1、橢圓及其性質1.方程表示橢圓>0，>0，且；是，中之較大者，焦點的位置也取決于，的大小。舉例 橢圓的離心率為，則= 解析：方程中4和哪個大哪個就是，因此要討論；（）若0<<4,則，=，得=3；（）>4,則，=，得=；綜上：=3或=。鞏固若方程：x2+ay2=a2 表示長軸長是短軸長的2倍的橢圓，則a的允許值的個數是A1個B .2個C.4個D.無數個2橢圓關于x軸、y軸、原點對稱；P(x,y)是橢圓上一點，則|x|a,|y|b，a-c|PF|a+c，（其中F是橢圓的一個焦點），橢圓的焦點到短軸端點的距離為a，橢圓的焦準距為，橢圓的通經(過焦點且垂直于長軸的弦)長為2

2、，通經是過焦點最短的弦。舉例1 已知橢圓（>0,>0）的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，若BFBA,則稱其為“優美橢圓”，那么“優美橢圓”的離心率為 。解析：|AB|2=2+2，|BF|=，|FA|=+，在RtABF中，(+)2=2+2+2化簡得： 2+-2=0，等式兩邊同除以2得：，解得：=。注：關于,，的齊次方程是“孕育”離心率的溫床。舉例2 已知橢圓（>0,>0）的離心率為，若將這個橢圓繞著它的右焦點按逆時針方向旋轉后，所得的新的橢圓的一條準線的方程為=，則原來橢圓的方程是 。解析：原來橢圓的右焦點為新橢圓的上焦點，在x軸上，直線=為新橢圓的上準線，故新橢圓的

3、焦準距為，原來橢圓的焦準距也為，于是有：= ，= ，由解得：=5，=3。鞏固1一橢圓的四個頂點為A1，A2，B1，B2，以橢圓的中心為圓心的圓過橢圓的焦點，的橢圓的離心率為 。鞏固2 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A) (B) (C) (D)遷移橢圓上有n個不同的點P1，P2，P3，Pn，橢圓的右焦點F，數列| PnF|是公差大于的等差數列，則n的最大值為 （ ）A198 B199 C200 D2013.圓錐曲線的定義是求軌跡方程的重要載體之一。舉例1已知Q：(x-1)2+y2=16,動M過定點P(-1,0)且與Q相切，則M點的軌跡方程

4、是： 。解析：P(-1,0)在Q內，故M與Q內切，記：M(x,y)，M的半徑是為r，則：|MQ|=4-r，又M過點P，|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可見M點的軌跡是以P、Q為焦點（c=1）的橢圓，a=2。舉例2 若動點P（x,y）滿足|x+2y-3|=5，則P點的軌跡是：A圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線解析：等式兩邊平方，化簡方程是最容易想到的，但不可行，一方面運算量很大，另一方面是平方、展開后方程中會出現xy項，這就給我們判斷曲線類型帶來了麻煩。但是，仔細觀察方程后，就會發現等式左邊很“象”是點到直線的距離，而等式右邊則是兩點間的距離的5倍；為

5、了讓等式左邊變成點到直線的距離，可以兩邊同除以，于是有：=，這就已經很容易聯想到圓錐曲線的第二定義了，只需將方程再變形為：，即動點P（x,y）到定點A（1，2）與到定直線x+2y-3=0的距離之比為，其軌跡為橢圓。鞏固1 已知圓為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，則點M的軌跡方程為 .鞏固2設x、yR，在直角坐標平面內，=(x,y+2),=(x,y-2),且|+|=8，則點M(x,y)的軌跡方程為 。提高已知A（0，7），B（O，-7），C（12，2），以C為一個焦點作過A、B的橢圓，則橢圓的另一焦點的軌跡方程為 。遷移 P為直線x-y+2=0上任一點，一橢圓的兩焦點為F1（-1，0）、F

6、2（1，0），則橢圓過P點且長軸最短時的方程為 。4研究橢圓上的點到其焦點的距離問題時，往往用定義；會推導并記住橢圓的焦半徑公式。舉例1 如圖把橢圓的長軸AB分成8分，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于,七個點，F是橢圓的一個焦點，則_解析：P1與P7，P2與P6，P3與P5關于y軸對稱，P4在y軸上，記橢圓的另一個焦點為F/，則|P7F|=|P1F/|， |P6F|=|P2F/|，|P5F|=|P3F/|，K于是|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35. 舉例2 已知A、B是橢圓上的兩點，F2是橢圓的右焦點，如果 AB的中點到橢

7、圓左準線距離為，則橢圓的方程 .解析： =，記AB的中點為M ，A、B、M在橢圓左準線上的射影分別為A1、B1，M1，由橢圓第二定義知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=，而e=|AA1|+|BB1|=3a2|MM1|=3a，又|MM1|=，得a=1，故橢圓方程為。鞏固1 橢圓的兩焦點為F1，F2，以F1F2為一邊的正三角形的另兩條邊均被橢圓平分，則橢圓的離心率為 。鞏固2已知F1、F2是橢圓的左右焦點，點是此橢圓上的一個動點，為一個定點，則的最大值為 ，的最小值為 。提高 過橢圓左焦點F且斜率為的直線交橢圓于A、B兩點，若|FA|=2|

8、FB|，則橢圓的離心率e=_5研究橢圓上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時，常用橢圓定義及正、余弦定理。舉例已知焦點在軸上的橢圓F1,F2是它的兩個焦點，若橢圓上存在點P，使得，則的取值范圍是 。解析：思路一：先證一個結論：若B為橢圓短軸端點，則F1PF2F1BF2。記F1PF2=,|PF1|=r1, |PF2|=r2,cos=又()2=,cos=cosF1BF2,當且僅當r1=r2時等號成立，即F1PF2F1BF2。題中橢圓上存在點P，使得F1PF2=900，當且僅當F1BF2900，即cosF1BOba=,b(0, .思路二：用勾股定理：r1+r2=2a r12+r22=4c2

9、,由得：2r1r2=4b2,又2r1r2r12+r22 b2c2=4-b2 即b(0, .思路三：用向量的坐標運算：記P(x0,y0),=(-c-x0,-y0), =(c-x0,-y0),=c2-x02+y02=0(b2+4)x02=4(c2-b2),注意到：0x024，04(c2-b2)4(b2+4)即04-2b2b2+4，得b(0, .鞏固1橢圓的焦點為、，點P為其上的動點，當為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是_。 鞏固2已知P是橢圓上一點，F1和F2是焦點，若F1PF2=30°，則PF1F2的面積為（ ）ABCD46橢圓的參數方程的重要用途是設橢圓上一點的坐標時，可以減少一個變量，或者說坐標本身就已經體現出點在橢圓上的特點了，而無需再借助圓的方程來體現橫縱坐標之間的關系；如求橢圓上的點到一條直線的距離的最值。舉例若動點（）在曲線上變化，則的最大值為（ ）ABCD2解析：本題可以直接借助于橢圓方程把x2用y表示，從而得到一個關于y 的二次函數，再配方求最值；這里用橢圓的參數方程求解：記x=2cos,y=bsin, =4cos2+2bsin=f(),f()=-4sin2+2bsin+4=-4(sin-)2+, sin-1,1若0<10<b4，則當sin