1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù) 學(xué) 說 題 說題人： 中考數(shù)學(xué)壓軸題歷來是初三師生關(guān)注的焦點，它一般有動態(tài)問題、開放性題型、探索性題型、存在性題型等類型，涉及到代數(shù)、幾何多個知識點，囊括初中重要的數(shù)學(xué)思想和方法。對于考生而言，中考壓軸題是一根標尺，可以比較準確的衡量學(xué)生綜合解題能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面我就2014年我州數(shù)學(xué)中考第24題進行講評。原題呈現(xiàn)：如圖，已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標。（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積。（3） 在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MGx軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的

2、三角形與PCA相似。若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由。一、闡述題意 1、題目的已知條件（1）拋物線y=x2-1；（2）與x軸交于A、B兩點；（3）與y軸交于點C;（4）APCB；（5）M在x軸上方的拋物線上，且M作MGx軸于點G；（6）以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似。隱含條件為：（1）直線AP與直線CB的解析式中k值相等；（2） P點是直線AP與拋物線的交點；（3） 以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似的對應(yīng)關(guān)系不明確，有兩種情況需要討論；（4）對點M在拋物線上的位置不確定，要分兩種情況。2、難點及關(guān)鍵點（1）求出直線AP的解析式，從而求出點P的坐標；（2）知道

3、四邊形ACBP是個直角梯形或者把它以x軸為界分成兩個三角形，將四邊形ACBP的面積轉(zhuǎn)化成ABC和ABP的面積之和；（3）對于兩個三角形相似兩種對應(yīng)關(guān)系的討論；（4）對點M在拋物線上的位置存在兩種情況的討論。 當然，對于壓軸題，大部分題的難點還在于學(xué)生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決，這個題也不例外。二、闡述試題背景 本題是我州當年的數(shù)學(xué)中考壓軸題，分值12分。本題涉及的知識點有：拋物線；直角坐標；直線平行；待定系數(shù)法；四邊形的面積；三角形的相似。本題是二次函數(shù)、一次函數(shù)與多邊形綜合的數(shù)形結(jié)合題，綜合性強，而且隱含條件多，這是學(xué)生所不注意的地方，也正是解決問題的突破口和切入點。因此本題

4、嚴格按照考試大綱的考試目標與要求來命題，按照“考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在考查考生對初中的基礎(chǔ)知識，基礎(chǔ)技能的掌握程度的同時，更考查考生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平。三、解題過程 同一個問題，從不同的角度探究與分析，可有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。本題解法如下：解：（1）令y=0，即x2-1=0，得：x1=-1、x2=1即A點的坐標為(-1，0)，B點的坐標為(1，0)令x=0，得y=-1，即C的坐標為(0，-1)A（-1，0）,B（1，0）,

5、C（0，-1）（2）B（1，0）,C（0，-1）用待定系數(shù)法得直線BC解析式為：y=x-1APCB設(shè)AP所在的直線解析式為：y=x+b則0-1+b，b1AP所在的直線解析式為：y=x+1又P點在拋物線y=x2-1上由得X1-1(舍去），X22P（2，3）AP在ABC中，AC=BC=,AB=2AC2+BC2=AB2ABC為等腰直角三角形，且ACB=90又由（1）得：APCB四邊形ACBP為直角梯形梯ACBP（BC+AP)AC=（+3）=4 當然問題二：P點的坐標也可以構(gòu)建等腰直角三角形來得出，另外，也可以不證四邊形ACBP為直角梯形，直接用在坐標中根據(jù)點的坐標來求面積來解決，更簡潔，如下：解法二

6、：OA=OB=OC=1，BAC=ACO=BCO=45APCB，PAB=45EBB過點P作PEx軸于E，則APE為等腰直角三角形，令OE=a，則PE=a+1，P（a，a+1）點P在拋物線y=x2-1上，a+1=a2-1解得a1=2，a2=-1（不合題意，舍去）P（2，3），PE=3C四ACBPSABC+SABP21+23=4（3）假設(shè)存在由（2）得：AP，PAC=90，MGx軸于點G，MGA=PAC=90設(shè)M點的橫坐標為m，則M（m，m2-1）M點在X軸上方，則m-1或m1當m-1時，則AG=-1-m，MG=m2-1（）當AMGPCA時，有 AG：PA=MG：CA（-1-m）：=（m2-1）：解

7、得m1=-1（舍去）m2= （舍去）C（）當MAGPCA時，有 AG：CA=MG：PA， （-1-m）：=（m2-1）：解得：m1=-1（舍去），m2=-2M（-2，3）；當m1時，則AG=m+1，MG=m2-1（）當AMGPCA時，有 AG：PA=MG：CA（m+1）：=（m2-1）：解得m1=-1（舍去）m2= M（， ）（）當MAGPCA時，有 AG：CA=MG：PA， （m+1）：=（m2-1）：解得：m1=-1（舍去），m2=4，M（4，15）存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似M點的坐標為（-2，3），（， ），（4，15） 問題三解法二，上面這種討論法可能很多學(xué)

8、生都可以想到。而且這個問題還可以更簡潔點，前面要分很多種情況來討論，關(guān)鍵是：M點在拋物線的不同地方線段AG有不同的表示法，另外就是與PCA相似的對應(yīng)關(guān)系有兩種情況。其實，前者問題的解決只要在線段的表示上加絕對值就好，后者把MAG的兩直角邊之比分3：1和1：3即可，這樣只要解方程并檢驗根是否符合題意就可了，解法如下：(3) 由（2）得：CAAP，則PAC為直角三角形，且兩直角邊比為:AP:CA=3：1設(shè)M點的坐標為（m，m2-1），則N點的坐標為(m，0)直角MAG兩直角邊長分別為：AG=|m+1|，MG=m2-1根據(jù)題意需要使=3或=解得：m1=-2，m2=4，m3=4/3，m4=2/3（舍去

9、）(m2-1)1=3，(m2-1)2=15,(m2-1)3=7/9M點的坐標分別為：(-2，3)，(4，15)，(4/3，7/9)四、題目變式：1、 條件不變，改變結(jié)論：（1） 問題2變?yōu)椤扒驪BC的面積”這個問題的解法思路有：1、利用“S四邊形ACBP-SPAC”來解，S四邊形ACBP的面積前面有解法，求直角三角形PAC的面積也很簡單，因此，結(jié)論就可解了；2、直接求PBC的面積，在知道了P、C兩點的坐標后，得到直線PC的解析式，從而得出直線PC與X軸的交點坐標，這樣就可以以X軸為界將PAC分成以X軸上的線段為底的兩個三角形，高分別是P、C點的縱坐標，問題就迎刃而解了。（2） 將問題3中“在X

10、軸上方的拋物線上是否存在一點M”變?yōu)椤霸趻佄锞€上是否存在一點M”其他不變，這樣在上面（3）的解法一中的討論就要加入下面的部分：當-1m1時，則AG=m+1，MG=1-m2（）當AMGPCA時，有 AG：PA=MG：CA（m+1）：=（1-m2）：解得m1=-1（舍去），m2= M（，）（）當MAGPCA時，有 AG：CA=MG：PA（m+1）：=（1-m2）：解得m1=-1（舍去），m2= -2（舍去）M點的坐標為（-2，3），（， ），（4，15），（，）若用解法二來解的只要將“MG=m2-1”變?yōu)椤癕G=|m2-1|”就好，方程的解也沒變，只是把舍去的根保留，從而增加一個點M（，）。（3）

11、 條件結(jié)論都變，圖不變：如圖，拋物線關(guān)于與y軸對稱，與x軸交于A、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，-1）求拋物線的解析式；過點A作APAC交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積。在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MGx軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似。若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由。五、總結(jié)提煉 通過以上解題和變式過程突出地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常見的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、函數(shù)思想、啟發(fā)、討論等。運用了假設(shè)存在、由已知條件推理論證、得出結(jié)論等解題規(guī)律。六、教學(xué)設(shè)計 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是一項重要任務(wù)，那么如何激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的

12、思維，從而提高課堂效率呢？這就需要在課堂教學(xué)中精心創(chuàng)設(shè)問題情境。創(chuàng)設(shè)問題情境可以使學(xué)生自覺主動，深層次地參與教學(xué)。以利于其發(fā)現(xiàn)、理解和解決問題，學(xué)習(xí)中產(chǎn)生明顯的意識傾向和情趣共鳴。總之，精心創(chuàng)設(shè)問題情境是啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效手段。教師引導(dǎo)：（1）題目當中有哪些已知條件？需要你求解的問題是什么？用筆劃出關(guān)鍵詞，并在圖上做標記 。（2）你有不知道如何用的條件嗎？誰能幫忙嗎？（學(xué)生答后，讓學(xué)生討論交流解決。）（3）你有不知道如何下手的求解問題嗎？誰能幫忙嗎？（學(xué)生答后，讓學(xué)生討論交流解決。）（4）兩直線平行的解析式有何相同點？（5）四邊形ACBP是個規(guī)則的四邊形圖形嗎？（6）ACP是個什么特殊三角形嗎？（7）題