1、第六章真空中的靜電場(chǎng)習(xí)題選解6-1三個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷各放在邊長(zhǎng)為r的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，電荷Q(Q0)放在三角形的重心上。為使每個(gè)負(fù)電荷受力為零,Q之值應(yīng)為多大？解：以三角形上頂點(diǎn)所置的電荷(q)為例，其余兩個(gè)負(fù)電荷對(duì)其作用力的合力為3,方向如圖所示，其大小為題6-1圖中心處Q對(duì)上頂點(diǎn)電荷的作用力為f2,方向與fl相反，如圖所示，其大小為由flf2 ,得、3Tq6-2在某一時(shí)刻，從U238的放射性衰變中跑出來(lái)的粒子的中心離殘核Th234的中心為r9.01015m。試問(wèn)：(1)作用在粒子上的力為多大？(2)粒子的加速度為多大？解：(1)由反應(yīng)238U2390Th+2He,可知粒子帶兩個(gè)單位

2、正電荷，即Th離子帶90個(gè)單位正電荷，即它們距離為r9.01015m由庫(kù)侖定律可得它們之間的相互作用力為：(2)粒子的質(zhì)量為：由牛頓第二定律得：6-3如圖所示，有四個(gè)電量均為q106C的點(diǎn)電荷，分別放置在如圖所示的解：由圖可知，第3個(gè)電荷 與其它各電荷等距，均為r ，2m。各電荷之間均為斥力，21,2,3,4點(diǎn)上，點(diǎn)1與點(diǎn)4距離等于點(diǎn)1與點(diǎn)2的距離，長(zhǎng)1m,第3個(gè)電荷位于2、4兩電荷連線中點(diǎn)。求作用在第3個(gè)點(diǎn)電荷上的力。且第2、4兩電荷對(duì)第三電荷的作題6-3圖用力大小相等，方向相反，兩力平衡。由庫(kù)侖定律，作用于電荷3的力為題6-3圖力的方向沿第1電荷指向第3電荷，與x軸成45o角。6-4在直角

3、三角形ABC的A點(diǎn)放置點(diǎn)電荷qi1.8109C,B點(diǎn)放置點(diǎn)電荷q24.8109C,已知BC0.04m,AC0.03m,試求直角頂點(diǎn)C處的場(chǎng)強(qiáng)E。解：A點(diǎn)電荷在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為題6-4圖E1,方向向下B點(diǎn)電荷在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E2,方向向右根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，C點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)設(shè)E與CB夾角為，tan巨E26-5如圖所示的電荷分布為電四極子，它由兩個(gè)相同的電偶極子組成。證明在的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為E 0彳，式中4 0r布的電四極矩題6-5圖電四極子軸線的延長(zhǎng)線上，離中心為r(rq)Q2qe2,稱(chēng)為這種電荷分解：由于各電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)方向都在X軸上，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理由于r%,式中小可略去故已3Q40r4又電

4、四極矩Q2qr；題6-5圖6-6如圖所示，一根很長(zhǎng)的絕緣棒，均勻題6-6圖帶電，單位長(zhǎng)度上的電荷量為，試求距棒的一端垂直距離為d的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：建立如圖所示坐標(biāo)，在棒上任取一線元dx在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為dE場(chǎng)強(qiáng)dE可分解成沿x軸、y軸的分量題6-6圖p點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)eJE2EJ«2y40d方向與Y軸夾角為arctanLE45oEy6-7一根帶電細(xì)棒長(zhǎng)為2l,沿x軸放置，具一端在原點(diǎn)，電荷線密度Ax（A為正的常數(shù)）。求x軸上，xb21處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在坐標(biāo)為x處取線元dx,帶電量為dqAxdx,該線元在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為dE,題6-7圖解：以圓心為原點(diǎn)建立如圖所示Oxy坐標(biāo)，方向沿x軸正方向

5、整個(gè)帶電細(xì)棒在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為場(chǎng)強(qiáng)E方向沿x軸正方向6-8如圖所示，一根絕緣細(xì)膠棒彎成半徑為R的半圓形。其上一半均勻帶電荷q,另一半均勻帶電荷 q。求圓心O處的場(chǎng)強(qiáng)。題6-8圖在膠棒帶正電部分任取一線元dl,與OA夾角為，線元帶電荷量dq冬dl,R在O點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度把場(chǎng)強(qiáng)dE分解成沿x軸和y軸的分量題6-8圖同理，膠棒帶負(fù)電部分在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E沿x軸方向的分量Ex與Ex大小相等,方向相同；沿y軸方向的分量Ey與Ey大小相等，方向相反，互相抵消，故點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為E2Ex2q2方向沿x軸正向。2oR26-9一無(wú)限大均勻帶電平面，電荷面密度為,在平面上開(kāi)一個(gè)半徑為R的圓洞，求在這個(gè)圓洞軸線上距洞心r處一點(diǎn)P

6、的場(chǎng)強(qiáng)。解：開(kāi)了一個(gè)圓洞的無(wú)限大均勻帶電平面，相當(dāng)于一個(gè)無(wú)限大均勻帶電平面又加了一塊帶異號(hào)電荷，面密度相同的圓盤(pán)。距洞心r處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)題6-9圖式中E為無(wú)限大均勻帶電平面在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向垂直于平面向外E為半徑為R的均勻帶負(fù)電圓盤(pán)在其軸線上距中心為r處的P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。在圓盤(pán)上取半徑為r,寬為dr的細(xì)圓環(huán)，在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)(1-L)方向垂直圓盤(pán)向里20R2r2EP E Er2 o(R2 r2)12方向垂直平面向外6-10如圖所示，一條長(zhǎng)為21的均勻帶電直線，所帶電量為q,求帶電直線延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)。解：在坐標(biāo)為r處取線元，帶電量該線元在帶電直線延長(zhǎng)線上距原點(diǎn)為x的P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為題6-10

7、圖題6-10圖整個(gè)帶電直線在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)6-11用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，求證無(wú)限大均勻帶平面外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E20(提示：把無(wú)限大平面分成一個(gè)個(gè)圓環(huán)或一條條細(xì)長(zhǎng)線，然后進(jìn)行積分)。解：(1)建如圖(a)xyz坐標(biāo)，以板上任一點(diǎn)。為圓心，取半徑為r,寬度為dr的環(huán)形面積元，帶電量為：dq2rdr。由圓環(huán)電荷在其軸線上任一點(diǎn)P(OPx)的場(chǎng)強(qiáng)公式方向沿X軸正方向。題6-11(a)圖P點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)(0,E的方向沿x軸正方向)(2)建如圖(b)所示的三維坐標(biāo)，在場(chǎng)強(qiáng)公式，線元在x軸距原點(diǎn)。為a的點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)與z軸相距為y處取一細(xì)長(zhǎng)線元，沿y軸方題6-11(b)圖向單位長(zhǎng)度帶電荷為dy,由長(zhǎng)直帶電直線由于對(duì)稱(chēng)性，d

8、E的y軸分量總和為零所以E dEx dEcos因?yàn)? ,所以E的方向沿x軸正方向。6-12如圖所示，半徑為R的帶電細(xì)圓環(huán)，線電荷密度0 cos ,0為常數(shù),為半徑R與x軸夾角，求圓環(huán)中心。處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在帶電圓環(huán)上任取一線元dl Rd ,帶電量為dq dl0 cos Rd ,線元與原點(diǎn)O的連線與x軸夾角為，在。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)dE大小為題6-12圖dE沿x軸和y軸的分量整個(gè)帶電圓環(huán)在。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E沿x軸和y軸的分量EExii4 oRE的方向沿x軸負(fù)方向。6-13別為 和如圖所示，兩條平行的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，相距為 ,求：d ,線電荷密度分(1)兩線構(gòu)成的平面的中垂面上的場(chǎng)強(qiáng)分布;(2)兩直線單位長(zhǎng)

9、度的相互作用力。解：(1)在兩線構(gòu)成平面的中垂直面上任取一點(diǎn)P距兩線構(gòu)成平面為y,到兩線距離為Jy2(%)2。兩帶電直線在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為題6-13圖由于對(duì)稱(chēng)性，兩線在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿y軸題6-13圖方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消方向沿X軸正方向d_.d22.2o(y)4(2)兩直線相距為d,帶正電直線在帶負(fù)電直線處的場(chǎng)強(qiáng)為E20d2FqE,帶負(fù)電直線單位長(zhǎng)度的電荷受電場(chǎng)力FE,方向指向帶正電直20d2,方向指向帶負(fù)電直線。2 0d沿同一直線放置，兩棒近端相距為1 , 求兩棒間的靜電相互作用力。題6-14圖線。同理，帶正電直線單位長(zhǎng)度受電場(chǎng)力F故有FF,兩帶電直線相互吸引。6-14如圖所示，

10、長(zhǎng)為1、線電荷密度為的兩根相同的均勻帶電細(xì)塑料棒，解：(1)建立如圖所示x坐標(biāo)，在左棒中坐標(biāo)為x處取線元dx,帶電量dqdx,線元dx在坐標(biāo)r處的場(chǎng)強(qiáng)左棒在坐標(biāo)r處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)題6-14圖(2)在右棒中坐標(biāo)為r處取線元dr,帶電量dqdr,該線元受電場(chǎng)力右棒受總電場(chǎng)力為F的方向沿x軸正方向。兩棒間的靜電力大小相等，方向相反，互為斥力。6-15用細(xì)的不導(dǎo)電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，棒兩端點(diǎn)間的空隙為2cm,棒上均勻分布著3.12109C的正電荷，求圓心處場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向。解：有微小間隙的帶正電圓弧棒，等效于一個(gè)相同半徑的帶正電圓環(huán)加個(gè)弧題6-15圖長(zhǎng)等于間隙的帶負(fù)電小圓弧棒。由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，

11、圓心。場(chǎng)強(qiáng)對(duì)于均勻帶正電的圓環(huán)，由于對(duì)稱(chēng)性在圓心。的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，E圓環(huán)0°上一帶負(fù)電小圓弧棒相對(duì)于圓心O可近似看成一個(gè)點(diǎn)電荷，電量為：圓心處場(chǎng)強(qiáng)EoEAB0.714Vm1,方向指向空隙。6-16如圖所示，一點(diǎn)電荷q處于邊長(zhǎng)為的正方形平面中垂線上，q與平面中心O點(diǎn)相距a/2,求通過(guò)正方形平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量e解：以點(diǎn)電荷所在處為中心，以圖中正方形為一面作一邊長(zhǎng)為a的正方體，由高斯定理知：通過(guò)正方體表面的電通量為題6-16圖則通過(guò)該正方形平面的電通量為-q-o606-17設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E,E與半徑為R的半球面的軸線平行。試計(jì)算通過(guò)此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。解：方法一：在半球面上取寬為d

12、l的環(huán)狀面積元，通過(guò)面元dS的電場(chǎng)強(qiáng)度通量題6-17圖通過(guò)整個(gè)半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量方法二：通過(guò)半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量與垂直通過(guò)大圓面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量相等。通過(guò)S面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量：故通過(guò)半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量亦為R2E06-18在量子模型中，中性氫原子具有如下的電荷分布：一個(gè)大小為e的電荷被密度為rCe2r/a0的負(fù)電荷所包圍，0是玻爾半徑”，00.53101°m,C是為了使電荷總量等于 e所需要的常量。試問(wèn)在半徑為°的球內(nèi)凈電荷是多少？距核°遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度多大?解：由rCe2r/a0,可得323332r/a02田erdr0a。2r/a02r,2ra。x2,a0ca。e

13、dexdx280a0ao8084原式成為4Ca0所以C二a0要求半徑為ao的球內(nèi)的靜電荷。應(yīng)先求半徑ao的球內(nèi)的負(fù)電荷q球內(nèi)凈電荷為qeq0.677e1.081019c由高斯定律0EdS4a02Eq006-19在半徑分別為Ri,R2的兩個(gè)同心球面上，分別均勻帶電為Qi和Q2,求空間的場(chǎng)強(qiáng)分布，并作出Er關(guān)系曲線。解：電荷在球面上對(duì)稱(chēng)分布，兩球面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ(chēng)分布，場(chǎng)強(qiáng)方向沿徑向向外。(1)以球心O為圓心，r為半徑(R1r0)作一同心球面，由高斯定理，球面包圍電荷量為零，即因而EI0(2)以O(shè)為圓心，半徑為r(R2rR)題6-19圖作一同心球面，由高斯定理(3)以。為圓心，半徑為r(R

14、2r)作一同心的球面，由高斯定理所以EmQf4°rEr曲線如圖6-19所示。6-20設(shè)均勻帶電球殼內(nèi)、外半徑分別為R和R2,帶電量為Qo分別利用高斯定理與用均勻帶電球面的電場(chǎng)疊加求場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫(huà)出Er圖。解：由于電荷分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性，空間電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ(chēng)性。(1)在rR的區(qū)域，電量為零。由高斯定理?sEdS0,因而各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零因此(2)在R rR2區(qū)域，以r為半徑作同心球面由高斯定理Q 4q V (4 R3 4 .3V3R2Ri33Q r3(3)在 r由高斯定理r3 4Ri3)3Ri3°r2 R3R3R2區(qū)域，以r為半徑作同心球面,題6-20圖E r曲線如圖6-20所示

15、。6-21無(wú)限長(zhǎng)共軸圓柱面，半徑分別為Ri和R2( R2R),均勻帶電，單位長(zhǎng)度上的電量分別為i和2。求距軸為r處的場(chǎng)強(qiáng)(i)rRi； R rR2； (3)rR2。解：(1)在半徑為Ri的圓柱面內(nèi)作半徑為r ( rRi ),高為l的同軸圓柱面，作為高斯面。通過(guò)此高斯面的通量各點(diǎn)E垂直于軸線，上下底面電通量為零因而E 0 (rRi )(2)在半徑為Ri、R2的兩圓柱面間作半徑為R2 r Ri ),高為l的同軸圓柱面作為高斯面，由高斯定理可見(jiàn)E 2 or(3)同理在rR2的區(qū)域E-_220r6-22 一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱,軸圓柱面。圓柱面包圍的電荷具體電荷密度為0r (r R),0為常數(shù)。求

16、場(chǎng)強(qiáng)分布0題6-22圖解：(i)在圓柱體內(nèi)r處(rR),取一點(diǎn)P,過(guò)P以底面半徑為r,高為l作閉合同通過(guò)圓柱側(cè)面的電通量為2rlE,通過(guò)兩底面的電通量為零，由高斯定理可得E的方向沿矢徑r的方向(2)在圓柱體外r處(rR)取一點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)以底面半徑為r,高為l作閉合同軸圓柱面。圓柱面包圍電荷量由高斯定理?EdSq03得ERE的方向沿矢徑r的方向3 0r6-23如圖所示，一電量為2107C的電荷從坐標(biāo)原點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(4,4)。設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E1八叵(ij)104NC1。(1)試計(jì)算經(jīng)下述路徑時(shí)，電場(chǎng)力做的功(2)點(diǎn)(4,4)相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)。的電勢(shì)差。解：(1)電荷在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功(a)路彳全

17、為(0,0)(4,0)(4,4)(b)路徑為(0,0)(4,4)題6-23圖(c)路彳空為(0,0)(0,4)(4,4)(2)點(diǎn)(4,4)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的電勢(shì)，即它們之間的電勢(shì)差U,等于單位正電荷從點(diǎn)(4,4)移到O時(shí)，電場(chǎng)力所做的功。6-24如圖所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為Q,沿半徑方向有一均勻帶電細(xì)線，線電荷密度為，長(zhǎng)度為l,細(xì)線近端離球心的距離為l。設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布固定。求細(xì)線在電場(chǎng)中的電勢(shì)能。題6-24圖解：以帶電球面圓心。為原點(diǎn)，通過(guò)帶電直線作X坐標(biāo)如圖。帶電球面在軸線X處場(chǎng)強(qiáng)為EQ2方向沿X軸正方向4 oX該點(diǎn)的電勢(shì)為VEdlQ2dxQxx4oX4oX在帶電細(xì)線上x(chóng)

18、處取線元dx,帶電量為dqdx,線元dx的電勢(shì)能為QdWVxdqdx40x2IQdx細(xì)線在電場(chǎng)中的電勢(shì)能WdWQ-Q In x402IQ cIn 2I 40在很遠(yuǎn)處（r re）的電勢(shì)。電勢(shì)解：在距電四極子很遠(yuǎn)處取一點(diǎn)P ,題6-25圖距2q為r ,夾角為,由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的由于rri題6-25圖6-26 如圖所示,點(diǎn)電荷q 10 9C ,與它在同一直線上的A、B、C三點(diǎn)分別距q 為 10cm、20cm、30cm若選B為電勢(shì)零點(diǎn)，求A、C題6-26圖6-25如圖所示，試計(jì)算線性電四極子兩點(diǎn)的電勢(shì)VA、Vc0解：以點(diǎn)電荷q為原點(diǎn)，沿q,A,B,C的連線建題6-26圖x坐標(biāo)，在x坐標(biāo)軸上，各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向都

19、沿x軸正方向。對(duì)于A、B兩點(diǎn),電勢(shì)差由Vb0Va 45V對(duì)于B、C兩點(diǎn),電勢(shì)差為:由VB06-27 真空中一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，線電荷密度為求其圓心處電勢(shì)。解：在細(xì)圓環(huán)上取長(zhǎng)為dl的線元，帶電量為dqdlVc15V在圓心處產(chǎn)生的電勢(shì)整個(gè)帶電圓環(huán)在圓心O的電勢(shì)題6-27圖6-28半徑為2mm的球形水滴具有電勢(shì)300V。求：(1)水滴上所帶的電荷量(2)如果兩個(gè)相同的上述水滴結(jié)合成一個(gè)較大的水滴，其電勢(shì)值為多少(假定結(jié)合時(shí)電荷沒(méi)有漏失)？解：(1)設(shè)水滴所帶電荷均勻分布在水滴表面。水滴內(nèi)任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，電勢(shì)與水滴表面電勢(shì)相等。對(duì)于水滴外任一點(diǎn)xR,電場(chǎng)強(qiáng)度水滴的電勢(shì) VREdXR 二R4 0XdxQ

20、4 0RV 66.7 10 12C66.7pC題6-28圖(2)兩水滴合成一較大水滴，電量 Q2Q ,半徑R V2R 1.26R ,水滴外任點(diǎn)x(x1.26R)的電場(chǎng)強(qiáng)度大水滴的電勢(shì)2QVEdx2dxR1.26R40x26-29兩個(gè)同心的均勻帶電球面，半徑分別為R15.0cm,R220.0cm,已知內(nèi)球面的電勢(shì)為V160V,外球面的電勢(shì)V230Vo(1)求內(nèi)、外球面上所帶電量;(2)在兩個(gè)球面之間何處的電勢(shì)為零？解：(1)設(shè)內(nèi)球面帶電量為Q,外球面帶電量為Q2,由電勢(shì)疊加原理V1-2-60V40R140R2V2QQ230V40R240R2由-得：-Q-R2R1Q19040R1R240R1R將Q1的數(shù)值代入式可得：(2)在兩球面之間，電勢(shì)表達(dá)式為令Vr0,得r-Q1R210.0cmQ26-30如圖所示，已知長(zhǎng)為l ,均勻帶電,電量為Q的細(xì)棒，求z軸上一點(diǎn)P(0,a)的電勢(shì)Vp及場(chǎng)強(qiáng)Ep的z軸分量Ez(要求用EV來(lái)求場(chǎng)強(qiáng))解：在細(xì)棒某點(diǎn)x取線元dx,帶電量d