1、積分因子的研究 數學科學學院 數學與應用數學專業 2009級漢班 摘 要 從恰當方程一般的結構對微分方程的積分因子進行深入研究，找出幾類微分方程的積分因子，使其在求解答積分因子及通解時能很快的得出結論。關鍵詞 微分方程；積分因子；通解每一個微分方程轉化為恰當方程之后，可以運用恰當方程的公式進行求解，因此轉化成恰當方程是求解微分方程的重要步驟，轉化成恰當方程需要求解出積分因子，因此積分因子的求解變得非常重要。課本中只介紹了僅關于或僅關于的積分因子，這還遠遠不夠。此論文主要研究幾類微分方程積分因子的求法，從而使微分方程的求解變得較簡便。1預備知識1.1、定義1 若方程 (1)的左端恰好是某個二元函

2、數的全微分，則稱(1)式為恰當微分方程.1.2、定義2 如果存在連續可微的函數=，使得 + =0 為一恰當微分方程，即存在函數 ，使，則稱為方程(1)的積分因子.1.3 、定義3 函數為(1)的積分因子的充要條件是=，即是2推導的結論2.1 結論1：方程（1）具有積分因子=的充要條件為 =積分因子為=證明：設=為方程的積分因子，則（2）由(1)得 = =為方程具有形如積分因子的必要條件. 若 取=則有 即,兩邊乘以且由（2），得 即=為原方程的積分因子.同理得=所以命題得證。結論2：方程（1）具有積分因子=的充要條件為 =積分因子為=證明：設=為方程的積分因子，則,（3）由(1)得 = =為方

3、程具有形如積分因子的必要條件. 若 取=則有 即,兩邊乘以且由（3），得 即=為原方程的積分因子.從而得證.結論3：方程（1）具有積分因子=的充要條件為 =積分因子為=證明：設=為方程的積分因子,，則, （4）由(1)得 = =為方程具有形如積分因子的必要條件. 若 取=則有 即,兩邊乘以且由（2），得 即=為原方程的積分因子.同理得=所以命題得證.結論4：方程（1）具有積分因子=的充要條件為 =積分因子為=證明：設=為方程的積分因子，則,（5）由(1)得 = =為方程具有形如積分因子的必要條件. 若,取=則有 即,兩邊乘以且由（5），得 即=為原方程的積分因子.從而得證.結論5：方程（1）具

4、有積分因子=的充要條件為 =積分因子為=證明：設=為方程的積分因子，則, （6）由(1)得 = = =為方程具有形如積分因子的必要條件. 若=取=則有+=+兩邊乘以且由（6），得 即=為原方程的積分因子.從而得證.結論6： 假設（1）式中和滿足關系=，其中分別為和的連續函數，則方程（1）的積分因子為:）證明：由和存在關系得兩邊同乘以，得）=）從而=根據定義3知）為方程（1）的積分因子. 結論7：變量分離方程有積分因子.證明：用乘以變量分離方程兩端，得 這個方程是恰當方程，因此變量分離方程的積分因子為結論8：設函數+連續可微且，則方程 有積分因子證明：令，則原方程可化為 兩邊乘以，得這是一個恰當微分方程，因此原方程有積分因子得證.參考文獻王高雄, 朱思銘，周之銘，王壽松，李艷會.常微分方程（第三版）M.北京：高等教育出版社，2