1、問題問題:(1) 如何描述微觀粒子的狀態(tài)如何描述微觀粒子的狀態(tài) ？ (2) 微觀粒子的狀態(tài)變化時應(yīng)微觀粒子的狀態(tài)變化時應(yīng) 遵循什么樣的運(yùn)動規(guī)律遵循什么樣的運(yùn)動規(guī)律 ？ 1 波波 函函 數(shù)數(shù)一一 . “波動性波動性”與與“粒子性粒子性”矛盾的分析矛盾的分析:1) 研究對象研究對象 - 微觀粒子微觀粒子: 既不是經(jīng)典意義上的粒子既不是經(jīng)典意義上的粒子, 也不是經(jīng)典意義上的波也不是經(jīng)典意義上的波.例例: 通過對光的認(rèn)識過程可知通過對光的認(rèn)識過程可知, 光就是光光就是光 -它既不是粒子也不是波它既不是粒子也不是波. 2) “波動性波動性”與與“粒子性粒子性”的的矛盾矛盾與與分析分析:歷史上曾有過的錯誤

2、認(rèn)識歷史上曾有過的錯誤認(rèn)識:a) 波包波包: 夸大了波動性的一面夸大了波動性的一面, 從而實際上抺殺了粒從而實際上抺殺了粒 子性的一面子性的一面 - 有片面性有片面性.b) 波是大量粒子集體運(yùn)動的表現(xiàn)波是大量粒子集體運(yùn)動的表現(xiàn): 這種觀點夸大了粒這種觀點夸大了粒 子性的一面子性的一面, 從而實際上抺殺了波動性的一面從而實際上抺殺了波動性的一面 而被實踐證明是錯誤的而被實踐證明是錯誤的.3) 分析分析: 現(xiàn)在的研究對象現(xiàn)在的研究對象 微觀粒子微觀粒子: 具有一定的質(zhì)量具有一定的質(zhì)量, 電荷等屬性被稱為物質(zhì)的電荷等屬性被稱為物質(zhì)的“原子原子性性”, “整體性整體性”或或“粒子性粒子性”。但不是經(jīng)典

3、的粒子但不是經(jīng)典的粒子,拋棄了拋棄了“軌道軌道”概念概念.具有干涉具有干涉, 衍射現(xiàn)象衍射現(xiàn)象 本質(zhì)上是波的相干迭加性本質(zhì)上是波的相干迭加性.但又不是經(jīng)典的波但又不是經(jīng)典的波, 具有明確的局域性具有明確的局域性. 結(jié)論結(jié)論:1926年年, 玻恩玻恩( M.Born )把微觀粒子的把微觀粒子的 “原原 子子 性性” 和和 “波的相干迭加性波的相干迭加性” 統(tǒng)一起來統(tǒng)一起來, 提出了提出了“幾率幾率 波波”的概念的概念.4) 電子雙縫衍射實驗電子雙縫衍射實驗:目的目的: 通過分析電子雙縫衍射實驗通過分析電子雙縫衍射實驗, 去去尋找尋找正確理解正確理解和和 認(rèn)識象電子這樣的認(rèn)識象電子這樣的微觀客體的

4、微觀客體的行為特征行為特征的途徑的途徑.名人名言名人名言 Feynman認(rèn)為認(rèn)為: 這一實驗設(shè)計的包含了量子力這一實驗設(shè)計的包含了量子力學(xué)的一切秘密之處學(xué)的一切秘密之處, 它把自然的疑難它把自然的疑難, 特異和神奇性百分之百地擺在你的特異和神奇性百分之百地擺在你的面前面前.降低所發(fā)射的降低所發(fā)射的 電子束的強(qiáng)度電子束的強(qiáng)度, ,使其低到足以使其低到足以 分開每分開每一個事件一個事件特點：特點：實驗實驗 A) 電子是逐個到達(dá)熒光屏上的，所謂逐個的意思就是對電子是逐個到達(dá)熒光屏上的，所謂逐個的意思就是對每個事件在屏上只能觀察到一個亮點，每個事件在屏上只能觀察到一個亮點，而且各亮點而且各亮點涉及到的

5、涉及到的范圍很小。范圍很小。不會出現(xiàn)一大片光斑或光暈（粒子性的表現(xiàn)）。不會出現(xiàn)一大片光斑或光暈（粒子性的表現(xiàn)）。 實實驗驗結(jié)結(jié)果果 先只先只打開縫打開縫1并遮上縫并遮上縫 2開始對應(yīng)于每個事件的亮點在屏開始對應(yīng)于每個事件的亮點在屏上出現(xiàn)的位置是隨機(jī)的。但積累了大量事件后就可上出現(xiàn)的位置是隨機(jī)的。但積累了大量事件后就可看到單縫衍看到單縫衍射的圖樣。射的圖樣。反之亦然。反之亦然。 當(dāng)當(dāng)兩個縫同時打開兩個縫同時打開時：開始亮點在屏上出現(xiàn)的位置仍時：開始亮點在屏上出現(xiàn)的位置仍是隨機(jī)的但積累了大量事件后就可看到的結(jié)果并不是是隨機(jī)的但積累了大量事件后就可看到的結(jié)果并不是 中兩中兩個單縫衍射的圖樣簡單相加，

6、而是個單縫衍射的圖樣簡單相加，而是雙縫的衍射的圖樣。雙縫的衍射的圖樣。結(jié)論結(jié)論: :既不是經(jīng)典的粒子既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波也不是經(jīng)典的波. .C) 為說明問題，實驗按以下順序進(jìn)行：為說明問題，實驗按以下順序進(jìn)行： B) 只要時間足夠長就可記錄下只要時間足夠長就可記錄下大量的事件，大量的事件，其其結(jié)果就結(jié)果就會看到會看到衍射條紋衍射條紋（波動性的表現(xiàn)）。（波動性的表現(xiàn)）。P1PP2 P1=| 1 |2P2=| 2|2經(jīng)經(jīng)典典理理論論P(yáng)=P1+P2=| 1 |2+| 2|2量量子子理理論論P(yáng) =| 1 + 2|2=| 1 |2+| 2|2+ 1* 2+ 1 2*簡單相加相干迭加若以若以 來

7、描述電子衍射花樣的強(qiáng)度分布來描述電子衍射花樣的強(qiáng)度分布22),(tr的存在的存在的的A) 相干迭加相干迭加 的結(jié)果充分顯示了的結(jié)果充分顯示了 微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別 . .若是若是經(jīng)典粒子經(jīng)典粒子, ,如細(xì)沙?；蜃訌椚缂?xì)沙?；蜃訌? ,它們一個一個地穿過狹縫它們一個一個地穿過狹縫, ,雖然兩個縫都是打開的雖然兩個縫都是打開的, ,但但穿過縫穿過縫2的粒子是無法感知縫的粒子是無法感知縫1, ,反之亦然反之亦然. .所以只能出現(xiàn)經(jīng)典的結(jié)果。所以只能出現(xiàn)經(jīng)典的結(jié)果。. .B) 如何理解相干迭加的這一結(jié)果呢如何理解相干迭加的這一結(jié)果呢? ?試想遵循下面的推理試想遵循下面的推理

8、: :對對實實驗驗結(jié)結(jié)果果的的解解釋釋某處衍射條某處衍射條紋的強(qiáng)度紋的強(qiáng)度該處附近該處附近出現(xiàn)亮點出現(xiàn)亮點的次數(shù)的次數(shù)打在該處打在該處附近的電附近的電子的數(shù)目子的數(shù)目一個電子在該處一個電子在該處附近出現(xiàn)的幾率附近出現(xiàn)的幾率結(jié)論結(jié)論:以以 描述電子衍射花樣的強(qiáng)度分布描述電子衍射花樣的強(qiáng)度分布,則則應(yīng)正比于電子在該處附近出現(xiàn)的幾率應(yīng)正比于電子在該處附近出現(xiàn)的幾率.28Bullet Double-slit Interference結(jié)論結(jié)論: (1) 函數(shù)函數(shù) (r) 在雙縫衍射中對電子的狀態(tài)具有在雙縫衍射中對電子的狀態(tài)具有 重要意義重要意義, 即可以用即可以用 (r) 來描寫經(jīng)雙縫衍射后電來描寫經(jīng)雙

9、縫衍射后電 子在到達(dá)屏上時所處的狀態(tài)子在到達(dá)屏上時所處的狀態(tài). (2) 使用使用 (r) 的描述的描述, 可以統(tǒng)一可以統(tǒng)一“波動性波動性”與與“粒粒 子性子性”的矛盾的矛盾-“幾率波幾率波”二二. .波函數(shù)波函數(shù): :1) 量子力學(xué)中使用波函數(shù)來描述微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)量子力學(xué)中使用波函數(shù)來描述微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài), 一般以一般以 (r,t) 來表示來表示. 波函數(shù)本身它并不是一個力學(xué)變量波函數(shù)本身它并不是一個力學(xué)變量-這是與經(jīng)這是與經(jīng) 典力學(xué)的一個重要區(qū)別典力學(xué)的一個重要區(qū)別. -從一開始量子力學(xué)就從一開始量子力學(xué)就 與經(jīng)典力學(xué)完全不同與經(jīng)典力學(xué)完全不同 它可以向我們提供被研究的微觀粒子的各種力

10、學(xué)它可以向我們提供被研究的微觀粒子的各種力學(xué) 量的取值及其變化的全部信息量的取值及其變化的全部信息.2)2)波函數(shù)的幾率解釋波函數(shù)的幾率解釋: :rdtrtrrdtrdW),(),(),(*2 為微觀粒子為微觀粒子 t 時刻在時刻在 r 處附近處附近 r r+dr 區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的幾率幾率. 歸一化條件歸一化條件: 1,2rdtr)(全全空空間間 (r) 與與C (r) (C為一常數(shù)為一常數(shù))所描寫的是同一個微觀狀態(tài)所描寫的是同一個微觀狀態(tài). A) “幾率波幾率波”與經(jīng)典波動有與經(jīng)典波動有本質(zhì)的不同本質(zhì)的不同:y0Cy0X 對經(jīng)典波動對經(jīng)典波動: 波動方程前乘波動方程前乘以以C, 相當(dāng)

11、與波的振幅被放大了相當(dāng)與波的振幅被放大了C倍倍, 強(qiáng)度被放大了強(qiáng)度被放大了C2倍倍, 因此它們因此它們是完全不同的兩個波是完全不同的兩個波.討論討論: B) 歸一化系數(shù)歸一化系數(shù):設(shè)設(shè) (r,t) 為一個沒被歸一化的波函數(shù)為一個沒被歸一化的波函數(shù), 若有常數(shù)若有常數(shù) C 滿足滿足:1,2rdtrC其中其中rdtrC22),(1或或rdtrC2),(1C 被稱為被稱為 (r,t) 的歸一化系數(shù)的歸一化系數(shù). 若有若有 (r,t) =C (r,t)且且 (r,t) 和和 (r,t) 描述的是同一個狀態(tài)描述的是同一個狀態(tài).C) 波函數(shù)位相的不確定性波函數(shù)位相的不確定性: 當(dāng)當(dāng) 為實數(shù)時為實數(shù)時),(

12、trei與與),(tr描述的是同一個狀態(tài)描述的是同一個狀態(tài)且都是歸一化的現(xiàn)象被稱為且都是歸一化的現(xiàn)象被稱為波函數(shù)位相的不確定性波函數(shù)位相的不確定性. 3)3)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件: : 物理上要求：物理上要求：波函數(shù)滿足波函數(shù)滿足單值、連續(xù)和有限的條件單值、連續(xù)和有限的條件. . 有限性它不排除對某些孤立點有有限性它不排除對某些孤立點有: :20),(rrtr但但)(2,rrdtr有限值04)4)自由粒子平面波的波函數(shù)自由粒子平面波的波函數(shù): :總體總體思路思路由由經(jīng)典平面波波動方程的復(fù)數(shù)形式，利用經(jīng)典平面波波動方程的復(fù)數(shù)形式，利用德布羅意關(guān)系式，把經(jīng)典理論中描寫粒子德布羅意關(guān)

13、系式，把經(jīng)典理論中描寫粒子性的物理量性的物理量E和和P揉入其中，形成自由粒子揉入其中，形成自由粒子的波函數(shù)的表達(dá)式。再去經(jīng)受實踐的檢驗。的波函數(shù)的表達(dá)式。再去經(jīng)受實踐的檢驗。其其復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式為：為：A）經(jīng)典的沿）經(jīng)典的沿X方向傳播的方向傳播的平面波的波動方程平面波的波動方程：波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度取其實部則可還原為其實數(shù)形式。取其實部則可還原為其實數(shù)形式。復(fù)數(shù)形式的優(yōu)點：復(fù)數(shù)形式的優(yōu)點：a) 方便運(yùn)算。方便運(yùn)算。B) 自由粒子與平面波自由粒子與平面波:自由粒子不受自由粒子不受外界作用外界作用, 其其動量為確定值動量為確定值德布羅意關(guān)系式對應(yīng)的波對應(yīng)的波長與波矢長與波矢為恒定為恒定

14、平面波平面波2AI )/(2cos),(xtAtxy)/(2),(xtiAetxy2AI b) 初位相初位相 f 以以 的形式出現(xiàn)，因此可以被包含在復(fù)振幅的形式出現(xiàn)，因此可以被包含在復(fù)振幅A中。中。ifeC）量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)：）量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)：)(0),(xpEtixetxh對對應(yīng)應(yīng)代代換換關(guān)關(guān)系系量子力學(xué)量子力學(xué)經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)),(txy),(tx頻率頻率hE /能量能量波長波長xph /動量動量A振幅振幅0復(fù)振幅復(fù)振幅量子力學(xué)中量子力學(xué)中自由粒子的自由粒子的波函數(shù)波函數(shù))/(2),(xtiAetxy)(0),(tErpietrh一般情況下的表示一般情況下的表示:特特

15、點點1)具有波動方程的形式具有波動方程的形式.2)包含經(jīng)典理論中描述粒子特征的物理量包含經(jīng)典理論中描述粒子特征的物理量 E 和和 p在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相同。這時粒子的動在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相同。這時粒子的動量是完全確定的，但其位置就完全不確定。量是完全確定的，但其位置就完全不確定。常數(shù)常數(shù) 2),(tr對自由對自由粒子粒子 波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對微觀世界本質(zhì)的波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對微觀世界本質(zhì)的認(rèn)識與爭論至今仍未完結(jié)。認(rèn)識與爭論至今仍未完結(jié)。哥本哈根學(xué)派哥本哈根學(xué)派愛因斯坦愛因斯坦設(shè)歸一化因子為設(shè)歸一化因子為C，則歸一化的波函數(shù)為，則歸一化的波函數(shù)為 ( (x)= )= C ex

16、p(-(- 2 2x2 2/2)/2) 1)(2dxx例題：例題：將波函數(shù)將波函數(shù) 歸一化歸一化 2exp22xxf 解解:dxeCx2212由由:可得可得:則歸一化后的波函數(shù)為則歸一化后的波函數(shù)為利用積分公式利用積分公式: :dxex22得得:2|CC2/22)(xex量量子子力力學(xué)學(xué)經(jīng)經(jīng)典典力力學(xué)學(xué)研研究究對對象象質(zhì)質(zhì)點點微微觀觀粒粒子子狀狀態(tài)態(tài)描描寫寫位位置置和和動動量量波波函函數(shù)數(shù)自自由由粒粒子子有有確確定定的的動動量量與與能能量量有有確確定定的的頻頻率率與與波波長長且且波波的的傳傳播播方方向向不不會會變變化化平平面面波波運(yùn)運(yùn)動動定定律律牛牛頓頓定定律律薛薛定定格格方方程程量子力學(xué)與經(jīng)

17、典力學(xué)量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)一一. .自由粒子薛定格方程的建立自由粒子薛定格方程的建立: :自由粒子波函數(shù)自由粒子波函數(shù)1)1)為討論其隨時間的變化兩邊對為討論其隨時間的變化兩邊對t t求偏導(dǎo)得求偏導(dǎo)得: :),(),(trEittrh)(0),(tErpietrh)(0),(tEzpypxpizyxetzyxhttritrE),(),(h 2) 2)它啟發(fā)我們它啟發(fā)我們波函數(shù)隨時間的變化與能量有關(guān)波函數(shù)隨時間的變化與能量有關(guān)：)(2122222zyxpppmmpE自由粒子的能量表達(dá)式為自由粒子的能量表達(dá)式為: :在直角坐標(biāo)系中的形式為：在直角坐標(biāo)系中的形式為：這個式子當(dāng)然也可寫為這個式子當(dāng)然也可

18、寫為: :),()(212),(2222trpppmmptrEzyx),(),(2222trpxtrxh 3) 3)注意到自由粒子注意到自由粒子波函數(shù)對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)是與動量有關(guān)波函數(shù)對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)是與動量有關(guān)的的, ,而且對而且對自由粒子來講，能量是可以由動量完全確定自由粒子來講，能量是可以由動量完全確定下來的。下來的。因此要討論波函數(shù)對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)因此要討論波函數(shù)對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù): :),(),(trpixtrxhxtritrpx),(),(h同理同理ytritrpy),(),(hztritrpz),(),(h4)4)再由再由: :2222),(),(xtrtrpxh同理有：同理有：2222),(),

19、(ytrtrpyh2222),(),(ztrtrpzhxtritrpx),(),(h5)5)所以有所以有: :),()(),()(2222222222trzyxtrpppzyxh6)6)把把1)1)和和 5)5)代入代入 2)2)的兩邊可得的兩邊可得: :),()(2),(2222222trzyxmtrtihh-自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程該方程的特點該方程的特點:A) A) 是一個線性微分方程是一個線性微分方程, , 迭加原理適用迭加原理適用. .若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)若體系具有一系列不同的可能狀態(tài) ，21 則則2211 CC也是其可能的狀態(tài)也是其

20、可能的狀態(tài)B) B) 方程系數(shù)中不包含與微觀粒子狀態(tài)有關(guān)的參量方程系數(shù)中不包含與微觀粒子狀態(tài)有關(guān)的參量. . 通過上述過程，能得到自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方通過上述過程，能得到自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方程，這是好的。但是程，這是好的。但是得到該方程的方法是我們所不感興趣的得到該方程的方法是我們所不感興趣的。 有意義是我們?nèi)钥梢詮纳鲜鲞^程中有意義是我們?nèi)钥梢詮纳鲜鲞^程中得到一些重要的啟示得到一些重要的啟示。再把這些啟示進(jìn)一步升華就可得到另外一種產(chǎn)生上述方程的再把這些啟示進(jìn)一步升華就可得到另外一種產(chǎn)生上述方程的方法。方法。 這種新方法的一個重要特征就是：可以這種新方法的一個重要特征就是：可以在

21、不知道自由粒在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下子波函數(shù)的情況下，仍然能，仍然能得到正確的得到正確的關(guān)于自由粒子波函數(shù)關(guān)于自由粒子波函數(shù)隨時間變化的隨時間變化的偏微分方程偏微分方程。ttritrE),(),(hixxtritrpi),(),(h 給出我們這種啟示的是在前面的的推導(dǎo)過程中所出現(xiàn)過給出我們這種啟示的是在前面的的推導(dǎo)過程中所出現(xiàn)過的下述等式：的下述等式：zxyxxxi321,3 ,2, 1且其中2222),(),(ixxtrtrpih 當(dāng)然，在前述過程中這些等式是在自由粒子的波函數(shù)為當(dāng)然，在前述過程中這些等式是在自由粒子的波函數(shù)為已知的條件下被已知的條件下被“推導(dǎo)推導(dǎo)”出來的。這些等式可以

22、給出的啟發(fā)出來的。這些等式可以給出的啟發(fā)是：是： 但是如果我們認(rèn)為在不知道波函數(shù)的具體形式時這些等但是如果我們認(rèn)為在不知道波函數(shù)的具體形式時這些等式也是正確的。當(dāng)然，這一認(rèn)識對于自由粒子的情況一定是式也是正確的。當(dāng)然，這一認(rèn)識對于自由粒子的情況一定是沒有問題的。沒有問題的。 動量動量 p px x 對波函數(shù)的作用與算符對波函數(shù)的作用與算符 對波函數(shù)的作用對波函數(shù)的作用是相同的。是相同的。( (其中其中 x = x , y , zx = x , y , z ) )xih 動量平方動量平方 p px x2 2 對波函數(shù)的作用與算符對波函數(shù)的作用與算符 對波函對波函數(shù)的作用是相同的。數(shù)的作用是相同的

23、。( (其中其中 x = x , y , zx = x , y , z ) ) 222xh 那么就可以使用這些等式那么就可以使用這些等式在不知道自由粒子波函數(shù)的情在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下得到?jīng)r下得到自由粒子波函數(shù)隨時間變化的自由粒子波函數(shù)隨時間變化的偏微分方程偏微分方程。 對其具體的操作過程可表通過下面三個步驟完成：對其具體的操作過程可表通過下面三個步驟完成： 能量能量 E E 對波函數(shù)的作用與算符對波函數(shù)的作用與算符 對波函數(shù)的作用對波函數(shù)的作用是相同的。是相同的。tih 假設(shè)：假設(shè)：對未知的波函數(shù)，上述等式都是正確的。即對未知的波函數(shù)，上述等式都是正確的。即承承認(rèn)認(rèn)對未知的波函數(shù)對未

24、知的波函數(shù)下述的物理量與算符之間的對應(yīng)關(guān)系是正下述的物理量與算符之間的對應(yīng)關(guān)系是正確的。確的。tihE能量iixxiph動量2222iixxph動量的平方 寫出寫出經(jīng)典力學(xué)的經(jīng)典力學(xué)的自由粒子的能量表達(dá)式自由粒子的能量表達(dá)式：)222(2122zpypxpmmpE并對任意函數(shù)并對任意函數(shù) 可以得到可以得到等式：等式：),()(21),(222trpppmtrEzyx 使用使用 中給出的算符，替換中給出的算符，替換 中最后一個等式中中最后一個等式中相應(yīng)的各個物理量就可得到與前面經(jīng)過推導(dǎo)得到的完全相同相應(yīng)的各個物理量就可得到與前面經(jīng)過推導(dǎo)得到的完全相同的自由粒子的波函數(shù)所滿足的偏微分方程。的自由粒

25、子的波函數(shù)所滿足的偏微分方程。),()(2),(2222222trzyxmtrtihh- 這就是自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程這就是自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程 再強(qiáng)調(diào)一遍，這方法的一個重要特點就是：可以再強(qiáng)調(diào)一遍，這方法的一個重要特點就是：可以在不知在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下道自由粒子波函數(shù)的情況下，仍然能，仍然能得到正確的得到正確的關(guān)于自由粒關(guān)于自由粒子波函數(shù)隨時間變化的子波函數(shù)隨時間變化的偏微分方程偏微分方程。 正是由于這個原因，使得使得這種方法更容易向一般的正是由于這個原因，使得使得這種方法更容易向一般的情況，即情況，即事先不知道波函數(shù)的具體形式，但是還要尋求波函事先不知道波

26、函數(shù)的具體形式，但是還要尋求波函數(shù)所滿足的微分方程數(shù)所滿足的微分方程的這種情況去推廣。的這種情況去推廣。二二. .一般情況下的薛定格方程一般情況下的薛定格方程: :1) 1) 一維的情況：一維的情況： 為了得到對于非自由粒子，即一般情況下的薛定格方為了得到對于非自由粒子，即一般情況下的薛定格方程我們假設(shè)：程我們假設(shè)： 前述的反映力學(xué)量與算符的對應(yīng)關(guān)系的等式在一般前述的反映力學(xué)量與算符的對應(yīng)關(guān)系的等式在一般情況下，即非自由粒子的情況下也是正確的。情況下，即非自由粒子的情況下也是正確的。 由此可以得到等式：由此可以得到等式：),(),(2),(2txtxUmptxEx使用前面的使用前面的 “算符關(guān)

27、系等式算符關(guān)系等式” 代換掉上式中的物理量可代換掉上式中的物理量可得到：得到：),(),(2),(222txtxUxmtxtihh2) 2) 三維情況：三維情況： hipkpjpipzyx222hhhiippp其中：其中：zkyjxi 其中其中 （x,tx,t）為未知的，可用來描寫該粒子狀態(tài)的波函數(shù)。）為未知的，可用來描寫該粒子狀態(tài)的波函數(shù)。),(txUmpEx 22在一維情況下，非自由粒子的經(jīng)典力學(xué)能量表達(dá)式應(yīng)寫為：在一維情況下，非自由粒子的經(jīng)典力學(xué)能量表達(dá)式應(yīng)寫為：),(),(2),(22trtrUmtrtihh ),(22trUmpE 該方程于該方程于1926被被Schdinger首次給

28、出首次給出, 并為此榮獲并為此榮獲1933年諾貝爾物理獎年諾貝爾物理獎. Schdinger方程是非相對論量子力學(xué)的基本動力學(xué)方程方程是非相對論量子力學(xué)的基本動力學(xué)方程.其在量子力學(xué)中的地位與牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中的地位是其在量子力學(xué)中的地位與牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中的地位是相同的相同的. 三維情況下的粒子經(jīng)典力學(xué)的能量表達(dá)式為：三維情況下的粒子經(jīng)典力學(xué)的能量表達(dá)式為：),(),(2),(2trtrUmptrE再使用再使用 “算符關(guān)系等式算符關(guān)系等式” 代換掉上式中的物理量就可代換掉上式中的物理量就可得到：得到： 并由此可以得到等式：并由此可以得到等式：三三. 定態(tài)薛定格方程定態(tài)薛定格方程:1) 定

29、態(tài)薛定格方程定態(tài)薛定格方程A)分離變量分離變量: )()(tEfdttdfih)()()(222rErrUmh 若在所研究的問題中若在所研究的問題中 U=U( r )與時間與時間t無關(guān)無關(guān), 則可設(shè)則可設(shè): ( r,t )= ( r ) f ( t ) 對對薛定格方程分離變量可得薛定格方程分離變量可得:其中其中E為常數(shù)為常數(shù). B)本征值與本征值方程本征值與本征值方程: E為算符為算符 或或 的本征值而上述方程的本征值而上述方程被稱為該算符的本征值方程被稱為該算符的本征值方程. dtdih)(222rUmhC)與時間有關(guān)部分的解與時間有關(guān)部分的解: 由方程由方程可解出可解出: )()(tEfd

30、ttdfihEdtitftdfh)()(Etietfh)(D)定態(tài)定態(tài): 這時這時 Etiertrh)(),(22)(),(rtr 在這種狀態(tài)下微觀粒子在各處出現(xiàn)的幾率與時間在這種狀態(tài)下微觀粒子在各處出現(xiàn)的幾率與時間無關(guān)無關(guān) - 因此被稱為定態(tài)因此被稱為定態(tài) )(r 被稱為定態(tài)波函數(shù)被稱為定態(tài)波函數(shù). E)定態(tài)薛定格方程定態(tài)薛定格方程: 方程方程)()()(222rErrUmh被稱為定態(tài)薛定格方程被稱為定態(tài)薛定格方程.定義定義: :),(222trUmHh對定態(tài)情況對定態(tài)情況時有時有: :)(222rUmHh這里這里 被稱為系統(tǒng)的哈密頓量被稱為系統(tǒng)的哈密頓量. .H 定態(tài)薛定格方程也可表示為定

31、態(tài)薛定格方程也可表示為: :這時這時E E被稱為被稱為H H的本征值的本征值, ,而而 (r)(r)被稱為被稱為H H的本征函數(shù)的本征函數(shù). .)()(rErH2) 2) 多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程: :研究對象研究對象: : 總粒子數(shù)總粒子數(shù)=N, =N, 粒子的質(zhì)量粒子的質(zhì)量m mi i(i=1,2,3(i=1,2,3N)N)粒子間粒子間的相互作用勢能為的相互作用勢能為: :),(21NrrrV 外場與粒子外場與粒子間的相互作用勢能為間的相互作用勢能為: :)(iirU若若V V與與U Ui i都與時間無關(guān)都與時間無關(guān), ,則我們可以研究其則我們可以研究其定態(tài)問題

32、定態(tài)問題. .以以 ),(21Nrrr 表示系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù)表示系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù). . A)A)波函數(shù)波函數(shù): : 其物理意義為其物理意義為: : NiiNrdrrrdW1221),(歸一化條件為歸一化條件為: : 1),(122, 1 NiiNrdrrrC)C)多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程: : ),(),(),()(2212121122NNNNiiiiirrrErrrrrrVrUmh 這里的這里的E E就是該多粒子系統(tǒng)的能量本征值就是該多粒子系統(tǒng)的能量本征值. . B)B)多粒子系統(tǒng)的哈密頓量多粒子系統(tǒng)的哈密頓量: : 經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué): : ),()(22112N

33、NiiiiirrrVrUmpH 量子力學(xué)量子力學(xué): : ),()(221122NNiiiiirrrVrUmHh 2022-3-332 微觀粒子的狀態(tài)可用波函數(shù)來描寫微觀粒子的狀態(tài)可用波函數(shù)來描寫, 而而波函數(shù)隨時間的演化遵從薛定格方程波函數(shù)隨時間的演化遵從薛定格方程:),(),(trHtrtih一一、物理背景與簡化近似、物理背景與簡化近似: :3 3、一維無限深勢阱一維無限深勢阱簡化近似：簡化近似：x)(xU0U勢阱深度勢阱深度一維有限深勢阱物理背景：物理背景：)(xU金 屬 體0U勢阱深度勢阱深度金屬中自由電子的勢能曲線xx0U勢阱深度勢阱深度一維無限深勢阱Ur)(rU原子核0U勢阱深度勢阱

34、深度原子核中質(zhì)子的勢能曲線物理背景物理背景簡化近似簡化近似一維無限深勢阱的勢能函數(shù)一維無限深勢阱的勢能函數(shù)axxU或或0)(勢阱寬度a二、一維無限深勢阱的定態(tài)、一維無限深勢阱的定態(tài) 薛定格方程：薛定格方程：勢阱中粒子的經(jīng)勢阱中粒子的經(jīng)典力學(xué)能量關(guān)系典力學(xué)能量關(guān)系mPEx22應(yīng)用前面應(yīng)用前面得到的物得到的物理啟示理啟示22222xppxxh)(d(x)d2222xExmh其定態(tài)薛定格其定態(tài)薛定格方程可寫為：方程可寫為：邊界條件0)(x時時axx ,0 x0U勢阱深度勢阱深度勢能曲線Ua0 區(qū)區(qū)0301 區(qū)區(qū) 區(qū)區(qū)三、一維無限深勢阱問題的解：三、一維無限深勢阱問題的解：1、方程的通解：、方程的通解

35、：222kmE h0dd222kx)sin()(jkxAx令令:2、確定常數(shù)、確定常數(shù) f f勢阱無限深所以阱外有：勢阱無限深所以阱外有： (x) = 0 （ x 0 x a ）由波函數(shù)由波函數(shù) 連續(xù)性，連續(xù)性， 邊界條件邊界條件 ： (0) = 0 (a) = 0j j = 0 0)=Asinj j = 0 x= 0處有處有ka =n (a)=Asinka =0n = 1 . 2 . 3 n = 0 ?注意到在注意到在x = a處有處有3 、能量本征值、能量本征值 E 的確定的確定：222kmE hka =n 22222manEEnhn = 1 . 2 . 3 一維無限深勢阱中運(yùn)動的微觀粒的

36、能量只能取分立值。一維無限深勢阱中運(yùn)動的微觀粒的能量只能取分立值。其中其中n -n -被稱為量子數(shù)。被稱為量子數(shù)。 能量的不連續(xù)這一結(jié)論能量的不連續(xù)這一結(jié)論并不用出自于普朗克假設(shè)。并不用出自于普朗克假設(shè)。它是量子力學(xué)的自然結(jié)果。它是量子力學(xué)的自然結(jié)果。基態(tài)能量基態(tài)能量 0-波動性。波動性。22212 maEh kxAx sin)(1d)(20 xx anaA2122 aA4、確定能量本征波函數(shù)、確定能量本征波函數(shù)：ka =n xanAx nsin)(22222manEnh 對應(yīng)于對應(yīng)于能量本征值能量本征值為為 的的本征波函數(shù)本征波函數(shù)。5、由歸一化條件確定系數(shù)、由歸一化條件確定系數(shù)A：歸一化歸

37、一化條件為條件為1)(2-dxxn (x) = 0 （ x 0 x a ）1sin20dxxanAaxanAxnsin)(a2（ 0 x a ）一維無限深勢一維無限深勢阱定態(tài)薛定格方阱定態(tài)薛定格方程全部解完。程全部解完。6 6、一維無限深勢阱問題小結(jié)：、一維無限深勢阱問題小結(jié)：1）一維無限深勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和概率密度）一維無限深勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和概率密度n = 1n = 2n = 3a22212maEh 2nnw 124EE 1w2w3w139EE 0 xnExaasin21xaa2sin22xaa3sin23n0 xnEahtEinnnex tx)(),(tinexana2)

38、sin(2駐波駐波 ？A)A)考慮考慮 時間因子時間因子 是沿是沿 x 軸正向、負(fù)向傳播的波，形成軸正向、負(fù)向傳播的波，形成 駐波駐波。兩端為波節(jié)。只有某些波長的波才能形成駐波。兩端為波節(jié)。只有某些波長的波才能形成駐波。n的取值不同的取值不同 , 能量不同，腹的數(shù)目不同。波腹的能量不同，腹的數(shù)目不同。波腹的數(shù)目等于數(shù)目等于 n的數(shù)目。的數(shù)目。a 為半波長的整數(shù)倍為半波長的整數(shù)倍.ieeii2sinqqq2）討論：）討論：C) 束縛態(tài)與擴(kuò)展態(tài)束縛態(tài)與擴(kuò)展態(tài):022212222EmampEmpEaxpaxxxxhhhB) 基態(tài)能量與基態(tài)能量與測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系:束縛態(tài)束縛態(tài): 在在 r 時波函數(shù)

39、為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài)時波函數(shù)為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài). n( x ) = 0 （ x 0 x a) xanAx nsin)(束縛態(tài)束縛態(tài)擴(kuò)展態(tài)擴(kuò)展態(tài): 如對自由粒子的波函數(shù)如對自由粒子的波函數(shù))(0),(xpEtixetrh有有: :常數(shù)202),(tr因此一般有因此一般有: :0),(2xtr所以自由粒子的狀態(tài)所以自由粒子的狀態(tài)為為擴(kuò)展態(tài)擴(kuò)展態(tài).D) 宇稱宇稱:可以證明對勢阱可以證明對勢阱的勢能函數(shù)為的勢能函數(shù)為: :axxU 或或-a )(勢阱寬度勢阱寬度2a的一維無限深勢阱中粒子其定態(tài)波函數(shù)為的一維無限深勢阱中粒子其定態(tài)波函數(shù)為: :)(2sin1)(axanaxn該波函數(shù)具有下列性質(zhì)該波函

40、數(shù)具有下列性質(zhì): :當(dāng)當(dāng)n n 為偶數(shù)時為偶數(shù)時: :當(dāng)當(dāng)n n 為奇數(shù)時為奇數(shù)時: : xxnn xxnn這來源于勢函數(shù)這來源于勢函數(shù)U(x)U(x)對對x=0 x=0處的對稱性處的對稱性U(x)=U(-x)U(x)=U(-x)宇稱算符宇稱算符: : xxPP P稱為宇稱算符稱為宇稱算符. . 以以P P表示把表示把X X變?yōu)樨?fù)變?yōu)樨?fù)X X的運(yùn)算的運(yùn)算, ,則有則有: : P P的本征值的本征值: : 由由 )(2xxPxP知知 P P2 2的本征值為的本征值為1, 1, 因此因此 P P的本征值為的本征值為+1+1或或-1, -1, 即有即有: : xxP11 xxP22偶宇稱偶宇稱 奇宇

41、稱奇宇稱 四、量子力學(xué)處理問題的基本步驟：四、量子力學(xué)處理問題的基本步驟：1)寫出寫出哈密頓量哈密頓量及及哈密頓算符哈密頓算符.4)由由初始條件初始條件和和邊界條件邊界條件,并依據(jù)波函數(shù)的并依據(jù)波函數(shù)的 標(biāo)準(zhǔn)化條件標(biāo)準(zhǔn)化條件的要求的要求,求出求出能量本征值能量本征值.3)解出解出通解通解,其中包含待定常數(shù)其中包含待定常數(shù): 能量本征值能量本征值及一些及一些待定常數(shù)待定常數(shù).5)求出與本征值相應(yīng)的求出與本征值相應(yīng)的本征波函數(shù)本征波函數(shù).6)進(jìn)行進(jìn)行必要必要的討論的討論.2)建立薛定格方程建立薛定格方程.4 4、一維諧振子一維諧振子1)1)勢函數(shù)勢函數(shù): :2222121)(xmkxxU m振子質(zhì)

42、量，振子質(zhì)量， 固有頻率，固有頻率，x離開平衡位置的離開平衡位置的位移位移2)2)哈密頓量哈密頓量: :22222212xmdxdmH h一一、哈密頓量及哈密頓算符哈密頓量及哈密頓算符:222212xmmpUTHx3)3)哈密頓算符哈密頓算符: : 由由xxdxdpx,2222 h得得: :為定態(tài)問題。為定態(tài)問題。二二. .定態(tài)薛定格方程定態(tài)薛定格方程: :)()()212(22222xExxmdxdmh1)1)定態(tài)薛定格方程定態(tài)薛定格方程: : 由由)()(xExH得得: :2)2)明確邊界條件明確邊界條件: : 因為因為 xxUx)(時嚴(yán)格的一維嚴(yán)格的一維諧振子諧振子是個一維是個一維無限深

43、勢阱無限深勢阱 -只存在只存在束縛態(tài)束縛態(tài). .所以有所以有: :0)(xxx時這就一維諧振子的這就一維諧振子的波函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件波函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件. . (1)三三. . 解出定態(tài)薛定格方程的通解解出定態(tài)薛定格方程的通解: :1)1)方程的化簡方程的化簡: :hhEmx2,其中設(shè)dddxddddxd22222)(dddddxddxd222,xx代入方程代入方程(1)可得可得: :)()()212(2222222xExmddmhh21Ehm2)(21)()212(22222xxmmddmmhhhh0)(222dd2)2)求出漸近解求出漸近解: : 注意到注意到22時方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?

44、:0222dd該方程在該方程在 時有時有: :22e形式的解形式的解. .且滿足邊界條件的漸近解為且滿足邊界條件的漸近解為: :22 e(2)2222eedd22222222222)(eeeddedd22222222222) 1(eeedd因為因為22e 不滿足邊界條件的要求不滿足邊界條件的要求, 所以舍去所以舍去. 因此得方程在因此得方程在 時的近似解為時的近似解為:22 e3)厄米方程厄米方程: :)(2)()(222222222222uddedduddeeddudd設(shè)方程設(shè)方程(2)的通解為的通解為: :)(22ue則有則有:)(2)()()1(222222222uddeuddeeu代回

45、方程代回方程(2)中可得中可得: :(3)0)()()(2)()() 1(22222222222222ueueuddeuddeeu0)()()(2)()() 1(2222uuudduddu0) 1(222uddudud 方程方程 (3) 在數(shù)學(xué)上被稱為厄米方程在數(shù)學(xué)上被稱為厄米方程, , 顯然，只要由該方顯然，只要由該方程求出函數(shù)程求出函數(shù) u 就可得到方程就可得到方程 (1) 的解的解. .4) 厄米方程的級數(shù)解法厄米方程的級數(shù)解法: :設(shè)設(shè): :0)()(saHu則有則有:01)()(saHddus 0222) 1)()(ssaHduds代回方程代回方程 (3) 中可得中可得: :0) 1

46、()(2) 1)(00221220111211sssasassa0) 1()(2) 1)() 1() 1(0021112111120sssssasassassassa在第一個求和號中取在第一個求和號中取 - 則有則有 + ，且有求和范圍由，且有求和范圍由:021轉(zhuǎn)變?yōu)?)1()(2) 1)(2() 1() 1(021120sssasssassassa(4)欲使該式對任何欲使該式對任何 都等于零都等于零, 就要求就要求 各次冪的系數(shù)均為零各次冪的系數(shù)均為零:0) 1(0ssa0) 1(1 ssa0)1()(2) 1)(2(2asass這樣，前面的方程就可寫為：這樣，前面的方程就可寫為：則有則有:

47、c) 系數(shù)間的遞推關(guān)系系數(shù)間的遞推關(guān)系:b) 當(dāng)當(dāng) 時有時有: s=0 或或 s= -101aa) 當(dāng)當(dāng) 時有時有: s=0 或或 s=100aasssa) 1)(2(1)(22 因此因此, 只需確定系數(shù)只需確定系數(shù) a0 和和 a1 , 則其它的系數(shù)都可通過該則其它的系數(shù)都可通過該遞推關(guān)系完全確定遞推關(guān)系完全確定.5) 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件, , 確定能量本征值確定能量本征值: : 一般情況下一般情況下 u( ) = H 是一個無窮級數(shù)是一個無窮級數(shù). 當(dāng)當(dāng) 時時其漸近行為具有如下形式其漸近行為具有如下形式:2)(euA) 對對(4)中的結(jié)果進(jìn)行分析中的結(jié)果進(jìn)行分析:

48、 2lim2lim)1)(2(1)(2limlim22sssaabnexnennnnnnx)2(02020)!2(1!1!12lim22lim121lim)!2(1)!12(1limlim2bb2222222)()(eeeuex不滿足不滿足邊界條件邊界條件的要求的要求, 也不滿足也不滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件標(biāo)準(zhǔn)化條件中關(guān)于中關(guān)于有限性有限性的要求的要求.0)(xxx時B) 解決辦法解決辦法: 為保證為保證 (x) 的的有限性且有限性且滿足滿足邊界條件，邊界條件，就要求級數(shù)就要求級數(shù)0)()(saHu從某一項開始其系數(shù)等于零從某一項開始其系數(shù)等于零, 這樣無窮級數(shù)就變成一個有這樣無窮級數(shù)就變成一個有限項的

49、多項式限項的多項式, 若有若有:asssa) 1)(2(1)(2202a01)(2s1)(2s1)(2shE2C) 確定能量本征值確定能量本征值: 注意到注意到 ;,0420 aaa可求時 ,0531aaa可求時同時不為零但不能10, aa(若如此則不能滿足若如此則不能滿足有有限性限性的要求的要求.) 設(shè)設(shè):0,010aa這時有這時有s=0或或s=1兩種情況兩種情況:這時必有這時必有 =偶數(shù)偶數(shù)s=0時時, 定義定義: n= +s= 為偶數(shù)為偶數(shù).s=1時時, 定義定義: n= +s= +1為奇數(shù)為奇數(shù).綜上有綜上有: n= +s=正整數(shù)正整數(shù). n=0,1,2,3,.注意到注意到: , 3,

50、2, 1 ,0)21(21nnEnhh該式給出了薛定格方程該式給出了薛定格方程 (1) 的能本征值的能本征值. 可以說明可以說明, 若設(shè)若設(shè)0,010aa時時s=0 , s=-1, 并不給出新的結(jié)果并不給出新的結(jié)果.6) 求解本征波函數(shù)求解本征波函數(shù): :注意到注意到 x 則有則有:其中其中 Hn =Hn x 稱厄米多項式稱厄米多項式. 其具體的形式為其具體的形式為: Hn 的最高次冪的項為的最高次冪的項為 2n n可以證明有可以證明有:)()()(2222nnnHeue)()(222xHexnxnn=0, E0=(1/2)h h , H0 n=1, E1=(3/2)h h , H1 2 n=

51、2, E2=(5/2)h h , H2 4 2-2- - -n = n, En=(n+1/2)h h , 22) 1()(eeHnnnn 波函數(shù)的歸一化波函數(shù)的歸一化: 1)()(*2dxxxNnnn為此計算積分為此計算積分: )()()(*xdxxxnndeddeHednnnnnn222*) 1)(1)()(1deddHnnnn2)() 1(分部積分一次可得分部積分一次可得: deddHeddHnnnnnnnn211211)() 1()() 1(原式由厄米多項式由厄米多項式表達(dá)式可得表達(dá)式可得: )()(1) 1()()() 1()() 1(12211211nnnnnnnnnnHHeeHHe

52、ddH211211) 1()(eHennnn而而HnHn-1為關(guān)于為關(guān)于 的多項式的多項式, 其最高次冪為其最高次冪為: 2n n2n-1 n-1=22n-1 2n-1 它與它與 相乘相乘, 當(dāng)當(dāng) 時必為零時必為零. 因此有因此有:2ededdHnnnn2111)() 1(原式把這種分部積分反復(fù)進(jìn)行把這種分部積分反復(fù)進(jìn)行n次可得次可得: deHddnnnn22)() 1(原式但有但有: !2)2()(nddHddnnnnnnnnde2和和 !21)()(*ndxxxnnn21!2nNnn)(!2)(22122xHenxnxnn歸一化后的波函數(shù)為歸一化后的波函數(shù)為: 7)7)討論討論: :正交性

53、正交性: 一維諧振子的波函數(shù)一維諧振子的波函數(shù) n(x)滿足滿足:(6)證明證明: 對對 m = n 的情況在歸一化時已討論過的情況在歸一化時已討論過, 對對 m , n 不相等的情況不相等的情況 , 不妨設(shè)不妨設(shè) m x而按量子力學(xué)而按量子力學(xué), 在在 處找到粒子的幾率為處找到粒子的幾率為:1x16. 02)(2221120dxedxxxC) 量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果間的聯(lián)系量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果間的聯(lián)系:可以證明可以證明: 當(dāng)當(dāng) n1 時時, 量子力學(xué)的結(jié)果在平均值上量子力學(xué)的結(jié)果在平均值上 與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果相符合與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果相符合. 差別只在于差別只在于 | n(x)|2 是迅速振蕩著的是迅速

54、振蕩著的.21111nx線性諧振子線性諧振子 n =11 時的幾率密度分布時的幾率密度分布 4 4、勢壘貫穿與掃描勢壘貫穿與掃描遂穿顯微鏡遂穿顯微鏡一一、EUEU0 0時時勢壘的反射與貫穿勢壘的反射與貫穿: :1) 勢函數(shù)勢函數(shù): :)(xU)0(0axx 0且且E U0的情況的情況, 其解可寫為其解可寫為:I區(qū)區(qū):II區(qū)區(qū):III區(qū)區(qū):xikxikIeAAex11)(xikxikIIeBBex22)(xikxikIIIeCCex11)(5) 物理意義物理意義: : 這里這里 eikx 和和 e-ikx 分別表示沿分別表示沿X軸正方向和沿負(fù)方向傳軸正方向和沿負(fù)方向傳播的波矢為播的波矢為k的平面

55、波的平面波. 所以所以:A為入射波振幅為入射波振幅, A為反射波振幅為反射波振幅. C為透射波振幅為透射波振幅, C必須為零必須為零. 6) 解的情況解的情況: :把上述通解代入邊界條件可得四個方程把上述通解代入邊界條件可得四個方程. BBAA2211kBBkAkAkaikaikaikCeeBBe122aikaikaikeCkekBeBk112222從這四個方程中可解出從這四個方程中可解出B, B, C及及A 它們?yōu)樗鼈優(yōu)锳, k1,k2,a的函數(shù)的函數(shù). 其中有其中有: AekkekkekkCaikaikaik22212221121)()(4AekkekkakkkiAaikaik222122

56、2122221)()(sin)(2二二. . 幾率流密度幾率流密度: :rdtrwrdtrdW),(),(2),(),(2trwtr-幾率密度幾率密度本段討論本段討論 w ( r , t ) 隨時間變化的情況：隨時間變化的情況：（1）一維時的情況：）一維時的情況：),(),(),(),(*2txtxtxtxw),(),(),(),(*txttxttxtxtw由薛定由薛定諤方程：諤方程：),(),(2),(222txtxUxmtxtihh),(),(1),(2),(22txtxUixtxmitxthh1. 1. 幾率流密度幾率流密度: :把該式取復(fù)數(shù)共軛可得：把該式取復(fù)數(shù)共軛可得：),(),(1

57、),(2),(*2*2*txtxUixtxmitxthh把這兩式代入前式可得：把這兩式代入前式可得：),(),(),(),(2),(2*222*txxtxxtxtxmittxwh),(),(),(),(2*txxtxxtxtxxmih定義：定義：),(),(),(),(2),(*txxtxxtxtxmitxjxh- 幾率流密度幾率流密度上式可寫為：上式可寫為：0),(),(txjxttxwx（2）三維時的情況：）三維時的情況：),(),(),(),(*trttrttrtrtw),(),(2),(22trtrUmtrtihh ),(),(1),(2),(2trtrUitrmitrthh把該式取復(fù)

58、數(shù)共軛可得：把該式取復(fù)數(shù)共軛可得：),(),(1),(2),(*2*trtrUitrmitrthh(1)(2):),()2()1 (),(*可得trtr),(),(),(),(2),(*22*trtrtrtrmittrwh),(),(),(),(2*trtrtrtrmih這里使用了有關(guān)的矢量運(yùn)算公式：這里使用了有關(guān)的矢量運(yùn)算公式：定義：定義：),(),(*),(),(*2),(trtrtrtrmitrjh- 幾率流密度幾率流密度bababababa2)(bababa)(2上式可寫為：上式可寫為：0),(),(trjttrw- 連續(xù)性方程連續(xù)性方程（3）連續(xù)性方程的物理意義：）連續(xù)性方程的物理意

59、義：VVVrdtrjrdtrwdtdrdttrw),(),(),(由數(shù)學(xué)中的散度定理：由數(shù)學(xué)中的散度定理：SVsdtrjrdtrwdtd),(),(SVsdtrjrdtrj),(),(可得：可得：討論該式的物理意義。討論該式的物理意義。質(zhì)量守恒方程質(zhì)量守恒方程：電荷守恒方程電荷守恒方程),(),(trmwtr-質(zhì)量密度質(zhì)量密度*2),(hitrjmjm-質(zhì)量流密度質(zhì)量流密度SmVsdtrjrdtrdtd),(),(-質(zhì)量守恒方程。質(zhì)量守恒方程。),(),(trqwtre-電荷密度電荷密度*2),(mqitrjqjeh-電流密度電流密度SeVesdtrjrdtrdtd),(),(-電荷守恒方程。

60、電荷守恒方程。討論討論：這里的幾率守恒有定域的性質(zhì)：當(dāng)微觀粒子在空間：這里的幾率守恒有定域的性質(zhì)：當(dāng)微觀粒子在空間某處出現(xiàn)的幾率小了，必然在另一些地方出現(xiàn)的幾率增加了某處出現(xiàn)的幾率小了，必然在另一些地方出現(xiàn)的幾率增加了以使總的幾率保持不變。如討論：以使總的幾率保持不變。如討論：處全空間sdtrjrdtrwdtd),(),(由定域條件可知必有：由定域條件可知必有：0),(t則可得：則可得：0),(rtrj所以有：所以有：0),(全空間rdtrwdtd結(jié)論：在整個空間找到粒子的幾率與時間無關(guān)。如果波函結(jié)論：在整個空間找到粒子的幾率與時間無關(guān)。如果波函 數(shù)是已經(jīng)歸一化的，那末它將保持歸一化的性質(zhì)數(shù)是