1、多元統計分析在大學生綜合素質評價中的應用摘 要德育和智育是衡量大學生綜合素質的重要因素，本文根據天津工業大學某年度某班級學生的各科成績和影響學生綜合素質的相關因素的實際數據，應用因子分析對影響學生綜合素質的各因素進行主成份分析，計算各個學生的因子綜合得分并按得分高低進行排序，把它和常見的的兩種評價方法進行比較，結果發現該才法能夠彌補僅僅依靠平均積點分和按繪合瀏評總分排序的不足.最后，以因子綜合得分和平均積點分和綜合瀏評總分為指標采用聚類分析對所有學生進行分類，得出了令人滿意的結果。實證分析結果表明因子分析和聚類分析是衡量學生綜合素質行之有效的方法。關鍵詞： 因子分析 聚類分析 綜合素質 評價

2、統計分析1 緒 論1.1 研究背景多元統計分析中的因子分析法l是通過對原始數據的相關系數矩陣內部結構的研究，將多個指標轉化為少量互不相關且不可觀測的隨機變量(即因子)，以提取原有指標絕大部分的信息的統計方法。進行因子分析圓首先需將原始數據作標準化處理，建立相關系數矩陣并計算其特征值和特征向量，接著從中選擇特征值大于等于1的特征值個數為公共因子數，根據特征值累計貢獻率大于80%來確定公共因子，然后求得正交或斜交因子載荷矩陣，最后計算公共因子得分和因子綜合得分。將因子分析法和聚類分析用于綜合評價，近年來出現不少研究成果，文獻2將因子分析和聚類分析用于中國各地區建筑業綜合競爭力評價問題，文獻3研究了

3、大學生畢業論文滿意度的問題，文獻4一6分別研究了教學質量評價問題、中國各地區綜合競爭力評價等問題。文獻7一8應用模糊綜合評判法對影響學生綜合素質的各指標進行評價，但這種方法僅僅得到了各指標的一個權重，并沒有把這些評價結果和原有方法作比較。1.2 研究的現實意義目前高等學校中比較常見的用于評價學生獎學金的獲得與否，常常僅僅根據學生成績的好壞(平均積點分)來評定并定等級，這樣做的一個弊端就是把成績的好壞作為衡量學生綜合素質的唯一指標，而高校里的其它評優都以此為標準，結果造成這樣一個事實：大學里只要成績好就行。然而，大學里影響學生綜合素質的因素不僅僅這些，還有諸如：英語四六級、國家計算機等級考試、數

4、學建模競賽、課外學術活動、發表論文、全國大學生英語競賽、數學競賽等反映學生智育水平的指標；熱愛集體、樂于助人、積極參與活動、不遲到、不早退等體現學生個人生活作風的指標；積極向上、銳意進取、自強、自立等體現學生個人思想作風的指標等等，而如果要考慮學生這些方面的表現比較常見的方法則是根據下文給出的學生的綜合測評分來定等級。作者認為已有的這兩種方法都帶有一定的局限性，都不能公正公平的評價大學生的綜合素質。因為平均積點分高低反映的僅僅是學生學習成績的好壞，僅僅是學生學習刻苦的程度，對于大學生來說，僅僅成績好是不夠的，更重要的是要具備良好的思想道德品質。而綜合測評總分的計算方法是學生自評互評、班級考評和

5、班主任考評的加權平均加上德育和智育分，它反映的是班級所有同學對該生的綜合評價，涉及到該生的為人、格、成績等各方面的因素，但是帶有一定的主觀性。為了科學衡量大學生的綜合素質，綜合各個相關因素給出每個大學生綜合素質高低的一個量化標準，本文嘗試著應用因子分析和聚類分析對學生的綜合素質進行評價，首先采用因子分析對六個相關指標進行分析，分析各個指標對學生綜合素質所起的作用，得出各主因子的因子得分和因子綜合得分，其次依據因子綜合得分進行排序，并把他和常用的兩種評價方法(評價積點分和綜合測評總分)作比較，最后對結果進行分析。分析結果表明：這種方法能夠比較好的彌補原有兩種方法的局限性(具體分析結果見下文中的表

6、7)，而且給出了學生綜合素質總體表現優秀、良好、中等和及格的劃分標準，都得出了比較好的結果。1.3 本文結構安排第一章緒論，講述本文研究的背景及其研究的現實意義；第二章主要說明了本文研究的數據的來源，是以天津工業大學的某學院為例進行的研究；第三章主要介紹了本文所用到的因子分析和聚類分析這兩種分析方法。并進一步介紹了因子分析的概念，定義，模型等；介紹了聚類分析的概念和定義；第四章為本文的最主要部分，及運用因子分析和聚類分析解決本文研究問題的過程，并得出結果。第五章為本文的結論部分。2 本文數據來源和研究方法說明本研究主要以天津工業大學某年度某班級25位同學的各科實際考試成績和影響綜合測評各相關因

7、素所得的實際數據為原始數據，該原始數據主要有六個指標，具體含義解釋如上表。常用的兩種評價方法：一種是采用平均積點分(計算方法如上)；一種是采用綜合測評總分，其計算方法為：-綜合測評總分X1平均積點分平均積點分=，該指標可衡量一個學生學習成績好壞，是評價一個學生綜合素質常用的方法，在該學校是一位同學能否評優、享受各類獎學金獎金的重要參考指標X2學生自評互評讓班級每位學生對全班25位同學從思想品德（20分）、學習情況（20分）、生活作風（20）、學科競賽（20）、待人處事（20）五個方面進行打分求和作為每位學生對全班25位同學的評價分，最后對每位同學的評價分求平均作為每位學生的自評互評分X3班級考

8、評分讓全班同學公開投票選出5位大家都信任的代表，本著公平、公正的原則，綜合同學們各方面的表現，對全班25個同學打分，最后求平均作為每位學生的班級考評分X4班主任考評分班主任本著對各位同學的了解，綜合考慮德、智、體各方面，按照公平、公正的原則，給全班25位同學打分作為每位學生的班主任考評分X5德育分從思想品德的表現狀況、班干部工作力度、樂于助人的具體事跡、銳意進取的精神狀態等事關思想道德水平的一個量化分值X6智育分考慮學生的英語四六級、國家計算機等級考試、數學建模競賽、英語競賽等事關學生科技文化素質的一個量化分值（其中六個指標具體含義以“天津工業大學綜合測評管理條例”為例）3 因子分析和聚類分析

9、3.1 因子分析3.1.1 因子分析的介紹因子分析（factor analysis）模型是主成分分析的推廣。它也是利用降維的思想，由研究原始變量相關矩陣內部的依賴關系出發，把一些具有錯綜復雜關系的變量歸結為少數幾個綜合因子的一種多變量統計分析方法。相對于主成分分析，因子分析更傾向于描述原始變量之間的相關關系；因此，因子分析的出發點是原始變量的相關矩陣。因子分析的思想始于1904年Charles Spearman對學生考試成績的研究。近年來，隨著電子計算機的高速發展，人們將因子分析的理論成功地應用于心理學、醫學、氣象、地質、經濟學等各個領域，也使得因子分析的理論和方法更加豐富。本章主要介紹因子分

10、析的基本理論及方法，運用因子分析方法分析實際問題的主要步驟及因子分析的上機實現等內容。3.1.2 因子分析的基本思想因子分析的基本思想是根據相關性大小把原始變量分組，使得同組內的變量之間相關性較高，而不同組的變量間的相關性則較低。每組變量代表一個基本結構，并用一個不可觀測的綜合變量表示，這個基本結構就稱為公共因子。對于所研究的某一具體問題，原始變量就可以分解成兩部分之和的形式，一部分是少數幾個不可測的所謂公共因子的線性函數，另一部分是與公共因子無關的特殊因子。在經濟統計中，描述一種經濟現象的指標可以有很多，比如要反映物價的變動情況，對各種商品的價格做全面調查固然可以達到目的，但這樣做顯然耗時耗

11、力，為實際工作者所不取。實際上，某一類商品中很多商品的價格之間存在明顯的相關性或相互依賴性，只要選擇幾種主要商品的價格或進而對這幾種主要商品的價格進行綜合，得到某一種假想的“綜合商品”的價格，就足以反映某一類物價的變動情況，這里，“綜合商品”的價格就是提取出來的因子。這樣，對各類商品物價或僅對主要類別商品的物價進行類似分析然后加以綜合，就可以反映出物價的整體變動情況。這一過程也就是從一些有錯綜復雜關系的經濟現象中找出少數幾個主要因子，每一個主要因子就代表經濟變量間相互依賴的一種經濟作用。抓住這些主要因子就可以幫助我們對復雜的經濟問題進行分析和解釋。 因子分析還可用于對變量或樣品的分類處理，我們

12、在得出因子的表達式之后，就可以把原始變量的數據代入表達式得出因子得分值，根據因子得分在因子所構成的空間中把變量或樣品點畫出來，形象直觀地達到分類的目的。因子分析不僅僅可以用來研究變量之間的相關關系，還可以用來研究樣品之間的相關關系，通常將前者稱之為R 型因子分析，后者稱之為Q型因子分析。我們下面著重介紹型因子分析。3.1.3 因子分析的基本理論及模型為了對因子分析的基本理論有一個完整的認識，我們先給出Charles Spearman 1904年用到的例子。在該例中Spearman研究了33名學生在古典語（C）、法語（F）、英語（E）、數學（M）、判別（D）和音樂（Mu）六門考試成績之間的相關性

13、并得到如下相關陣： Spearman注意到上面相關陣中一個有趣的規律，這就是如果不考慮對角元素的話，任意兩列的元素大致成比例，對C列和E列有：于是Spearman指出每一科目的考試成績都遵從以下形式：式中，為第門科目標準化后的考試成績，均值為0，方差為1。為公共因子，對各科考試成績均有影響，是均值為0，方差為1。為僅對第門科目考試成績有影響的特殊因子，與相互獨立。也就是說，每一門科目的考試成績都可以看作是由一個公共因子（可以認為是一般智力）與一個特殊因子的和。 在滿足以上假定的條件下，就有： 于是，有 （31）（31）式與無關，也正與在相關矩陣中所觀察到的比例關系相一致。除此之外，還可以得到如

14、下有關方差的關系式：因為是一個常數，與相互獨立且與的方差均被假定為1。于是有：因此，常數的意義就在于其平方表示了公共因子解釋的方差的比例，因此被稱之為因子載荷，而被稱作共同度。對Spearman的例子進行推廣，假定每一門科目的考試成績都受到個公共因子的影響及一個特殊因子的影響，于是（21）就變成了如下因子分析模型的一般形式： （32）式中，為標準化后的第門科目的考試成績，均值為0，方差為1。,，是彼此獨立的公共因子，都滿足均值為0，方差為1。為特殊因子，與每一個公共因子均不相關且均值為0。則，為對第門科目考試成績的因子載荷。對該模型，有：式中，表示公共因子解釋方差的比例，稱為的共同度，相對的可

15、稱為的特殊度或剩余方差，表示的方差中與公共因子無關的部分。因為共同度不會大于1，因此，。由模型（32）還可以很容易地得到如下與相關系數的關系式： 所以當與在某一公共因子上的載荷均較大時，也就表明了與的相關性較強。3.1.4 因子分析模型和因子載荷矩陣因子分析模型：因子載荷模型：由因子及其假設前提知，公共因子,，相互獨立且不可測，是在原始變量的表達式中都出現的因子。公共因子的含義，必須結合實際問題的具體意義確定。，叫做特殊因子，是向量X分量（=1,2，）所特有的因子。各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間也都是相互獨立的。矩陣A的元素稱為因子載荷，的絕對值大（），表明與的相依程度越大，或稱

16、公共因子對于的載荷量越大，進行因子分析的目的之一，就是要求出各個因子載荷的值。 為了更好地理解因子分析方法，有必要討論一下載荷矩陣的統計意義與公因子與原始變量之間的關系。因子載荷的統計意義 由因子模型可知：即是與的協方差，而注意到，與（=1,2，；=1,2，）都是均值為0，方差為1的變量，因此，同時也是與的相關系數。3.2 聚類分析3.2.1 聚類分析的概念聚類分析指將物理或抽象對象的集合分組成為由類似的對象組成的多個類的分析過程。它是一種重要的人類行為。聚類分析的目標就是在相似的基礎上收集數據來分類。聚類源于很多領域，包括數學，計算機科學，統計學，生物學和經濟學。在不同的應用領域，很多聚類技

17、術都得到了發展，這些技術方法被用作描述數據，衡量不同數據源間的相似性，以及把數據源分類到不同的簇中。從統計學的觀點看，聚類分析是通過數據建模簡化數據的一種方法。傳統的統計聚類分析方法包括系統聚類法、分解法、加入法、動態聚類法、有序樣品聚類、有重疊聚類和模糊聚類等。采用k-均值、k-中心點等算法的聚類分析工具已被加入到許多著名的統計分析軟件包中，如SPSS、SAS等。3.2.2 聚類分析的定義依據研究對象（樣品或指標）的特征，對其進行分類的方法，減少研究對象的數目。各類事物缺乏可靠的歷史資料，無法確定共有多少類別，目的是將性質相近事物歸入一類。各指標之間具有一定的相關關系。 聚類分析(clust

18、er analysis)是一組將研究對象分為相對同質的群組(clusters)的統計分析技術。聚類分析也叫分類分析(classification analysis)或數值分類(numerical taxonomy) 變量類型：定類變量、定量（離散和連續）變量4 因子分析和聚類分析過程4.1 數據處理過程根據以上的因子分析思想，應用sPss15.0軟件9作為統計分析工具，首先將原始數據標準化(消除數量級和量綱差異的影響)如表1所示；其次建立相關系數矩陣如表2所示，進而對原始數據進行因子分析的可行性進行檢驗如表3所示。表1 原始數據的標準化學號數據標準化學生1學生2學生3學生4學生5學生6學生7學

19、生8學生9學生10學生11學生12學生13學生14學生15學生16學生17學生18學生19學生20學生21學生22學生23學生24學生250.3840.9020.8000.2010.5080.138-1.463-0.578-2.1270.940-1.193-0.0651.177-0.3741.460-2.537-0.0120.2230.343-0.568-0.3000.898-0.0540.1791.120-0.272-0.1810.789-0.394-0.728-0.303-0.485-0.697-0.6060.516-2.336-0.136-0.973-1.6381.123-1.395-0

20、.0900.0010.9411.0021.2751.1841.0321.0321.336-0.417-0.4171.071-0.629-2.117-0.417-0.2040.009-1.2671.071-1.479-0.6290.434-1.4791.284-1.267-0.4170.6460.8591.2840.8591.0710.6460.6460.8590.4550.5671.2370.2320.679-0.103-1.777-0.661-1.7770.455-1.219-0.6611.014-0.6611.572-1.777-0.6610.6790.679-1.219-0.1031.0

21、140.4550.5671.014-0.769-0.3692.036-0.669-0.168-0.870-0.1680.6330.0321.334-0.669-1.1700.663-1.2700.469-2.472-0.032-0.1680.2320.3331.1341.134-0.1680.2321.635-0.296-0.2961.244-0.296-0.296-0.296-0.604-0.296-1.220-0.2960.320-0.2961.244-0.2963.400-1.220-0.2961.244-0.296-1.220-0.296-0.296-0.296-0.2961.244通

22、過數據處理得相關系數矩陣P值小于0.05，表明指標間存在較強的相關性，可用因子分析進行分析。由表3的KMO值和巴特利特球形檢驗可得：因為KMO的值為0.711>0.6，表明樣本充足，比較適合因子分析，而巴特利特球形檢驗的顯著性水平小于0.05，因此拒絕巴特利特球形檢驗的零假設，故可進行因子分析2。進而求得相關系數矩陣特征值與方差累計貢獻率如4所示，可見主成份得到的前2個因子提取了原始數據的82.321%的數據信息，因此提取前2個因子作為主成份。表2 相關系數矩陣10.5110.520.9260.4930.6280.51110.8370.5440.6060.2320.520.83710.5

23、260.6570.4040.9260.5440.52610.4710.670.4930.6060.6570.47110.2590.6280.2320.4040.670.2591表3 樣本充足性的KMO值和巴特利特球形檢驗樣本充足性的KMO值0.711巴特利特球形檢驗近似值自由度顯著性檢驗106.149150.000表4 關系數矩陣特征值和累計貢獻率指標旋轉前主成份貢獻率旋轉后主成份貢獻率特征值方差貢獻率累計貢獻率特征值方差貢獻率累計貢獻率特征值方差貢獻率累計貢獻率123.7941.14563.23219.08963.23282.3213.7941.14563.23219.08963.23282

24、.3212.5262.41442.09340.22842.09382.32134560.4490.4220.1250.0647.4827.0382.0871.07389.80396.8498.927100公共因子與原始變量指標之間的關聯程度2由因子載荷值來體現，由于初始因子載荷矩陣結構不夠簡明，各因子含義不夠簡明，為此采用方差最大正交旋轉變換，使各變量在某個因子上產生較高載荷，而在其它因子上載荷較小。經過5次迭代收斂，得到旋轉前后因子載荷矩陣和因子得分系數矩陣如表5所示。表5 旋轉前后的因子載荷矩陣和因子得分系數矩陣旋轉前因子載荷矩陣旋轉后因子載荷矩陣因子得分系數矩陣指標因子10.8660.7

25、90.8290.8770.7280.658因子20.348-0.478-0.40.363-0.4040.58因子10.3840.9010.8760.3820.8050.071因子20.8510.2020.2850.8690.2120.876因子1-0.0460.4390.4-0.0520.383-0.227因子20.377-0.157-0.1010.389-0.1220.488由表5的旋轉后的因子載荷矩陣可以看出：第一公共因子在(學生自評互評)、(班級考評)、(德育)三個指標上具有較大的載荷值，而且對全部初始變量的方差貢獻率為42.093%，說明這三個指標是評價學生綜合素質需要考慮的最主要方面

26、。通過對這三個指標的具體分析可以發現他們反映的是每個學生思想道德素質、科技文化素質、生活作風、學生作風，待人處事等各方面的綜合指標，是反映同學們對每個學生的一個綜合考量，因此可以將其看作為德育因子。第二公共因子在xl(平均積點分)、x4(班主任考評)、x6(智育)三個指標上具有較大載荷值，對全部初始變量的方差貢獻率為40.228%，說明這三個指標在評價學生綜合素質方面僅次于德育因子，也是評價學生綜合素質方面不可忽略的因子。通過分析這三個指標的具體含義可以發現他們都與學生的學習成績和科技分化素質有關，因此可看作為智育因子。4.2 學生綜合素質的因子綜合得分評價通過以上研究發現：德育因子Fl和智育

27、因子凡是衡量學生綜合素質的最主要因素，為了計算這兩個因子的因子得分我們采用線性回歸的方法得到了因子得分的系數矩陣如表5所示，可得到因子得分表達式如下：Fl=-0.046x1+0.439x2+o.4x3一o.052x4+0.383x5一0.227x6，F2=0.377x1一0.157x2一0.10lx3+0.389x4一0.122x5+0.488x6.將各學生各指標的原始數據代入上式可計算出德育因子和智育因子的得分，進而根據因子方差貢獻率占兩個因子總方差累計貢獻率的比重作為權重進行加權匯總，可計算出用評價學生綜合素質的因子綜合得分F，即其德育因子和智育因子得分及因子綜合得分計算結果如表6所示：表

28、6 德育因子和智育因子得分及因子綜合得分和排名德育因子得分排名德育因子得分排名因子綜合得分綜合排名學生 15學生 25學生 3學生22學生 10學生 13學生 19學生 18學生 21學生 24學生 23學生 2學生 20學生 1學生 4學生 17學生 8學生 6學生 5學生 12學生 7學生 14學生 11學生 9學生 16-0.0951.1681.1701.3551.166-0.4010.861-0.1341.4230.8300.693-0.3911.447-0.555-0.635-0.0920.068-0.566-1.222-0.654-0.062-1.678-1.827-0.293-1

29、.579135436177142891611820121019222111242515232.5720.9280.9090.1560.0361.477-0.0140.910-0.723-0.112-0.1940.532-1.6110.3570.229-0.353-0.5880.0640.660-0.198-1.4200.019-0.170-1.869-1.595135101221442115177248919201161822131625231.2081.0511.0420.7690.6140.5170.4340.3760.3750.3700.2590.060-0.047-0.109-0.21

30、3-0.219-0.252-0.258-0.302-0.431-0.726-0.848-1.017-1.063-1.58712345678910111213141516171819202122232425因德育因子得分越高說明該學生思想道德素質比較高，而智育因子得分越高說明該學生的科學文化素質比較高，從表6所得結果可以看出：(l)學生15智育因子得分為2.572，排名第一，而德育因子得分為-0.095，排名13，可最后的因子綜合得分為1.208，綜合排名第一；(2)學生13智育因子得分為1.477，排名第二，而德育因子得分為-0.401，排名17，可最后的因子綜合得分為0.517，綜合排名第六

31、；(3)學生25智育因子得分為0.928，排名第三，德育因子得分為1.168，排名第五，因子綜合得分為1.051，綜合排名第二。(4)從這些結果看出學生15學習成績特好，由于其智育因子得分遙遙領先，但其思想道德修養方面一般，甚至低于全班平均水平，經因子分析后最后的綜合排名還是第一；學生13也是如此。說明此類學生今后不能只學習，還要注重提高自己的思想道德修養。學生25智育因子得分和德育因子得分都比較靠前，所以綜合排名也比較靠前，說明此學生不僅成績優秀，平時還注重其他方面的修養，思想道德水平也較高。這些與實際情況都比較吻合。后面的學生就不一一分析了。從此表可以看出因子分析對學生的綜合評價給出了比較

32、好的結果，不僅考慮了學生的學習成績，還考慮了學生的思想道德方面的因素，最后給出的綜合排名結果比較合情合理。最后我們將由因子分析所得因子綜合得分結果及排名與通常的兩種評價方法做個比較，結果如表7所示，并且為了比較好的區分出學生的類別，我們把學生按其綜合素質分為四類：優秀、良好、中等、及格。然后用聚類分析將班級25位學生按因子綜合得分、平均積點分、綜合測評綜合三個指標進行分層聚類分析，分類結果如表7所示。表7 學生綜合素質的三種評價方法比較及聚類分析結果因子綜合得分排名平均積點分排名綜合評測總分排名聚類分析結果學生 15學生 25學生 3學生 22學生 10學生 131.2081.051.0420

33、.7690.6140.51712345688.90285.29481.90282.94183.39285.902137642123.083134.508139.425124.533123.850123.741621345111111學生 19學生 18學生 21學生 24學生 23學生 2學生 20學生 1學生 4學生 17學生 8學生 6學生 50.4340.3760.3750.3700.2590.060-0.047-0.109-0.213-0.219-0.252-0.258-0.3027891011121314151617181977.05975.78470.23575.31472.843

34、82.98067.39277.49075.54973.29467.29474.88278.80410111813165209121521148113.900114.575119.492113.358108.858106.692103.550102.167102.067105.217111.183106.658108.508987101214171819161115132222222222222學生 12學生 7學生 14學生 11學生 90.431-0.726-0.848-1.017-1.063202122232472.72557.90269.45160.76550.8631723192224

35、93.13897.17591.45896.76796.808232024222133333學生 16-1.5872546.5102571.592254從表7可以看出：(l)學生15如果按平均積點分排名是第一，可如果按綜合測評排名是第六，按因子綜合得分排名仍是第一名；說明該生不僅成績優秀，而且各方面表現都比較優秀。(2)學生25按平均積點分排名是第三，按綜合測評排名是二，按因子綜合得分排名是第二；(3)學生3按平均積點分排名是第七，按綜合測評排名是一，按因子綜合得分排名是第三。這些結果較好的彌補了平均積點分和綜合測評分的排名結果，既考慮了學生各科成績，又考慮了影響學生綜合素質的其它因素，而且與學生的實