1、數論專題數論主要分以下幾個模塊：1、 數的整除問題2、 質數合數與分解質因數3、 約數與倍數4、 余數問題5、 奇數與偶數6、 位值原理7、 完全平方數8、 數字謎問題一、 整除問題1. 一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；2. 一個位數數字和能被3整除，這個數就能被3整除；一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那么這個數能被11整除.4. 如果一個整數的末三位與末三位以前

2、的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那么這個數能被7、11或13整除. 【備注】（以上規律僅在十進制數中成立.）性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那么它們的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(a±b)性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同樣的方法，我們還可以得出：性質3 如果數a能被數b與數c的積整除，那么a也能被b和c整除即如果bca，那么ba，ca性質4 如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那么a一定能被b與c的乘積整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca性質5 如果數a能被

3、數b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m為非0整數）；性質6 如果數a能整除數b，且數c能被數d整除，那么ac也能整除bd，如果 ba ，且dc ，那么bdac；1、 整除判定特征如果六位數1992能被105整除，那么它的最后兩位數是多少？ 2、 數的整除性質應用要使能被36整除，而且所得的商最小，那么分別是多少？3、 整除綜合性問題已知：則？二、質數合數與分解質因數一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數(也叫做素數).一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數.要特別記住：0和1不是質數，也不是合數.質因數：如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質

4、數是這個數的質因數.互質數：公約數只有1的兩個自然數，叫做互質數.分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數.何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即：其中為質數，為自然數，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質因子分解式.1、質數合數的基本概念的應用如果a，b均為質數，且，則_.2、分解質因數在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少?3、質數合數綜合型題目是質數，都是質數求是多少？三、約數與倍數0被排除在約數與倍數之外分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來例如：，所以；短除法：先找出

5、所有共有的約數，然后相乘例如：，所以；輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大的一個數，得第一個余數；再用第一個余數除小的一個數，得第二個余數；又用第二個余數除第一個余數，得第三個余數；這樣逐次用后一個余數去除前一個余數，直到余數是0為止那么，最后一個除數就是所求的最大公約數(如果最后的除數是1，那么原來的兩個數是互質的)例如，求600和1515的最大公約數：；所以1515和600的最大公約數是15幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數；幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數

6、；幾個數都乘以一個自然數，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數a；求出各個分數的分子的最大公約數b；即為所求分解質因數的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍數；例如： ，所以；兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數兩個互質的數的最小公倍數是這兩個數的乘積兩個數具有倍數關系，則它們的最大公約數是其中較小的數，最小公倍數是較大的數先將各個分數化為假分數；求出各個分數分子的最小公倍數；求出各個分數分母的最大公約數；即為所求例如： 注意：兩個最簡分數的最大公約數不能是整數，最小公倍數可以是整數.例如： 兩個自然數分別除以

7、它們的最大公約數，所得的商互質。如果為、的最大公約數，且，那么互質，所以、的最小公倍數為，所以最大公約數與最小公倍數有如下一些基本關系：，即兩個數的最大公約數與最小公倍數之積等于這兩個數的積； 最大公約數是、及最小公倍數的約數兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數的乘積。即，此性質比較簡單，學生比較容易掌握。對于任意3個連續的自然數，如果三個連續數的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個數的乘積等于這三個數的最小公倍數例如：，210就是567的最小公倍數b)偶奇偶，那么這三個數的乘積等于這三個數最小公倍數的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數為性質不是一個常見考點，但是也比較有助于學生理解最小公

8、倍數與數字乘積之間的大小關系，即“幾個數最小公倍數一定不會比它們的乘積大”。一個整數的約數的個數是在對其嚴格分解質因數后，將每個質因數的指數(次數)加1后所得的乘積。如:1400嚴格分解質因數之后為，所以它的約數有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身)約數個數的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是建立在開篇講過的數字“唯一分解定理”形式基礎之上，結合乘法原理推導出來的，不是很復雜，建議給學生推導并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，

9、即先告訴一個數有多少個約數，然后再結合其他幾個條件將原數“還原構造”出來，或者是“構造出可能的最值”。一個整數的所有約數的和是在對其嚴格分解質因數后，將它的每個質因數依次從1加至這個質因數的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數的所有約數的和。如：，所以21000所有約數的和為此公式沒有第一個公式常用，推導過程相對復雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學生找規律性的記憶即可。1、基本概念一次考試，參加的學生中有得優，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學生不滿50人，那么得差的學生有多少人？2、最大公約數與最小公倍數綜合應用已知兩個數都是只含質因數3和5，它們的最大公約數是7

10、5，已知有12個約數，有10個約數，求與的和求滿足條件的a、b的值(a、b都是四位數)四、余數問題帶余除法的定義及性質一般地，如果a是整數，b是整數（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr, 0rb；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商三大余數定理：1.余數的加法定理a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數等于4，即兩個余數的和

11、3+1.當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數等于3+4=7除以5的余數，即2。2.余數的乘法定理a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23×16除以5的余數等于3×1=3。當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之積再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以23×19除以5的余數等于3×4除以5的余數，即2.3.同余定理若兩個整數a、b被自然數m

12、除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數a，b除以同一個數m得到的余數相同，則a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk，k是整數，即m|(ab)棄九法原理在公元前9世紀，有個印度數學家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結果丟失而經常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進行的：例如：檢驗算式1234除以9的余數為11898除以9的余

13、數為818922除以9的余數為4678967除以9的余數為7178902除以9的余數為0這些余數的和除以9的余數為2而等式右邊和除以9的余數為3，那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數除以9的余數的和再除以9的余數一定與等式右邊和除以9的余數相同。而我們在求一個自然數除以9所得的余數時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數的各個位數字之和除以9的余數就可以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結出棄九法原理：任何一個整數模9同余于它的各數位上數字之

14、和。以后我們求一個整數被9除的余數，只要先計算這個整數各數位上數字之和，再求這個和被9除的余數即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數都是0，但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算式迷問題。中國古代趣題中國數學名著孫子算經里有這樣的問題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？”答曰：

15、“二十三。”此類問題我們可以稱為“物不知其數”類型，又被稱為“韓信點兵”。韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。劉邦茫然而不知其數。 我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？ 首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然后再加3，得9948（人）。 孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之后，以這個考證來說上面

16、這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。核心思想和方法對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以孫子算經中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個自然數分別除以3，5，7后，得到三個余數分別為2，3，2.那么我們首先構造一個數字，使得這個數字除以3余1，并且還是5和7的公倍數。先由，即5和7的最小公倍數出發，先看35除以3余

17、2，不符合要求，那么就繼續看5和7的“下一個”倍數是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們再構造一個除以5余1，同時又是3和7的公倍數的數字，顯然21可以符合要求。最后再構造除以7余1，同時又是3，5公倍數的數字，45符合要求，那么所求的自然數可以這樣計算：，其中k是從1開始的自然數。也就是說滿足上述關系的數有無窮多，如果根據實際情況對數的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數。例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數”，那么我們可以計算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數”,我們只要對最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。1、 帶余除法的定義

18、和性質用某自然數去除，得到商是38，余數是，求和2、 三大余數定理的應用有一個大于1的整數，除所得的余數相同，求這個數.3、 余數綜合應用設的各位數字之和為，的各位數字之和為，的各位數字之和為，的各位數字之和為，那么？4、 中國剩余定理有一個數，除以3余2，除以4余1，問這個數除以12余幾？五、奇數與偶數奇數和偶數的定義整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。通常偶數可以用2k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k為整數）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。奇數與偶數的運算性質性質1：偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數

19、 性質2：偶數±奇數=奇數性質3：偶數個奇數的和或差是偶數性質4：奇數個奇數的和或差是奇數性質5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數推論1：在加減法中偶數不改變運算結果奇偶性，奇數改變運算結果的奇偶性。推論2：對于任意2個整數a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶1、 奇數偶數基本概念及運算性質能否在下式的“”內填入加號或減號，使等式成立，若能請填入符號，不能請說明理由1 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 9272、 奇偶運算性質綜合及代數分析法是否存在自然數a和b，使得ab(a+b)=115?3、奇偶模型

20、與應用題試找出兩個整數，使大數與小數之和加上大數與小數之差，再加上等于如果找得出來，請寫出這兩個數，如果找不出來，請說明理由4、整數的奇偶性分析法在黑板上寫出三個整數，然后擦去一個換成其它兩數之和，這樣繼續操作下去，最后得到66，88，237問：原來寫的三個整數能否為1，3，5？六、位值原理位值原理位值原理的定義：同一個數字，由于它在所寫的數里的位置不同，所表示的數值也不同。也就是說，每一個數字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”，寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數字和數位結合起來表示數的原則，稱為寫數的位值原理。位值原理的表達形式：以六位數為例：a&#

21、215;100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。數的進制我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一”。在實際生活中，除了十進制計數法外，還有其他的大于1的自然數進位制。比如二進制，八進制，十六進制等。二進制：在計算機中，所采用的計數法是二進制，即“逢二進一”。因此，二進制中只用兩個數字0和1。二進制的計數單位分別是1、21、22、23、，二進制數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0&#

22、215;20。二進制的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數n，我們有n0=1。n進制：n進制的運算法則是“逢n進一，借一當n”，n進制的四則混合運算和十進制一樣，先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內的。1、位置原理某三位數和它的反序數的差被99除，商等于_與_的差；2、數的進制_；若，則_七、完全平方數完全平方數常用性質主要性質1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。4.若質數p整除完全平方數，則p能整除。一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數一定不是完全平方數。2.一個完全平方數被3除的余數是0或1.即被3除余2的數一定不是完全平方數。3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，3