1、教案普通高中課程標準選修2-1雙曲線的簡單幾何性質（第一課時） 教材的地位與作用本節內容是在學習了曲線與方程、橢圓及其標準方程和簡單幾何性質、雙曲線及其標準方程的基礎上，進一步通過雙曲線的標準方程推導研究雙曲線的幾何性質。（可以類比橢圓的幾何性質得到雙曲線的幾何性質。）通過本節課的學習，使學生深刻理解雙曲線的幾何性質，體驗數學中的類比、聯想、數形結合、轉化等思想方法。二、教學目標 （一）知識與技能 1、了解雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率。 2、理解雙曲線的漸近線。 （二）過程與方法 通過聯想橢圓幾何性質的推導方法，用類比方法以雙曲線標準方程為工具推導雙曲線的幾何性質，從而培養學生的觀察能力

2、、聯想類比能力。 （三）情感態度與價值觀 讓學生充分體驗探索、發現數學知識的過程，深刻認識“數”與“形”的關系，培養學生勇于攀登科學高峰的精神。三、 教學重點難點 雙曲線的漸近線既是重點也是難點。四、 教學過程(一)課題引入1、前面我們學習了橢圓及其標準方程，并由標準方程推導出橢圓的幾何性質，橢圓的幾何性質有哪些？（教師用課件引導學生復習橢圓的幾何性質，雙曲線及其標準方程。）今天我們以標準方程為工具，研究雙曲線的幾何性質。【板書】：雙曲線的性質2、雙曲線有哪些性質呢？（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線。）3、雙曲線的這些性質具體是什么？如何推導？請同學們對比橢圓的幾何性質的推導方法，推導出雙

3、曲線的幾何性質。（討論）（二）雙曲線的性質1、范圍：把雙曲線方程變形為。因為，因此，即，所以。又因為，故。【板書】：1、范圍：，。2、對稱性：下面我們來討論雙曲線的的對稱性，哪位同學能根據雙曲線的標準方程，判斷它的對稱性？在標準方程中，把換成，或把換成，或把，同時換成，時，方程都不變，所以圖形關于軸、軸和原點都是對稱的。【板書】：2、對稱性：雙曲線的對稱軸是軸、軸，原點是它的對稱中心。3、頂點：提問：（1）雙曲線有幾個頂點？頂點的坐標是什么？在標準方程中，令得；令，則無解。這說明雙曲線有兩個頂點，。（2）如圖，對稱軸上位于兩頂點間的線段叫做雙曲線的實軸，其長度為。盡管此雙曲線與軸無公共點，但軸

4、上的兩個特殊的點。我們稱線段為雙曲線的虛軸，其長度為。【板書】：3、頂點：，稱為實軸，為虛軸，其中。特別地，當時，雙曲線的實軸長與虛軸長相等，稱其為等軸雙曲線。4、離心率【板書】：4、定義雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率。提問：（1）雙曲線的離心率與橢圓的離心率有什么不同？ （2）雙曲線的形狀與離心率有什么關系？ 由等式，可知：【板書】：雙曲線的離心率且越大雙曲線的開口就越開闊。5、漸近線：提問：（1）橢圓與雙曲線還有一個最大的不同是曲線的范圍及其走向。曲線的范圍與走向是我們研究曲線性質的一個重要方面，因為它可以為我們繪制曲線的草圖提供依據，那么請大家想一想雙曲線的走向是什么樣的呢

5、？誰能比較準確地畫出雙曲線？在第一象限內雙曲線可以化為，是增函數。因為，所以，即，這個不等式意味著什么？（它表示直線下方半個平面區域。）（用剛才作矩形的方法畫出兩條直線，然后指出區域。）由于雙曲線和直線都關于坐標軸對稱，所以雙曲線（兩支）在直線之間，這樣，我們進一步縮小了雙曲線所在區域的范圍。提問：（2）直線與雙曲線有什么聯系呢？（用幾何畫板課件演示）：隨著無限增大時，點到直線的距離就無限趨于零。【板書】：5、漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；直線叫做雙曲線的漸近線。練習：求下列雙曲線的漸近線方程（寫成直線的一般式）。（1） 的漸近線方程是： （2）的漸近線方程是： （3）的漸近線方程是： （4

6、）的漸近線方程是：可以發現，雙曲線方程與其漸近線之間似乎存在某種規律。（啟發學生討論，歸納）。把雙曲線方程中的常數項改為零，會怎樣呢？，即，這就表示兩條漸近線 。【板書】：結論：把雙曲線標準方程中等號右邊的1改成0，然后變形，即可得其漸近線方程。 （三）小結標準方程圖形性質焦點范圍，對稱性關于軸，軸，原點都對稱頂點離心率漸近線（四）典型例題與變式訓練例1、 求雙曲線的半實軸長和半虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。解：把方程化為標準方程由此可知，半實軸長，半虛軸長；焦點坐標是；離心率；漸近線方程為。歸納總結：首先把方程化為標準方程，看準焦點在哪條軸上，得到a,b,c的值，再由雙曲線的幾何性質

7、求解。【變式訓練】：求雙曲線的半實軸長和半虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。例2、 求適合下列條件的雙曲線標準方程（1） 頂點在軸上，虛軸長為12，離心率為；（2） 頂點間距離為6，漸近線方程為；解：（1）設雙曲線的標準方程為 。由題意知，且。所求雙曲線方程為。（2）當焦點在軸上時，由且， 。 所求雙曲線方程為當焦點在軸上時，由且，。所求雙曲線方程為歸納總結：首先觀察條件能否確定焦點位置，再采用待定系數法設出所求雙曲線的標準方程，在由條件求出a,b,c即可。【變式訓練】：2、求符合下列條件的雙曲線的標準方程：（1） 頂點在軸上，兩頂點間的距離是8，；（2） 焦距是16，。（五）課堂總結橢圓

8、雙曲線圖形標準方程范圍，對稱性關于軸，軸，原點都對稱關于軸，軸，原點都對稱頂點離心率漸近線無（六）作業：教材第61頁：習題2.3，第2、3兩題。五、 板書設計1、范圍：，。雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的性質2、對稱性：雙曲線的對稱軸是軸、軸，原點是它的對稱中心。3、頂點：，稱為實軸，為虛軸，其中。4、漸近線：直線叫做例題課堂訓練5、結論：六、 課堂設計說明1、 本節課的內容是通過雙曲線標準方程推導研究雙曲線的幾何性質，采用類比橢圓的幾何性質的推導方法，讓學生自己推導出雙曲線的幾何性質。在教學中，凡是經過努力學生自己能得到的結論應該讓學生自己得到，這樣有利于調動學生學習的積極性，有利于激發學生的學習興趣，使學生的主動性得到