)以可變要素1和固定要素2生產(chǎn)一種市場價(jià)格為的產(chǎn)品，生產(chǎn)函數(shù)為，要素1和2的價(jià)格分別為和。（1）求廠商的短期可變要素需求；（2）求廠商的短期利潤函數(shù)。解：（1）廠商的利潤函數(shù)為，轉(zhuǎn)化為利潤最大化問題，即：利潤最大化的一階條件為：解得，這就是廠商的短期可變要素需求。（2）廠商的短期利潤函數(shù)為：4某廠商以一種投入同時(shí)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)函數(shù)是試求該廠商的要素需求和產(chǎn)品供給。解：由題意可得：將約束方程改寫為，代入目標(biāo)函數(shù)，可整理為一個(gè)無約束的最大值問題，其一

6、階必要條件為，解得要素供給函數(shù)為，從而得到要素需求函數(shù)為。5一個(gè)多產(chǎn)品市場廠商的生產(chǎn)函數(shù)是，對其利潤最大化問題（2.32），（1）寫出角點(diǎn)解的一階必要條件；（2）寫出內(nèi)點(diǎn)解的二階必要條件。解：（1）考慮角點(diǎn)解可以列出下列式子：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階必要條件：在最優(yōu)點(diǎn)，存在及，使得：并且滿足。（2）不考慮角點(diǎn)解，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：內(nèi)點(diǎn)解的二階必要條件是：對任何滿足的向量，滿足。1某廠商具有Leontief生產(chǎn)函數(shù)：，。（1）求條件要素需求函數(shù)和成本函數(shù)；（2）畫出成本函數(shù)曲線。解：（1）在Leontief生產(chǎn)函數(shù)中，產(chǎn)量僅是和中較小的一個(gè)值，所以，無論是利潤最大化或者是成本最小化問題，廠商的最優(yōu)

7、投入必然滿足。在此約束下，生產(chǎn)函數(shù)可以簡單地寫為（當(dāng)然也可以寫為）。從而，對于預(yù)先給定的產(chǎn)量，條件要素需求是：，成本函數(shù)：。（2）廠商的成本函數(shù)如圖3-1所示。圖3-12某廠商具有線性生產(chǎn)函數(shù)：，。（1）求條件要素需求函數(shù)和成本函數(shù)；（2）畫出成本函數(shù)曲線。解：（1）成本最小化問題是：若，條件要素為，成本函數(shù)是；若，條件要素為，成本函數(shù)是；若，最優(yōu)解可取線段上任一點(diǎn)，在此不妨取，所得的成本函數(shù)形式上與中一致，取另一端點(diǎn)可得中的成本函數(shù)形式。但是在這里的條件下，這二者是等價(jià)的。3某廠商具有Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)：，。證明其成本函數(shù)形式為，其中是依賴于和的常數(shù)。證明：成本最小化問題是：構(gòu)

8、造拉格朗日函數(shù)成本最小化的一階必要條件為：變形為：兩式相乘得：從而：其中是依賴于和的常數(shù)。代入一階條件，并利用約束等式，得到：從而，。7考慮一個(gè)兩工廠廠商，其工廠的成本函數(shù)分別為和（1）什么條件下廠商只使用一個(gè)工廠？什么條件下廠商需要兩個(gè)工廠同時(shí)生產(chǎn)？（2）推導(dǎo)廠商的成本函數(shù)。解：，。（1）如果廠商同時(shí)使用兩個(gè)工廠，應(yīng)當(dāng)滿足；但是，注意到，而當(dāng)時(shí)，。所以，當(dāng)時(shí)，廠商只會選擇在工廠1生產(chǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，廠商才會同時(shí)使用兩個(gè)工廠。（2）在同時(shí)使用兩個(gè)工廠的情況下，廠商的產(chǎn)量分配滿足，由此解得：，此時(shí)總成本為：成本函數(shù)為：8假設(shè)一個(gè)競爭廠商的成本函數(shù)是。（1）參數(shù)、和需要滿足什么條件，才是一個(gè)典型的成

9、本函數(shù)？（2）求條件要素需求函數(shù)。解：（1）根據(jù)成本函數(shù)的性質(zhì)，典型的成本函數(shù)應(yīng)當(dāng)是和的單增函數(shù)，是的一次齊次函數(shù)，同時(shí)還是的凹函數(shù)。據(jù)此，必然要求，。在這兩個(gè)條件下，=為凹函數(shù)的條件自動成立（可檢查海賽矩陣主子式的符號確為正負(fù)相間）。（2）在成本函數(shù)已知的條件下，根據(jù)Shephard引理可以求出條件要素需求：，9一個(gè)廠商有兩個(gè)工廠，這兩個(gè)工廠的成本函數(shù)是相同的但如果廠商只在一個(gè)工廠生產(chǎn)，另一個(gè)工廠的固定成本是可以避免的，即是說。（1）成本最小條件（3.28）是否一定成立？為什么？（2）在和兩種情況下，廠商如何決定是在一個(gè)工廠生產(chǎn)還是同時(shí)在兩個(gè)工廠生產(chǎn)？（3）在條件下，什么產(chǎn)量范圍內(nèi)存在規(guī)模經(jīng)

10、濟(jì)？解：（1）由于這里存在廠商只使用一個(gè)工廠的可能性，而這意味著成本最小化問題中需要考慮角點(diǎn)解，所以第3章中成本最小化條件（3.28）不一定成立。（2）時(shí)，兩工廠的成本函數(shù)變?yōu)椋骸Ｓ捎趦蓚€(gè)工廠的邊際成本都是常數(shù)，無論廠商需要生產(chǎn)多少產(chǎn)量，它總可以將所有產(chǎn)品安排在一個(gè)工廠生產(chǎn)，維持邊際成本，同時(shí)節(jié)約另一工廠的固定成本。據(jù)此，廠商的成本函數(shù)即為一個(gè)工廠的成本函數(shù)。時(shí)，。在產(chǎn)量為時(shí)，如果廠商同時(shí)使用兩個(gè)工廠，成本最小化要求：。這種情況下，廠商成本函數(shù)為：如果廠商只使用一個(gè)工廠，它的成本函數(shù)為：所以，廠商的產(chǎn)量配置取決于兩個(gè)成本的大小。廠商只使用一個(gè)工廠的條件是：，即因此，廠商的成本函數(shù)是：（3）根據(jù)

11、剛才建立的成本函數(shù)，計(jì)算成本對產(chǎn)量的彈性系數(shù)：時(shí)，；時(shí)，3一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為該消費(fèi)者的效用函數(shù)又可以寫為下列哪種函數(shù)形式？（a）；（b）；（c）。解：在正單調(diào)變換時(shí)，原效用函數(shù)可變?yōu)椋╝）的形式；在正單調(diào)變換時(shí)，原效用函數(shù)可變?yōu)椋╞）的形式；由于效用函數(shù)在正單調(diào)變換下不改變原來的偏好性質(zhì)，所以（a）和（b）都是原來效用函數(shù)的等價(jià)形式；而（c）則不是。4推導(dǎo)上一問題中消費(fèi)者的（1）馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)；（2）希克斯需求函數(shù)和支出函數(shù)；（3）比較馬歇爾需求和希克斯需求曲線的斜率；（4）驗(yàn)證Roy等式；（5）驗(yàn)證對偶性定理。解：取效用函數(shù)的等價(jià)形式，并且假設(shè)。（1）考慮效用最大化問題：

12、構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：效用最大化的一階必要條件為：聯(lián)立方程求解得：，此即為馬歇爾需求函數(shù)；相應(yīng)的間接效用函數(shù)為。（2）考慮支出最小化問題： 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：由支出最小化的一階條件解得：，這就是希克斯需求函數(shù)。支出函數(shù)為。（3）以商品1為例，在平面內(nèi)，兩條需求曲線相交處滿足：在該點(diǎn)兩條需求曲線的斜率分別為：，利用交點(diǎn)條件，顯然二者存在關(guān)系。二者都為負(fù)數(shù)，且，這意味著在坐標(biāo)平面中希克斯需求曲線較馬歇爾需求曲線陡峭。（4）由（1）知，所以：，因此，。（5）利用關(guān)系，可驗(yàn)證：同理，可驗(yàn)證其他恒等式。6試畫出下列效用函數(shù)的無差異曲線，并討論其對應(yīng)的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)的特征。（1）完全替代商品：；（2

13、）完全互補(bǔ)商品：。解：（1）由于兩種商品是完全替代的，消費(fèi)者只可能買其中較便宜的商品。如圖4-3所示。圖4-3因此，需求函數(shù)和間接效用函數(shù)是：，特征是與價(jià)格較高商品的價(jià)格無關(guān)。支出函數(shù)為，是的線性函數(shù)。（2）完全互補(bǔ)商品的效用函數(shù)的無差異曲線如圖4-4所示。圖4-4由于效用水平僅是和中較小的一個(gè)值，所以，無論是效用最大化或者是支出最小化問題，最優(yōu)消費(fèi)組合必然滿足。在此約束下，效用函數(shù)可以簡單地寫為（或是）。考慮效用最大化問題：解得：。代入效用函數(shù)即得間接效用函數(shù)：。這是收入的線性函數(shù)；而且，保持不變，個(gè)別的商品價(jià)格變化不改變。顯然，對于預(yù)先給定的效用水平，希克斯需求是，從而支出函數(shù)為。8如果消

14、費(fèi)者需要繳納消費(fèi)稅，比較下列兩種稅制對消費(fèi)行為的影響：（a）消費(fèi)者一次性繳納一筆固定稅款；（b）從價(jià)稅：如果商品價(jià)格為，消費(fèi)者按稅后價(jià)格購買。解：兩種稅制可進(jìn)行比較的前提是假設(shè)消費(fèi)者最終繳納的稅額一致，都為，然后比較消費(fèi)者在不同情況下達(dá)到的效用水平。分以下兩種情況討論：（1）若從價(jià)稅是在所有商品上征取，所有商品的價(jià)格都同比例提高，那么消費(fèi)者的預(yù)算線與一次性繳納元情況下的預(yù)算線一致（因?yàn)樾甭氏嗤沂杖攵际牵詢煞N稅制對消費(fèi)者來說是一樣的。（2）從價(jià)稅只在部分商品上征收，其他商品的價(jià)格保持不動。假設(shè)原來的商品價(jià)格為，考慮政府實(shí)行從價(jià)稅，價(jià)格變?yōu)椋M(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合為。如果此時(shí)消費(fèi)者所繳納的

15、總稅額，則可以確定消費(fèi)者在一次性繳納元后，商品價(jià)格維持不變的情況下會有更高的福利。原因在于，一次性繳納元，余下的收入足夠購買商品組合，消費(fèi)者不是非買這一組合不可，他還有其他選擇，這一額外的選擇會帶給他改善福利的機(jī)會。其實(shí)，一次性稅制相當(dāng)于迫使消費(fèi)者進(jìn)行了一次程度為元的收入效應(yīng)調(diào)整，而從價(jià)稅則是在此基礎(chǔ)上迫使消費(fèi)者再進(jìn)行一個(gè)替代效應(yīng)式的消費(fèi)收縮。1某人的效用函數(shù)是，他的收入。最初的商品價(jià)格是，假設(shè)現(xiàn)在價(jià)格變化為。計(jì)算、和，比較計(jì)算結(jié)果并作簡明的解釋。解：先求解效用最大化問題：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：求一階條件，可得：代入約束條件可得，從而得到馬歇爾需求函數(shù)：，因此，。時(shí)，。再考慮支出最小化問題：構(gòu)造拉

16、格朗日函數(shù)，一階條件為：代入約束條件解出。從而得到希克斯需求函數(shù)，。由于商品2的價(jià)格始終為1，代入上面的式子，整理可得：通過比較得出，成立。2小李的效用函數(shù)是，他原來在深圳一家公司總部工作，月薪3000元，深圳的商品價(jià)格是；現(xiàn)在公司內(nèi)部調(diào)動，小李被派往內(nèi)地城市的公司辦事處那里的商品價(jià)格為。（1）如果小李的工資不變，他在內(nèi)地達(dá)到的生活水平相當(dāng)于他在深圳多少收入的生活水平？（2）如果公司在人事變動時(shí)按照各地物價(jià)水平調(diào)整職員工資，使他們的效用水平保持不變，小李在調(diào)動時(shí)工資會調(diào)整到什么水平？解：（1）根據(jù)小李的效用函數(shù)，無論是效用最大化問題和支出最小化問題，他的最優(yōu)消費(fèi)組合必然滿足，在這樣的情況下，效

17、用函數(shù)可以寫為。以3000元收入在內(nèi)地達(dá)到的效用水平可由下面的效用最大化問題求出：由一階必要條件，可求得馬歇爾需求為：，在深圳的物價(jià)水平下達(dá)到同樣的效用水平，所需的收入可求解支出最小化問題：由一階必要條件，可求得希克斯需求為：，求得相應(yīng)的支出是元。即工資不變，他在內(nèi)地達(dá)到的生活水平相當(dāng)于他在深圳元收入的生活水平。（2）如果公司在人事變動時(shí)按照各地物價(jià)水平調(diào)整職員工資，使他們的效用水平保持不變，計(jì)算方法與（1）相同，得到小李在調(diào)動時(shí)工資會調(diào)整到元。9如果某消費(fèi)者有Cobb-Douglas效用函數(shù)，市場利率為，初始收入為。試推導(dǎo)消費(fèi)者在時(shí)期0和1的需求函數(shù)。解：根據(jù)第5章的跨時(shí)消費(fèi)最優(yōu)條件（5.6

18、3），有：從而得到，代入預(yù)算約束等式：解得：，1一個(gè)完全競爭廠商的短期成本函數(shù)為（1）求短期邊際成本、平均成本和平均可變成本函數(shù)；（2）求短期供給函數(shù)；（3）如果市場內(nèi)有100個(gè)這樣的廠商，求市場的短期供給函數(shù)。解：（1）完全競爭廠商的短期成本函數(shù)為，那么，短期邊際成本函數(shù)為。平均成本函數(shù)為平均可變成本函數(shù)為（2）短期生產(chǎn)停業(yè)點(diǎn)為：，即：由此可知：。又，解得，且。（3）如果市場內(nèi)有100個(gè)這樣的廠商，市場的短期供給函數(shù)為，。2在擬線性效用假設(shè)下，消費(fèi)者的間接效用函數(shù)形如；如果是廠商的利潤函數(shù)，定義一個(gè)福利函數(shù)為：（1）如果完全競爭均衡價(jià)格存在，證明使得函數(shù)最小化；（2）解釋為什么不是使得函數(shù)最

19、大化，卻反而使它最小化。證明：（1）令，根據(jù)Roy等式根據(jù)hotelling引理，。在均衡價(jià)格下，市場的總需求等于總供給，所以：因此，在處取得最小值。（2）當(dāng)時(shí)，相對于均衡價(jià)格來說消費(fèi)者的福利提高了，同時(shí)廠商的福利降低了，但此時(shí)市場供不應(yīng)求，從而，這表明如果消費(fèi)者能以這個(gè)較低的價(jià)格獲得他們所需的消費(fèi)量，他們的福利提高幅度將超過廠商福利降低的幅度，所以社會總的“福利”較市場均衡時(shí)高。不過要特別注意，由于在這一較低的價(jià)格上廠商提供的產(chǎn)品供給低于消費(fèi)者的需求量，所以這一較高水平的“福利”事實(shí)上是無法實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)時(shí)，相對于市場均衡狀態(tài)來說消費(fèi)者的福利降低，同時(shí)廠商的福利提高了，注意到此時(shí)有成立，從而，這

20、表明如果廠商能以這個(gè)較高的價(jià)格出售其全部產(chǎn)量，他們的福利提高幅度將超過消費(fèi)者福利降低的幅度，所以社會總的“福利”較市場均衡時(shí)高。同樣，由于在這一較高的價(jià)格上廠商提供的產(chǎn)品供給量超過了消費(fèi)者的需求量，所以這一較高水平的“福利”也是無法實(shí)現(xiàn)的。4假設(shè)一個(gè)供給存在時(shí)滯的市場需求和供給函數(shù)分別是：和，（1）什么條件下市場是穩(wěn)定的？（2）假如政府確定了某一個(gè)目標(biāo)價(jià)格，并在發(fā)現(xiàn)市場偏離該價(jià)格時(shí)進(jìn)場作調(diào)節(jié)性的買賣；政府的這種干涉政策奉行下面的原則：其中是政府在期的購買量（若政府事實(shí)上出售）。如果市場本身是不穩(wěn)定的，政府的這種干涉是否會穩(wěn)定市場？如果市場本身是穩(wěn)定的，政府的干涉是否會使得市場不穩(wěn)定？解：（1）根據(jù)市場均衡條件可得：，即。如果價(jià)格調(diào)整幅度越來越小，且存在，那么均衡就是穩(wěn)定的。假設(shè)，由于價(jià)格調(diào)整是正負(fù)相間的，因此必然存在。由此可得：將代入上式可得：市場穩(wěn)定的條件是：。（2）政府的干預(yù)結(jié)果是在期加上了一個(gè)額外需求，這樣期的市場需求即為：市場出清條件是：