1、實驗四 三次樣條插值的應用一、問題描述The upper portion of this noble beast is to be approximated using clamped cubic spline interpolants. The curve is drawn on a grid from which the table is constructed. Use Algorithm 3.5 to construct the three clamped cubic splines. 二、模型建立三次樣條插值給定一個列表顯示的函數yi=y(xi),i=0,1,2,.,N-1。特別注意

2、在xj和xj+1之間的一個特殊的區間。該區間的線性插值公式為：(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情況。因為它是(分段)線性的，(3.3.1)式在每一區間內的二階導數為零，在橫坐標為xj處的二階導數不定義或無限。三次樣條插值的目的就是要得到一個內插公式，不論在區間內亦或其邊界上，其一階導數平滑，二階導數連續。做一個與事實相反的個假設，除yi的列表值之外，我們還有函數二階導數y的列表值，即一系列的yi值，則在每個區間內，可以在(3.3.1)式的右邊加上一個三次多項式，其二階導數從左邊的yj值線性變化到右邊的yj+1值，這么做便得到了所需的連續二階導數。如果還將

3、三次多項式構造在xj和xj+1處為零，則不會破壞在終點xj和xj+1處與列表函數值yj和yj+1的一致性。進行一些輔助計算便可知，僅有一種辦法才能進行這種構造，即用注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式對自變量x的依賴，是完全通過A和B對x的線性依賴，以及C和D(通過A和B)對x的三次依賴而實現?？梢院苋菀椎仳炞C，y事實上是該插值多項式的二階導數。使用ABCD的定義對x求(3.3.3)式的導數，計算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,結果為一階導數因為x=xj是A=1，x=x(i+1)時A=0，而B正相反，則(3.3.6)式表明y恰為列表函數的二階導數。而且該二階導數在兩個區間(

4、xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是連續的。現在唯一的問題是，假設yj是已知的。而實際上并不知道。然而，仍不要求從(3.3.5)式算出的一階導數在兩個區間的邊界處是連續的。三次樣條的關鍵思想就在于要求這種連續性，并用它求得等式的二階導數yi。設(3.3.5)式在區間(xj-1, xj)上對x=xj求得的值，等于同一等式在區間(xj,xj+1)上對x=xj求得的值，便可得到所求方程，是新整理得到(對j=1,.,N-2)這意味著有N-2個線性方程，但卻有N個未知數yi,i=0,.,N-1。因此，存在一個具有兩個參數的可能解集。為求得唯一解，需要給出兩個進一步的條件，一般取x0和xn-1處的

5、邊界條件。最常見的做法有：1設y0和yn-1之一或兩個都為零，得到所謂的自然三次樣條函數，其一個或兩個邊界的二次導數為零。2設yn和yn-1為(3.3.5)式計算得到的值，使得該插值函數的一階導數一個或兩個邊界處有特定的值。三次樣條插值特別實用的原因之一在于，有兩個附加邊界條件的方程組(3.3.7)，它不僅是線性的，而且是三對角的。每個yj僅與其最鄰近的j+-1的值有關。因此，方程可以用三對角算法在O(N)次運算內求解。該算法非常簡明，很容易正確地構造出樣條計算的程序。但是這使得程序不像(3.3.7)式的實現那樣完全透明。三、模型求解借助Matlab軟件進行編程求解，Matlab代碼如下X = 1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 17, 20, 23, 24, 25, 27, 27.7, 28, 29, 30;Y = 3.0, 3.7, 3.9, 4.2, 5.7, 6.6, 7.1, 6.7, 4.5, 7.0, 6.1, 5.6, 5.8, 5.2, 4.1, 4.3, 4.1, 3.0cs = csapi(X,Y); %三次樣條函數fnplt(cs);hold onplot(X,Y,o)legend(cubic spline,data)hold off最終生成的插值函數圖像為四、實驗感悟三次樣條插值優點是計算簡單