1、中考數學二次函數考點大通關二次函數是初中數學的重要內容，也是中考必考的熱點內容之一.下面就這部分內容的主要考點分類解析，希望能對讀者有所幫助.通關一：求二次函數的解析式(一)利用定義求解2例1 若函數y =(m -m)xm m 是二次函數，則此二次函數的解析式是.2解析:根據二次函數的定義，函數 y = (m2-m)xm 42m是二次函數需滿足兩個條件:未知數的系數 m2m00,未知數的次數 m2+2m1 = 2.由題意，得m2 2m -1 =22.m - m = 0解得m - -3.2m2 -2m-12將 m = -3 代入 y=(m -m)x，得 y=12x.故填 y =12x2. 2(二

2、)利用一般式y = ax +bx+c(a00)求解例2如圖1,在平面直角坐標系中， 一拋物線經過 A,B,C三點，且與x軸的另一個交點為點E ,它的頂點為點 D.(1)求這個二次函數的解析式.(2)求這個二次函數圖象的頂點坐標.(3)填空:把這個二次函數的圖象沿坐標軸方向最少平移 個單位長度，可使得 該圖象的頂點在原點.2解析：由二次函數的一般式 y=ax +bx + c(a#0)可知，只要知道這個二次函數圖象上的三個點的坐標，即可求出該二次函數的解析式 2(1)設二次函數的解析式為y=ax +bx + c(a00).由圖象可知，拋物線經過點A(-1,0), B(0,3), C(2,3).將三

3、個點的坐標代入，得a - b c。c = 3,4a 2b c =3解得所以這個二次函數圖象的解析式為y = -x2 2x 3.(2)因為 y = -x2 +2x+3 = (x1)2 + 4,所以這個二次函數圖象的頂點坐標為(1, 4).(3)因為點(1,4)變為點(0,0),需要向左平移1個單位長度，向下平移4個單位長度，所以應最少平移5個單位長度，才能使得該圖象的頂點在原點.(三)利用頂點式y = a(xh)2+k(a#0)求解, 一一 ，,一，一2一一一一一例3在平面直角坐標系中，二次函數y = ax +bx + c的圖象的頂點坐標為(2, 1),且過點(2,7),求該二次函數的解析式.解

4、析：當已知拋物線的頂點或對稱軸或二次函數的最大(小)值時，將二次函數的解析式設為頂點式y =a(xh)2+k(a =0)來求解較為簡便.根據題意，設二次函數的解析式為y = a(x 2)2 -1.把(2,7)代入解析式，得7 = a(x +2)2 -1.解得a = 1.21 2 r 12所以該二次函數的解析式為y= (x + 2) -1,即y=x +2x+1 .2 2(四)利用交點式y = a(xx1)(x x2)(a #0)求解例4如圖2,在平面直角坐標系中，一拋物線的頂點為點P(3,-2),且拋物線在x軸上截得的線段AB長為4個單位長度，求這個函數的解析式.2解析：當已知二次函數 y =

5、ax +bx+c的圖象與x軸有兩個交點(%,0),(x2,0)時，將二次函數的解析式設為 y = a(x -x1)(x -x2)(a #0)來求解比較簡便.因為拋物線的頂點為點P(3,-2),且拋物線在x軸上截得的線段 AB長為4個單位長度，所以拋物線與x軸的交點分別為點 A(1,0),點B(5,0).設所求二次函數的解析式為y = a(x-1)(x 5).將點 P(3, -2),得-2 =a(3 -1)x(3-5).解得a = 1. 2 11 25所以這個一次函數的解析式為y = (x -1) (x -5),即y = x -3x +.小結:求二次函數解析式的常用方法是待定系數法.當給定的條件

6、不同時，所設的解析式也不一樣，具體如下表所示：形式函數解析式適用范圍一般式給出拋物線上任意三點的 坐標頂點式給出拋物線的頂點坐標 (忙兒)或對稱軸或函數最 大(小)值交點式中-卻)伏一祀)(0)給出拋物線與，軸的交點 坐標通關二：二次函數的圖象與系數的關系例5在平面直角坐標系中，二次函數y = ax2+bx+c(a= 0)的圖象如圖3所示，給出下列四個結論：4ac-b2 <0,4a+c<2b,3b+2c<0,m(am+b)+b <a(m # T),其中正確的結論有().尸一1B.3個D.1個A.4個C.2個2一2解析:觀祭圖象，因為拋物線與x軸有兩個交點，所以 b -4

7、ac >0 ,即4ac-b < 0 .結論正確.因為拋物線的對稱軸是直線x = -1，拋物線和x軸的一個交點在點（0,0）和點（1,0）之間，所以拋物線和x軸的另一個交點應在點（一3,0）和點（一2, 0）之間.所以當x = 2時，y=4a2b+c>0,即 4a+c a2b.結論錯誤因為當x=1時，y = a+b+c<0,所以2a十2b十2c < 0.又因為b=2a,所以 3b +2c<0 .結論正確.因為拋物線的對稱軸是直線 x = -1,所以y=a-b+c的值最大.當x = m時，2.2.r,，* 人y =am + bm +c,所以 am +bm+c&l

8、t;a-b+c ,即 m（am + b）+ b c a .結論正確.因此，正確的結論有 3個.故選B.小結二次函數y =ax2+bx + c（a=0）的圖象是一條拋物線， 開口方向由a決定.當a>0 時，拋物線開口向上；當2<0時，拋物線開口向下.拋物線的對稱軸是直線 x =-旦，頂點2a坐標是（b2a4ac -b4a通關三：拋物線的平移、旋轉和翻折（一）由拋物線的平移來求新得二次函數的解析式. 1 23 . 例6在平面直角坐標系中，將二次函數y=x +x+的圖象先向右平移 2個單位22長度，再向上平移 6個單位長度，所得二次函數的解析式為 .解析:本題應先將二次函數的解析式化為頂

9、點式的形式，再根據平移規律確定平移后所 得的函數解析式.1 231 ,/、2c因為 y = X +x + = (X1) +2,222所得二次函數的解析所以拋物線先向右平移 2個單位長度，再向上平移6個單位長度,121 ._.2-1 2 一 7式應為 y = (x -1 -2) +2 + 6 ,即 y = (x -3) +8 ,也就是 y = - x +3x +.222212八 7故填 y = _ -x 3x .22(二)由拋物線的旋轉來求新得二次函數的解析式例7已知二次函數y =3x2-6x-5,在平面直角坐標系中，將其圖象繞坐標原點順時針旋轉180o,求旋轉后的函數解析式.解析:根據旋轉的特

10、征可知，將拋物線繞原點旋轉180o后，所得到的拋物線與原拋物線的形狀相同，但開口方向變化了，頂點橫、縱坐標是原拋物線頂點橫、縱坐標的相反數一 22 一因為 y =3x 6x5=3(x1) -8所以該拋物線的頂點坐標為(1,-8).所以將拋物線繞原點逆時針旋轉180o后所得拋物線的頂點坐標為(-1,8).所以旋轉后的二次函數的解析式為y = 3(x+1)2 + 8 = 3x2 6x + 5.(三)由拋物線的翻折來求新得二次函數的解析式例8在平面直角坐標系中，將二次函數y = 2x2 + 4x -3的圖象按下列要求進行翻折變換，求翻折后所得二次函數的解析式.沿y軸翻折.(2)沿x軸翻折.解析：(1

11、)拋物線沿y軸翻折只改變拋物線的頂點位置，不改變拋物線的開口方向及開口 大小.因為 y =2x2+4x3 = 2(x+1)2_5,所以翻折前拋物線的頂點坐標為(-1,-5).所以翻折后所得新拋物線的頂點坐標為(1,-5).所以翻折后所得新的二次函數的解析式為y = 2(x1)25,即y = 2x24x3.(2)拋物線沿x軸翻折將同時改變拋物線的開口方向及頂點位置，但拋物線的開口大小 不變.因為拋物線沿x軸翻折后所得新拋物線的頂點坐標為(T,5),22所以翻折后所得新的二次函數的解析式為y = 2(x+1) +5,即y = 2x 4x+3.小結:在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象作平移、旋轉或

12、軸對稱變換，有如下規律:變換方式拋物線的變化情況平移上下平移拋物線開口才向不變，拋物 線上各點的城坐標發生變 化上加下戒”，平移幾個 單位長度就加或減兒左右平移拋物線開口方向不變，拋物 線上各點的橫坐標發生變 化左加右或”，平移幾個 單位長度就加或減幾旋轉繞原點液轉 180°拋物線開口方向改變，頂點 的橫、縱坐標與原拋物殘頂 點的懂、縱坐標互為相反數軸對稱以H軸為 對赤軸拋物線開口才南改變，頂點 坐標的橫坐標不變.姒坐標 與原拋物線頂點的蟻坐標 互為相反數以了軸力對稱軸拋物線開口方向不變，頂點 坐標的縱坐標不變，橫坐標 與原拋物線郁點.的橫坐標 互為相反效通關四：二次函數的圖象和性質

13、例9 已知二次函數 y =ax2+bx + c（其中a A0,b <0,c <0）,關于這個二次函數的圖 象有如下說法：開口一定向上：頂點一定在第四象限；與x軸的交點至少有一個在 y軸 的右側.以上說法正確的個數為（）.A .0B .1C.2D.3解析：因為a >0,所以這個二次函數圖象的開口一定向上.說法正確.因為a >0,b <0 ,所以這個二次函數圖象的對稱軸位于y軸的右側.又由于c<0 ,所以可以判斷圖象的頂點一定在第四象限.說法正確.因為圖象的開口向上，對稱軸位于y軸的右側，c<0,所以圖象與x軸的交點只有一個在y軸的右側.說法錯誤.所以說法

14、正確的有 2個.故選C.一，一 ，一、“，2b -小結:對于二次函數 y=ax +bx+c （a ¥ 0）的圖象，如果a > 0 ,那么當x > -時, 2ab_by隨x的增大而增大，當x一 時，y隨x的增大而減小；如果a <0 ,那么當x>一 時, 2a2a by隨x增大而減小，當x < -時，y隨x的增大而增大.2a通關五：利用拋物線的對稱軸解題(一)利用對稱軸求解析式例10在平面直角坐標系中，二次函數y = ax2 +bx + c的圖象的頂點坐標為(-1,4),圖象與x軸兩交點間的距離為 6,求此二次函數的解析式.解析：因為拋物線的頂點坐標為(-1

15、,4),所以拋物線的對稱軸為直線x = -1.又因為拋物線與x軸兩交點的距離為 6,所以兩交點的橫坐標分別為m =-1-3,x2 =-1+ 3 ,即兩交點的坐標分別為(-4,0),(2,0),求函數的解析式有以下兩種方法：2.解法1：設二次函數的解析式為y = a(x+1) +4.4把(2,0)代入，解得a =.9一 一.，4 ,、2 r4 2832所以二次函數的解析式為y = (x+1) +4,即y = x x+.9999解法2:設二次函數的解析式為y = a(x+4)(x-2). 4把(一1,4)代入，解得a =.94 . .4 2 832 所以二次函數的解析式為y = (x + 4)(x

16、 -2),即y = x x十.9999(二)利用對稱軸比大小233例11已知二次函數 y = x 3x 4 ,右x2- >一x1 >0,試比較V1與y2的大小.2 22 一 33解析：因為一次函數 y = x 3x4的圖象的對稱軸為直線 x=一,且x1A0,223八*2 、0 .2所以x1在對稱軸的左側，x2在對稱軸的右側. 33 33因為x1到對稱軸直線x =的距離為-x1, x2到對稱軸直線x =的距離為x2 -.33因為x2-x1 >0 ,即x2到對稱軸距離大于 x1到對稱軸的距離，22所以、2 y1.(三)利用對稱軸解答方程問題2例12若關于x的方程x + px+1

17、=0(p>0)的兩根之差為1,則p等于().B. 4A. 2C.、,3D. .5解析:設方程x2 + px+1 =0的兩根為x1,x2,則二次函數 y = x2 + px + 1的圖象與x軸兩交點的坐標分別為（x1,0）,（ x2,0）.一2因為二次函數 y = x + px +1的圖象的對稱軸為直線x.衛 x2一p 1 p 1所以 x= -上,x2 =-2 22 2因為 x1gx2 =1 ,解得p2 =5.因為p>0,所以p = % 5 .，一 ,一，2b小結:二次函數y = ax + bx + c（a = 0）的圖象是一條拋物線，對稱軸是直線x =2 a如果拋物線與x軸有兩個交點的話， 那么對稱軸垂直平分兩交點所連的線段，即兩交點到對稱軸的距離相等.通關六：二次函數與一元二次方程的聯系2例13下表是二次函數 y=ax +bx+c的自變重x與函數值y的對應值，判斷萬程ax2+bx+c =0（ a *0 , a,b, c為常數）的一個解x的范圍是（）.X6.176.186J9GOy = ax1