1、橢圓題型歸納一、知識總結1.橢圓的定義：把平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做焦點，兩焦點的距離叫做焦距(設為2c) . 2.橢圓的標準方程：（0） （0） 焦點在坐標軸上的橢圓標準方程有兩種情形，可設方程為不必考慮焦點位置，求出方程。3.范圍. 橢圓位于直線x±a和y±b圍成的矩形里|x|a，|y|b4.橢圓的對稱性橢圓是關于y軸、x軸、原點都是對稱的坐標軸是橢圓的對稱軸原點是橢圓的對稱中心橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心5.頂點橢圓有四個頂點：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b)線段A1A2、B1B2

2、分別叫做橢圓的長軸和短軸.。長軸的長等于2a. 短軸的長等于2b. |B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a在RtOB2F2中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b26.離心率7.橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8.橢圓（ab0）的焦半徑公式,( ,).9.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。考點一 定義及其應用例1.已知一個動圓與圓相內切，且過點，求這個動圓圓心的軌跡方程； 例2.如果方程表示橢圓，則的取值范圍是 例3.過橢圓的一個焦點的直線與橢圓相交于兩點，則兩點與橢圓的另一個焦點構成的的

3、周長等于 ；例4.設圓的圓心為，是圓內一定點，為圓周上任意一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為 ；考點二 橢圓的方程 例1.已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點，求橢圓的方程；例2.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點、，求橢圓的方程；例3.求經過點且與橢圓有共同焦點的橢圓方程；注：與橢圓共焦點的橢圓可設其方程為；例1.在中，所對的三邊分別為，且，求滿足且成等差數列時頂點的軌跡；例2.已知軸上一定點，為橢圓上任一點，求的中點的軌跡方程； 例3.設動直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點，點是直線上滿足的點，求點的軌跡方程； 例4.中心在原點，一焦點為的

4、橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求此橢圓的方程； 考點三 焦點三角形問題例1. 已知橢圓上一點的縱坐標為，橢圓的上下兩個焦點分別為、，求、及；考點四 橢圓的幾何性質例1.已知是橢圓上的點，的縱坐標為，、分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為 例2.橢圓的四個頂點為，若四邊形的內切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率為 ；例3.若橢圓的離心率為，則 ；例4.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為 考點五求范圍例1.方程表示準線平行于軸的橢圓，求實數的取值范圍；考點六.橢圓的第二定義的應用例1. 方程所表示的曲線是 例2.求經過點，以軸為準線，離心率為的橢圓的左頂

5、點的軌跡方程；例3.橢圓上有一點，它到左準線的距離等于，那么到右焦點的距離為 例4已知橢圓，能否在此橢圓位于軸左側的部分上找到一點，使它到左準線的距離為它到兩焦點距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標，若不能找到，請說明理由。例5已知橢圓內有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點求的最小值及對應的點的坐標考點七 求離心率例1. 橢圓的左焦點為，是兩個頂點，如果到直線的距離為，則橢圓的離心率 例2.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為 例3. 、為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為 ；考點八橢圓參數方程的應用例1.橢圓上的點到直線的距離最大時，點

6、的坐標 例2.方程()表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；考點九直線與橢圓的關系（1）直線與橢圓的位置關系例1. 當為何值時，直線與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線（）與連結，的線段沒有公共點，求的取值范圍。例3.過點作直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。 例4.求直線和橢圓有公共點時，的取值范圍。 （二）弦長問題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點，若過點，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點的坐標。例2.橢圓與直線相交于兩點，是的中點，若，為坐標原點，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點分別是和，過中心作直線與橢圓交于兩點，若的面積是20，求直線方程。

7、（三）弦所在直線方程例1.已知橢圓，過點能否作直線與橢圓相交所成弦的中點恰好是；例2. 橢圓中心在原點，焦點在軸上，其離心率,過點的直線與橢圓相交于兩點，且C分有向線段的比為2.（1）用直線的斜率表示的面積；（2）當的面積最大時，求橢圓E的方程例4.已知是橢圓上的三點，為橢圓的左焦點，且成等差數列，則的垂直平分線是否過定點？請證明你的結論。（四）關于直線對稱問題例1.已知橢圓，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點關于直線對稱； 例2.已知中心在原點，焦點在軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請

8、說明理由。考點十.最值問題F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可轉化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義, 為橢圓的左焦點。例2,為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。例3求定點到橢圓上的點之間的最短距離。3.三角函數法例4求橢圓上的點到直線的距離的最值；4.判別式法把直線平移使其與橢圓相切，有兩種狀態，一種可求最小值，另一種求最大值。例5.已知定點，點為橢圓的右焦點，點在該橢圓上移動時，求的最小值，并求此時點的坐標；（第二定義的應用）例6已知、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓內一點的坐標為，為橢圓上的一個動點，試分別求：（1）的最小值； （2）的取值范圍考點十一. 軌跡問題例1到兩定點，的距離之和為定值5的點的軌跡是 ( ) A橢圓 雙曲線 直