1、習(xí)題精解9-1.在氣墊導(dǎo)軌上質(zhì)量為m的物體由兩個(gè)輕彈簧分別固定在氣墊導(dǎo)軌的兩端，如圖9-1所示，試證明物體m的左右運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2. 解：取物體在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則物體在任意位置時(shí)受的力為 根據(jù)牛頓第二定律有 化簡(jiǎn)得 令則所以物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期9-2 如圖9.2所示在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，放置一電偶極矩P=ql的電偶極子，+q和-q相距l(xiāng)，且l不變。若有一外界擾動(dòng)使這對(duì)電荷偏過一微小角度，擾動(dòng)消息后，這對(duì)電荷會(huì)以垂直與電場(chǎng)并通過l的中心點(diǎn)o的直線為軸來回?cái)[動(dòng)。試證明這種擺動(dòng)是近似的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。設(shè)電荷的質(zhì)量皆為m，重力忽略不計(jì)

2、。 解 取逆時(shí)針的力矩方向?yàn)檎较颍?dāng)電偶極子在如圖9.2所示位置時(shí)，電偶極子所受力矩為 電偶極子對(duì)中心O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由轉(zhuǎn)動(dòng)定律知化簡(jiǎn)得當(dāng)角度很小時(shí)有，若令，則上式變?yōu)樗噪娕紭O子的微小擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。而且其周期為 9-3 汽車的質(zhì)量一般支承在固定與軸承的若干根彈簧上，成為一倒置的彈簧振子。汽車為開動(dòng)時(shí)，上下為自由振動(dòng)的頻率應(yīng)保持在 附近，與人的步行頻率接近，才能使乘客沒有不適之感。問汽車正常載重時(shí)，每根彈簧松弛狀態(tài)下壓縮了多少長(zhǎng)度？ 解 汽車正常載重時(shí)的質(zhì)量為m，振子總勁度系數(shù)為k，則振動(dòng)的周期為，頻率為正常載重時(shí)彈簧的壓縮量為9-4 一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，一端懸掛在水平軸O點(diǎn)，

3、如圖9.3所示。開始棒在平衡位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)來回?cái)[動(dòng)。此裝置時(shí)最簡(jiǎn)單的物理擺。若不計(jì)棒與軸的摩擦力和空氣的阻力，棒將擺動(dòng)不止。試證明擺角很小的情況下，細(xì)棒的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。 解 設(shè)在某一時(shí)刻，細(xì)棒偏離鉛直線的角位移為，并規(guī)定細(xì)棒在平衡位置向右時(shí)為正，在向左時(shí)為負(fù)，則力矩為負(fù)號(hào)表示力矩方向與角位移方向相反，細(xì)棒對(duì)O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有化簡(jiǎn)得 當(dāng)很小時(shí)有，若令則上式變?yōu)樗约?xì)棒的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為9-5 一放置在水平光滑桌面上的彈簧振子，振幅，周期，當(dāng)t=0時(shí)，（1）物體在正方向的端點(diǎn)；（2）物體在

4、負(fù)方向的端點(diǎn)；(3) 物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng);(4）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng);(5)物體在處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)(6)物體在處向正方向運(yùn)動(dòng)。求以上各種情況的振動(dòng)方程。解 由題意知（1）由初始條件得初想為是,所以振動(dòng)方程為 （2）由初始條件得初想為是，所以振動(dòng)方程為 （3）由初始條件得初想為是，所以振動(dòng)方程為（4）由初始條件得初想為是，所以振動(dòng)方程為（5）因?yàn)椋裕。ㄒ驗(yàn)樗俣刃∮诹悖哉駝?dòng)方程為（6），所以，取（因?yàn)樗俣却笥诹悖哉駝?dòng)方程為9-6一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m，周期為2s，當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置在0.06m處，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求；（1）質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方

5、程；（2）t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度；（3）質(zhì)點(diǎn)x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，在回到平衡位置所需最短的時(shí)間。解 （1）由題意可知：可求得（初速度為零），所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（2）任意時(shí)刻的速度為所以任意時(shí)刻的加速度為所以（3）根據(jù)題意畫旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖9.4所示。由圖可知，質(zhì)點(diǎn)在x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，再回到平衡位置相位的變化為所以9-7 一彈簧懸掛0.01kg砝碼時(shí)伸長(zhǎng)8cm，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛0.025kg的物體，使它作自由振動(dòng)。請(qǐng)建立坐標(biāo)系，分析對(duì)下述3種情況列出初始條件，求出振幅和初相位，最后建立振動(dòng)方程。（1）開始時(shí)，使物體從平衡位置向下移動(dòng)4c

6、m后松手；（2）開始時(shí)，物體在平衡位置，給以向上的初速度，使其振動(dòng)；（3）把物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm后，又給以向上的初速度，同時(shí)開始計(jì)時(shí)。解 （1）取物體處在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正方向，建立如圖9.5所示坐標(biāo)系。系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為根據(jù)題意，初始條件為振幅，初相位振動(dòng)方程為（2）根據(jù)題意，初始條件為振幅，初相位振動(dòng)方程為（3）根據(jù)題意，初始條件為振幅，得振動(dòng)方程為9-8 質(zhì)量為0.1kg的物體，以振幅做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其最大加速度為，求：（1）振動(dòng)周期；（2）通過平衡位置時(shí)的動(dòng)能；（3）總能量。解 （1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體的最大加速度為，所以周期為。（2）做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體通過平衡位置時(shí)具有最

7、大速度所以動(dòng)能為（3）總能量為 9-9 彈簧振子在光滑的水平上面上做振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖9.6所示，物體的質(zhì)量為M，彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)物體到達(dá)平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，一質(zhì)量為m的小泥團(tuán)以速度從右打來，并粘附于物體之上，若以此時(shí)刻作為起始時(shí)刻，求：（1）系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率；（2）按圖示坐標(biāo)列出初始條件；（3）寫出振動(dòng)方程；解 （1）小泥團(tuán)粘附于物體之后與物體一起做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總質(zhì)量為M+m，彈簧的勁度系數(shù)為k，所以系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為 （2）小泥團(tuán)粘附于物體之上后動(dòng)量守恒，所以有按圖9.6所示坐標(biāo)初始條件為（3）根據(jù)初始條件，系統(tǒng)振動(dòng)的初相位為；假設(shè)，系統(tǒng)的振動(dòng)振幅為A，根據(jù)能量守恒，有其中故

8、得振動(dòng)方程為9-10 有一個(gè)彈簧振子，振幅，周期T=1s，初相位，（1）寫出它的振動(dòng)方程；（2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，作x-t圖。解 （1）由題意可知，所以彈簧振子的振動(dòng)方程為 （2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖做x-t圖如圖9.7所示9-11 一物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，（1）當(dāng)它的位置在振幅一半處時(shí)，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量計(jì)算它的相位可能為哪幾個(gè)值？做出這些旋轉(zhuǎn)矢量；（2）諧振子在這些位置時(shí)，其動(dòng)能。勢(shì)能各占總能量的百分比是多少？解 （1）根據(jù)題意做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.8所示。由圖9.8可知，當(dāng)它的位置在振幅的一半時(shí)，它的可能相位是（2）物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的總能量為，在任意位置時(shí)的時(shí)能為，所以當(dāng)它的位置在振幅的一半時(shí)的勢(shì)能為，勢(shì)能占

9、總能量的百分比為25%，動(dòng)能占總能量的百分比為75%。9-12 手持一塊平板，平板上放以質(zhì)量為0.5kg的砝碼，現(xiàn)使平板在豎直方向上下振動(dòng)，設(shè)該振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率為2Hz，振幅是0.04m,問：（1） 位移最大時(shí)，砝碼對(duì)平板的正壓力多大？（2）以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，會(huì)使砝碼脫離平板？(3) 如果振動(dòng)頻率加快一倍則砝碼隨板保持一起振動(dòng)的振幅上限是多大？解 （1）由題意可知，。因?yàn)槲矬w在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物體在最大位移時(shí)加速度大小根據(jù)牛頓第二定律有解得（最低位置）， (最高位置)（2）當(dāng)，即時(shí) 會(huì)使砝碼脫離平板。（3）頻率增大一倍，把代入得9-13 有兩個(gè)完全相同的彈簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面

10、上，測(cè)得它們的周期都是2s。現(xiàn)將兩個(gè)物體從平衡位置向右拉開5cm，然后先釋放A振子，經(jīng)過0.5s后，再釋放B振子，如圖9.9所示，若以B振子釋放的瞬間作為時(shí)間的起點(diǎn)，（1）分別寫出兩個(gè)物體的振動(dòng)方程；（2）它們的相位差為多少？分別畫出它們的x-t圖。解 （1）由題可知，兩物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為，若以B振子釋放的瞬時(shí)作為時(shí)間的起點(diǎn)，則B物體振動(dòng)的初相位是，振動(dòng)方程應(yīng)為由于A物體先釋放0.5s時(shí)的時(shí)間，所以相位超前B物體，所以A物體振動(dòng)的初相位是，振動(dòng)方程應(yīng)為（2）它們的相位差為作A,B兩物體的振動(dòng)曲線如圖9.10所示。9-14 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為試 用旋轉(zhuǎn)矢量求出合振動(dòng)方程。解 作旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.11所示。由平面幾何關(guān)系可知合振動(dòng)的初相位是所以合振動(dòng)的振動(dòng)方程為9-15 有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為0.2，合振動(dòng)的相位于第一個(gè)振動(dòng)的相位之差為，若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173m，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅，第一、第二兩振動(dòng)的相位差。解 做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.12所示。由平面幾何關(guān)系可知假設(shè)和的夾角為，則由平面幾何可知把已知數(shù)代入解得，9-16 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)： 式中x,y以m計(jì)，t以s計(jì)。（1） 求運(yùn)動(dòng)軌跡方程；（2） 質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力。解 （1）由振動(dòng)方程消去時(shí)間因子得軌跡方程為（2