1、數列、數學歸納法、數列極限松江四中 朱成兵第一部分數列一、知識點：1等差數列的通項公式： 推廣：；等比數列的通項公式： 推廣：2等差數列的前項和公式： ，；等比數列的前項和公式： ，3等差數列中，若，則；等比數列中，若，則4兩個等差數列與的和差的數列、仍為等差數列；兩個等比數列與的積、商、倒數組成的數列、仍為等比數列。5等差數列的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列；等比數列的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。6若為等差數列，則是等比數列；若是等比數列，則是等差數列。7等差數列中，當時，是關于的一次式：；當時，是一個常數：。8等差數列前項和公式：當時，是關于的二次式且常數項為0，即；當時，

2、是關于的正比例式；等比數列的前項和公式：當時，是關于的正比例式。9等差數列的任意連續項的和構成的數列、仍為等差數列；等比數列的任意連續項的和構成的數列、仍為等比數列。10數列的通項與前項和的關系：二、專題復習：專題一 基本量法根據等差（比）數列的定義，它由首項和公差（比）所確定，因此首項和公差（比）是等差（比）數列的基本量，解決等差（比）數列的問題可以把問題中的其它量轉化為求基本量首項和公差（比），使求解的數列問題轉化為求首項和公差（或公比）的等式或不等式問題。例題1.是等差數列，且，求的值。解法一：（基本量法） 得解法二：，又， 而。注意：在解答等差數列或等比數列的有關問題時，“基本量法”是

3、常用方法，但不一定是最好的方法。不過，對于條件不復雜的問題，“基本量法”是夠用的。專題二方程思想在等差數列中，有五個量，它們是項數、首項、通項、公差及前項和。基本公式有三個：； ；。在等比數列中，也有五個量，它們是項數、首項、通項、公比及前項和。基本公式也有三個：； ； 每個公式中含有四個量，一般情況下，在五個量中知道了其中的三個量，通過求代數式的值或解方程、方程組可以求出其他兩個量。這種解法稱為“知三求二法”，它滲透了方程的思想方法。例題1.在等比數列中，求和。解：專題三函數思想由于數列可以看作定義域為正整數集（或它的有限子集）的函數，因此數列和函數之間有著密切的聯系，許多數列問題可以用函數

4、的方法來處理，通過研究函數的性質（如函數的單調性、最大值和最小值等）來解決有關的數列問題。特別地，對于等差數列有：（1）等差數列 （2）等差數列（3）時，遞增；時，為常數列；時，遞減。例題1.在等差數列中，若，且，問數列前多少項之和最大？解法一：根據等差數列的性質，公差不為0的等差數列，其前項和是的二次函數（其中常數項為0）。設，因為，故此二次函數對稱軸，且由可得，所以。因此，該數列前13項之和最大。解法二：由得，又，故，因為，所以該等差數列單調遞減且正數項有限，令，又因為，故。解法三：由得，又，故。這是關于正整數的二次函數且開口向下，所以當時，最大。解法四：因為，所以即，則，所以，而，由于等

5、差數列可以看成是關于正整數的單調函數，所以，因此前13項之和最大。專題四類比思想等差數列與等比數列在定義、通項公式、遞推公式以及其他一些相關的性質和解題方法上，都有類比之處。例題1.2000年高考第12題 “在等差數列中，若,則有等式：成立，類似上述性質，相應地：在等比數列中，若則有等式成立”。答案：。練習：1（1）已知：等差數列的前項和記為，且，求證：；（2）類比（1），在等比數列中，你能夠得出什么結論？并證明你得出來的結論。解答：（1）證明：在等差數列中，設是其前項的和，因為、成等差數列，所以，即。（2）類比猜測：等比數列的前項積記為，且，則證明：在等比數列中，設是其前項的積，因為、成等比

6、數列，所以即。練習：2（1）已知是等差數列，且、，求證：。 （2）類比猜測正項等比數列中相應的命題并加以證明。證明：（1），=（2）類比猜測：已知為等比數列，且，且、，則證明。專題五分類思想在運用等比數列的前項和公式時，要注意按公比和分類討論；在已知求時，應先分和兩種情況分別運算，然后驗證能否統一。例題1.已知為等比數列，且，求與的值。解答：（1）當時，故。 （2）當時， 兩式相除得。綜上所述或練習：已知為等比數列的前項和，且，求。答案：76 例題2.已知數列的前項和，則通項= 解答：（1）當時， （2）當且，由于時， 所以，追問：若數列的前項和為，則這個數列一定是 B A 等差數列， B 非

7、等差數列 C 常數列 D 等差數列或常數列練習：1已知數列的前項和，則通項= 2若數列的前項和為，則2解答：（1）時， （2）且時，由于時，因此，專題六化歸思想有意識加強化歸的思想方法的運用，將非等差數列、非等比數列化歸為等差數列、等比數列，使原問題得以解決。例題1：在數列中，（），求。解：得：，從而，即， 數列是以為首項，以2為公比的等比數列，所以，得。例題2：在數列中，（），求。解：由得：，數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，即，例題3：在數列中，（），求。解：由，可設，即，對比系數，于是是以2為首項，以2為公比的等比數列。，得到形如的數列可構造等比數列，從而求出通項。專題七 求通項公

8、式（一）由遞推公式求通項遞推數列求通項的常用方法有：累加法、累乘法、構造新數列法累加法：例題1：在數列中，（），求。解：由知：得到：累加得：即 注意：形如的數列可通過累加法求通項。累乘法：例題2：在數列中，（），求。解：由知： 得到： ， ， ， ， 累乘得：， ，即注意：形如的數列可通過累乘法求通項。構造新數列法：例題3：在數列中，（），求。例題4：在數列中，（），求。例題5：在數列中，（），求。例題3、4、5的解答過程見專題六化歸思想的例題1、2、3（二）由前項和求通項例1.已知數列的前項和，求通項。解：（1）時， （2）且時，由于時，因此，練習：已知數列的前項和，求通項。答案：例2.已知

9、數列的前項和為，且，求數列的通項公式。分析：已知與間的遞推關系一般利用，將問題轉化為與間的遞推關系或與間的遞推關系，再利用變形構造常見數列求通項。解： （1） （2）得：，即，得為以為首項，以為公比的等比數列。因此，專題八 數列求和數列求和的常用方法：公式法、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。（一）、分組求和法：例題1.求和：解：=+=形如的數列可以化歸為等差、等比數列求和（二）、倒序相加法：例題2.設，利用課本中推導等差數列前項和公式的方法，求的值。（03上海春考題）解：設 （1）則 （2）易證明（1）+（2）得得，即注意：此題型特征：與首末兩端等距離

10、的兩項間的關系有一定的規律（相等或和相等等）倒序相加法可應用于解決函數、三角、立體幾何和組合等方面的問題。練習：1.求和： 答案：2.求和： 答案：（三）、錯位相減法求和：例題3. 已知數列是等差數列，且，（03年高考北京）（1）求數列的通項公式；（2）令，（）求數列的前項和的公式。解：（1）易得：，（2） ， 設即當時，兩式錯位相減，得當時，綜合可得注意：當一個數列各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘得到的可以利用乘公比錯位相減法。練習：若，求數列的前項和的公式。（四）、裂項法求和：例題4.已知，求數列的前項和的公式。解：其題型特征：數列中的每一項都能拆成相鄰兩項的差的形式。（五）、

11、含絕對值的求和例題5.設數列的通項為，求值：（01年上海理2）.解：時，；時，設的前項和為；設的前項和為。 =（）+（） =+ =58練習：數列滿足，求數列的前項和為。答案：專題九 應用性問題例題1（03春22）在一次人才招聘會上，有兩家公司分別開出了它們的工資標準：公司允諾第一個月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；公司允諾第一年月工資數為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎上遞增5，設某人年初被兩家公司同時錄取.試問：(1) 若該人分別在公司或公司連續工作年，則他在第年的月工資收入分別是多少？(2) 若該人連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為

12、應聘的標準（不記其它因素），該人應該選擇哪家公司，為什么？(3) 在公司工作比在公司工作的月工資收入最多可以多多少元?（精確到1元），并說明理由.解答:（1）an1500230·（n1），2000（15）n1，（nN）；（2）選擇A公司；（3）當n19時，anbn取得最大值約為827元.例題2（05年20）假設某市2004年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房.預計在今后的若干年內,該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一

13、年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?解答:(1)設中低價房面積形成數列an,由題意可知an是等差數列, 其中a1=250,d=50,則Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整數, n10.到2013年底,該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設新建住房面積形成數列bn,由題意可知bn是等比數列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1·0.85.由題意可知an>0.85 bn,有250

14、+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由計箅器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6.到2009年底,當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.專題十 探究性學習例題1.（06春22）已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）.（1）若，求；（2）試寫出關于的關系式，并求的取值范圍；（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列. 提出同（2）類似的問題（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？ 解法：（1）. （2）， 當時

15、，. （3）所給數列可推廣為無窮數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列，當時，數列是公差為的等差數列. 研究的問題可以是：試寫出關于的關系式，并求的取值范圍.研究的結論可以是：由， 依次類推可得 當時，的取值范圍為等。第二部分 數學歸納法一、知識點：數學歸納法的一般步驟是：（1） 當取第一個值時，命題成立； （2）假設當時，命題成立，證明當時命題也成立。根據（1）和（2）可以斷定，命題對任何都成立。二、典型例題：例題1.欲用數學歸納法證明“對于足夠大的正整數，總有”則所取的第一個值，最小應是。答案：10例題2（07理15）設是定義在正整數集上的函數，且滿足：“當成立時，總可推出成立”那么，下

16、列命題總成立的是（）若成立，則當時，均有成立若成立，則當時，均有成立若成立，則當時，均有成立 若成立，則當時，均有成立 解答：因為若成立，則當時，均有成立，所以錯；因為若成立，則當時，均有成立，所以錯；原命題的逆否命題為：設是定義在正整數集上的函數，且滿足：當不成立時，總可推出不成立。因此，若不成立，則當時，均有不成立，顯然也是錯誤的。因為若成立，則當時，均有成立，故對。練習：1.某個命題與正整數有關，如果當時該命題成立，那么可推得當時該命題也成立。現在已知時該命題不成立，那么可推得（ ）答案：CA 當時該命題不成立 B當時該命題成立C當時該命題不成立 D當時該命題成立2如果命題對成立，則它對

17、也成立，又若對成立，則下列結論正確的是（ ）。答案：A 對所有的正整數都成立 B對所有的正偶數都成立C對所有的正奇數都成立 D對所有大于1的正整數都成立例題3:用數學歸納法證明:,從“到”時，左邊應增添的因式是（ ）A B C D 答案：B練習：設，則A B C D 答案：D例題4.計算前幾項：等各項的值，可以猜想：解答：，猜想：例題5：已知數列的各項均為正數，且滿足，猜測并證明數列的通項公式。解答：，猜測，證明：（1）當時，等式成立；（2） 假設當時，等式成立，即，那么當時，等式也成立。根據（1）和（2）可以斷定，等式對任何都成立。練習：是否存在常數，使得等式對一切正整數都成立，并證明你的結

18、論。答案：此題為1989年全國卷高考題，證明（略）第三部分數列的極限一、知識點：（一）定義：一般地，在無限增大的變化過程中，如果無窮數列中的無限趨近于一個常數，那么叫做數列的極限，或叫做數列收斂于。記作，讀作“趨向于無窮大時，的極限等于”。（二）常用數列的極限：（1）當時，；（2）（3），（為常數）（三）四則運算法則：如果，那么（1）（2）（3）（四）無窮等比數列的各項的和：把的無窮等比數列的前項和當時的極限叫做無窮等比數列的各項的和，并用符號表示，即二、典型例題：例題1.數列中，則數列的極限值（B）等于等于等于或不存在注意：此題為07年文科第14題，數列的極限跟前面的有限項無關。例題2.判斷

19、下面命題的真假，并說明理由。在無限增大的變化過程中，如果無窮數列中的越來越接近于某個常數，那么是數列的極限。解答：不正確，因為“無限趨近于”的說法不能用“越來越接近于”代替。反例中的隨著的無限增大越來越接近于0，但不能夠無限趨近于0。即，事實上，例題3.計算：（1）（06春1），（2）（06文4）。解答：（1）；（2）注意：在無限增大的變化過程中，分子、分母都無限增大，而在分子、分母趨于無窮大的過程中，起決定作用的量分別是的次數的最高項，而其他的項對極限值沒有影響。練習：1.（07年春1）計算。答案：2.（00春7）若數列的通項為,求值：。答案： 3.若，求的值。答案： 4.（06理4）計算：。答案：5.（04春7）在數列中，且對任意大于1的正整數，點在直線上，則=_。解答：，例題4.（課本P43，No.2）判斷下列計算是否正確，并說明理由：解：上述計算正確。也可以這樣計算如下：例題5.（課本P43.例4）計算：解：原式=注意：例題5括號中的項數不是有限的，不能直接用和的極限的性質，應先求出括號內項的和，使其