1、2019全國各地中考數學壓軸大題幾何綜合7、 最值綜合題1.（2019紹興）有一塊形狀如圖的五邊形余料ABCDE，ABAE6，BC5，AB90°，C135°，E90°，要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一條邊在AE上，并使所截矩形材料的面積盡可能大（1）若所截矩形材料的一條邊是BC或AE，求矩形材料的面積（2）能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由解：（1）若所截矩形材料的一條邊是BC，如圖1所示：過點C作CFAE于F，S1ABBC6×530；若所截矩形材料的一條邊是AE，如圖2所示：過點E作EF

2、AB交CD于F，FGAB于G，過點C作CHFG于H，則四邊形AEFG為矩形，四邊形BCHG為矩形，C135°，FCH45°，CHF為等腰直角三角形，AEFG6，HGBC5，BGCHFH，BGCHFHFGHG651，AGABBG615，S2AEAG6×530；（2）能；理由如下：在CD上取點F，過點F作FMAB于M，FNAE于N，過點C作CGFM于G，則四邊形ANFM為矩形，四邊形BCGM為矩形，C135°，FCG45°，CGF為等腰直角三角形，MGBC5，BMCG，FGDG，設AMx，則BM6x，FMGM+FGGM+CGBC+BM11x，SAM

3、×FMx（11x）x2+11x（x5.5）2+30.25，當x5.5時，S的最大值為30.25 2.（2019紹興）如圖，矩形ABCD中，ABa，BCb，點M，N分別在邊AB，CD上，點E，F分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點P，記kMN：EF（1）若a：b的值為1，當MNEF時，求k的值（2）若a：b的值為，求k的最大值和最小值（3）若k的值為3，當點N是矩形的頂點，MPE60°，MPEF3PE時，求a：b的值解：（1）如圖1中，作EHBC于H，MQCD于Q，設EF交MN于點O四邊形ABCD是正方形，FHAB，MQBC，ABCB，FHMQ，EFMN，EON90

4、6;，ECN90°，MNQ+CEO180°，FEH+CEO180°FEHMNQ，EHFMQN90°，FHEMQN（ASA），MNEF，kMN：EF1（2）a：b1：2，b2a，由題意：2aMNa，aEFa，當MN的長取最大時，EF取最短，此時k的值最大最大值，當MN的最短時，EF的值取最大，此時k的值最小，最小值為（3）連接FN，MEk3，MPEF3PE，3，2，FPNEPM，PNFPME，2，MENF，設PE2m，則PF4m，MP6m，NP12m，如圖2中，當點N與點D重合時，點M恰好與B重合作FHBD于HMPEFPH60°，PH2m，FH2

5、m，DH10m，如圖3中，當點N與C重合，作EHMN于H則PHm，HEm，HCPH+PC13m，tanHCE，MEFC，MEBFCBCFD，BD，MEBCFD，2，綜上所述，a：b的值為或3.（2019益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB4，BC6若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動（1）當OAD30°時，求點C的坐標；（2）設AD的中點為M，連接OM、MC，當四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；（3）當點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求

6、此時cosOAD的值解：（1）如圖1，過點C作CEy軸于點E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90°，又OAD+ADO90°，CDEOAD30°，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30°，ODAD3，點C的坐標為（2，3+2）；（2）M為AD的中點，DM3，SDCM6，又S四邊形OMCD，SODM，SOAD9，設OAx、ODy，則x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，將xy代入x2+y236得x218，解得x3（負值舍去），OA3；（3）OC的最大值為8，如圖2，M為AD的中點，OM3，CM5，OCOM+CM8

7、，當O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8，連接OC，則此時OC與AD的交點為M，過點O作ONAD，垂足為N，CDMONM90°，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD4.（2019淮安）如圖，在ABC中，ABAC3，BAC100°，D是BC的中點小明對圖進行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉80°，點B的對應點是點E，連接BE，得到BPE小明發現，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD

8、的右側請你幫助小明繼續探究，并解答下列問題：（1）當點E在直線AD上時，如圖所示BEP50°；連接CE，直線CE與直線AB的位置關系是ECAB（2）請在圖中畫出BPE，使點E在直線AD的右側，連接CE試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并說明理由（3）當點P在線段AD上運動時，求AE的最小值解：（1）如圖中，BPE80°，PBPE，PEBPBE50°，結論：ABEC理由：ABAC，BDDC，ADBC，BDE90°，EBD90°50°40°，AE垂直平分線段BC，EBEC，ECBEBC40°，ABAC，BAC100&

9、#176;，ABCACB40°，ABCECB，ABEC故答案為50，ABEC（2）如圖中，以P為圓心，PB為半徑作PAD垂直平分線段BC，PBPC，BCEBPE40°，ABC40°，ABEC（3）如圖中，作AHCE于H，點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，當點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值AB35.（2019巴中）如圖，在菱形ABCD中，連結BD、AC交于點O，過點O作OHBC于點H，以點O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M求證：DC是O的切線若AC4MC且AC8，求圖中陰影部分的面積在的條件下，P是線段BD上的一動點，當PD為何值

10、時，PH+PM的值最小，并求出最小值解：過點O作OGCD，垂足為G，在菱形ABCD中，AC是對角線，則AC平分BCD，OHBC，OGCD，OHOG，OH、OG都為圓的半徑，即DC是O的切線；AC4MC且AC8，OC2MC4，MCOM2，OH2，在直角三角形OHC中，HOCO，OCH30°，COH60°，HC，S陰影SOCHS扇形OHMCHOHOH22；作M關于BD的對稱點N，連接HN交BD于點P，PMNP，PH+PMPH+PNHN，此時PH+PM最小，ONOMOH，MOH60°，MNH30°，MNHHCM，HN=HC=2，即：PH+PM的最小值為2，PD

11、=OP+OD=26.（2019河北）如圖，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為APC的內心（1）求證：BADCAE；（2）設APx，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當ABAC時，AIC的取值范圍為m°AICn°，分別直接寫出m，n的值解：（1）在ABC和ADE中，（如圖1） ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x當ADBC時，APAB3最小，即PD633為PD的最大值（3）如圖2，設BAP，則APC

12、+30°，ABACBAC90°，PCA60°，PAC90°，I為APC的內心AI、CI分別平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180°（IAC+ICA）180°（PAC+PCA）180°（90°+60°）+105°090°，105°+105°150°，即105°AIC150°，m105，n1507.（2019廣州）如圖，等邊ABC中，AB6，點D在BC上，BD4，點E為邊AC上一動點（不與點C重合），CDE關于DE的軸對

13、稱圖形為FDE（1）當點F在AC上時，求證：DFAB；（2）設ACD的面積為S1，ABF的面積為S2，記SS1S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，請說明理由；（3）當B，F，E三點共線時求AE的長解：（1）ABC是等邊三角形ABC60°由折疊可知：DFDC，且點F在AC上DFCC60°DFCADFAB；（2）存在，過點D作DMAB交AB于點M，ABBC6，BD4，CD2DF2，點F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，當點F在DM上時，SABF最小，BD4，DMAB，ABC60°MD2SABF的最小值6×（22）66S最大值2×

14、3（66）36（3）如圖，過點D作DGEF于點G，過點E作EHCD于點H，CDE關于DE的軸對稱圖形為FDEDFDC2，EFDC60°GDEF，EFD60°FG1，DGFGBD2BG2+DG2，163+（BF+1）2，BF1BGEHBC，C60°CH，EHHCECGBDEBH，BGDBHE90°BGDBHEEC1AEACEC78.（2019南通）如圖，矩形ABCD中，AB2，AD4E，F分別在AD，BC上，點A與點C關于EF所在的直線對稱，P是邊DC上的一動點（1）連接AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形；（2）當PEF的周長最小時，求的值；（3）連接B

15、P交EF于點M，當EMP45°時，求CP的長證明：（1）如圖：連接AF，CE，AC交EF于點O四邊形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，ADBCAEOCFO，EAOFCO，點A與點C關于EF所在的直線對稱AOCO，ACEFAEOCFO，EAOFCO，AOCOAEOCFO（AAS）AECF，且AECF四邊形AFCE是平行四邊形，且ACEF四邊形AFCE是菱形；（2）如圖，作點F關于CD的對稱點H，連接EH，交CD于點P，此時EFP的周長最小，四邊形AFCE是菱形AFCFCEAE，AF2BF2+AB2，AF2（4AF）2+4，AFAECFDE點F，點H關于CD對稱CFCHADBC（3）如

16、圖，延長EF，延長AB交于點N，過點E作EHBC于H，交BP于點G，過點B作BOFN于點O，由（2）可知，AECF，BFDEEHBC，AABC90°四邊形ABHE是矩形ABEH2，BHAEFH1EF，ADBCBFNAENBN3，NFAN5，NENN，BONA90°NBONEABO，NOEMPBMO45°，BOENOBMBMO45°BOMOMEENNOMOABEHBNMGEMEGGHEHEGEHCDBGHBPCCP9.（2019貴港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90°，將ABC繞點C順時針方向旋轉得到ABC，記旋轉角為，當90°

17、180°時，作ADAC，垂足為D，AD與BC交于點E（1）如圖1，當CAD15°時，作AEC的平分線EF交BC于點F寫出旋轉角的度數；求證：EA+ECEF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設P是直線AD上的一個動點，連接PA，PF，若AB，求線段PA+PF的最小值（結果保留根號）（1）解：旋轉角為105°理由：如圖1中，ADAC，ADC90°，CAD15°，ACD75°，ACA105°，旋轉角為105°證明：連接AF，設EF交CA于點O在EF時截取EMEC，連接CMCEDACE+CAE45°+15°60°，CEA120°，FE平分CEA，CEFFEA60°，FCO180°45°75°60°，FCOAEO，FOCAOE，FOCAOE，COEFOA，COEFOA，FAOOEC60°，ACF是等邊三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60°，CEM是等邊三角形，ECM60°，CMCE，FCAMCE60°，FCMACE，FCMACE（ASA），FMAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如圖2中，連接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延長線于M由可知，EAFEAB75