1、高考數(shù)學(xué)數(shù)列與不等式試題選編 l 數(shù)列（一）選擇題、填空題示例：一張報(bào)紙，其厚度為a，面積為b，現(xiàn)將此報(bào)紙對(duì)折（既沿對(duì)邊中點(diǎn)的連線折疊）7次，這時(shí)報(bào)紙的厚度和面積分別是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：C示例：已知數(shù)列滿(mǎn)足記則下列結(jié)論正確的是（ ）ABCD答案：A.示例：在正數(shù)、之間插入數(shù)，使之成為等差數(shù)列，又、之間插入數(shù)、使之成為等比數(shù)列，則有 ( ) A. C. C. D.答案：D示例：2003年12月，全世界爆發(fā)禽流感，科學(xué)家經(jīng)過(guò)深入的研究，終于發(fā)現(xiàn)了一種細(xì)菌M在殺死禽流感病毒N的同時(shí)能夠自身復(fù)制已知個(gè)細(xì)菌M可以殺死個(gè)病毒N，并且生成個(gè)細(xì)菌M，那么個(gè)細(xì)菌M和2047個(gè)禽流感病毒N最多可

2、生成細(xì)菌M的數(shù)值是( )A. 1024 B. 2047 C. 2048 D. 2049答案：C.示例：某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部，全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分別為1、2、3、k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”.令 則同時(shí)同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（ ）Af（1,1）+f（1，2）+f（1, k）+f（2，1）+f（2，2）+f（2, k）Bf（1,1）+f（2，1）+f（k，1）+f（1，2）+f（2，2）+f（k，2）Cf（1,1）f（1，2）+f（2，1）f（2，2）+f（k，1）f（k，2）Df（1,1）f（2，1）+f（1，2）f（2，2）+f（

3、1, k）f（2，k）答案：C.示例：已知數(shù)列前n項(xiàng)和其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且0b1，若存在，則_ 答案： 1示例：設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，試寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的 .答案: 不唯一，的所有實(shí)數(shù)均可.由示例：如圖，第個(gè)圖形是由正邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，（則第個(gè)圖形中共有 個(gè)頂點(diǎn).答案：示例：計(jì)算機(jī)執(zhí)行以下程序 始值；如，則進(jìn)行，否則從繼續(xù)運(yùn)行；打?。籗top；那么由語(yǔ)句打印出的數(shù)值為 .答案：（二）解答題示例：化工廠購(gòu)進(jìn)了245桶液體工業(yè)原料，為了方便保管和運(yùn)輸，要求將它們堆放成縱截面為等腰梯形的一垛，且相鄰兩層只相差一桶。在不考慮占地面積、堆放高度等具體條件時(shí)，堆放方案有哪幾種？答案：，由等差數(shù)列前

4、項(xiàng)和公式可得到與的關(guān)系：，又，所以：（），而可取的不大于的正整數(shù)約數(shù)，最后共有五種設(shè)計(jì)方案：時(shí)；時(shí)；時(shí)；時(shí)；時(shí).示例：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意的正整數(shù)n都有等式成立.（1）求；（2）求證;(3)求.答案：(1)當(dāng)n=1時(shí)，. （2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)n=1時(shí)，也符合 (3) 當(dāng)時(shí)， ， 于是數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列. , , .示例：已知函數(shù)f(x)= 的圖象過(guò)原點(diǎn)，以直線x= -1為漸近線，且關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng). （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）若數(shù)列an（nN*）滿(mǎn)足：an>0，a1=1，an+1= f()2，求a2，a3，a4的值，猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公

5、式an，并證明你的結(jié)論； （3）若數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，判斷Sn與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.答案：(1) 函數(shù)f(x)= 的圖象過(guò)原點(diǎn)，即f(0)=0，c =0，f(x)= .又函數(shù)f(x)= = b - 的圖象以直線x= -1為漸近線，且關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y=f(x)的圖象以(-1，1)為對(duì)稱(chēng)中心的雙曲線，a=1，b=1，f(x)= .(2)由題意有an+1= 2，即 = ，即 = +1， - =1.數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. =1+(n-1)=n，即 = ，an= .a2= ，a3= ，a4= ，an= .(3)當(dāng)n2時(shí)，an= < = - .Sn=

6、a1 + a2 + a3 + + an <1+1- + - + - + + - =2 - <2.故Sn <2.示例：數(shù)列中，首項(xiàng)a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意點(diǎn)，點(diǎn)Pn都在平面直角坐標(biāo)系xoy的曲線c上，曲線c的方程為.（1）判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（2）若對(duì)每個(gè)正整數(shù)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成三角形，求t的范圍.答案：（1）由（2）由（1）知：示例：已知數(shù)列為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn). （1）nN，點(diǎn)A，Bn，Cn在同一條直線上，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，Sn表示ACnDn的面積，設(shè)，試用n表示Hn； （3）求.答案：(1) 對(duì)nN

7、，點(diǎn)A，Bn，Cn在同一條直線上, . （2）又?jǐn)?shù)列bn是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列， . ACnDn的面積. 當(dāng)且nN時(shí)，, 當(dāng). , 所以 . （3）.l 不等式（一）選擇題、填空題 示例：已知，不等式的解集是，則滿(mǎn)足的關(guān)系是( )ABCD答案：C.示例：某純凈水制造廠在凈化水過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需過(guò)濾的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)lg2=0.3010,lg3=0.4771）A. 5B. 10C. 14D. 15答案：C.示例：不等式的解集是_.答案：.示例：觀察下列式子：，則可以猜想的結(jié)論為：_.答案：（二）解答題示例：已知且 試解關(guān)

8、于的不等式 答案： 令 () , 則原不等式. 即 ， 故當(dāng)時(shí)，原不等式的解是當(dāng)時(shí)，原不等式的解是 示例：解不等式：答案：原不等式可化為 即a<1，（x2）當(dāng)時(shí)，即0<a<1時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，即a=0時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，即a<0時(shí)，解集為 示例：（1）已知是正常數(shù)，求證：，指出等號(hào)成立的條件；（2）利用（1）的結(jié)論求函數(shù)（）的最小值，指出取最小值時(shí)的值答案：（1），故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)； （2）由（1）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取最小值，即示例：對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對(duì)任意的，均有不等式成立，則稱(chēng)函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱(chēng)“不友好”的.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)

9、間.（1）若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；（2）討論函數(shù)與在區(qū)間上是否“友好”.答案：（1）函數(shù)與在區(qū)間上有意義，必須滿(mǎn)足 （2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與在區(qū)間上是“友好”的，則 即 （*）因?yàn)椋诘挠覀?cè)，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，從而 于是不等式（*）成立的充要條件是因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在區(qū)間上是不“友好”的.示例：已知二次函數(shù)的圖像過(guò)、兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足.(1)證明：或；(2)證明：函數(shù)f(x)的圖像必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為或(n<m<0)，解關(guān)于x的不等式.答案：（1）, 得、. （2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖像開(kāi)口向上，圖像上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)均為且小于零，所以圖像x軸有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖像開(kāi)口向下，圖像上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)均為且大于零，所以圖像x軸有兩個(gè)交點(diǎn). 所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).（3）的解集為或（n<m<0）, 從而方程的兩個(gè)根為, 則方程的兩個(gè)根為,. 因?yàn)閚<m<0，所以, 故不等式的解集為或.示例：已知二次函數(shù)R）滿(mǎn)足，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有，且時(shí)，總有（1）