1、GM(1,1)預測模型的應用灰色預測是基于GM(1,1)預測模型的預測，按其應用的對象可有四種類型：(1) 數列預測。這類預測是針對系統行為特征值的發展變化所進行的預測。(2) 災變預測。這類預測是針對系統行為的特征值超過某個闕值的異常值將在何時出現的預測。(3) 季節災變預測。若系統行為的特征有異常值出現或某種事件的發生是在一年中的某個特定的時區，則該預測為季節性災變預測。(4) 拓撲預測。這類預測是對一段時間內系統行為特征數據波形的預測。例1（數列預測）：設原始序列試用GM(1,1)模型對進行模擬和預測，并計算模擬精度。解：第一步：對進行一次累加，得 第二步：對作準光滑性檢驗。由 得。 當

2、k>3時準光滑條件滿足。 第三步：檢驗是否具有準指數規律。由 得 當k>3時，準指數規律滿足，故可對建立GM(1,1)模型。 第四步：對作緊鄰均值生成，得 于是 第五步：對參數列進行最小二乘估計。得 第六步：確定模型 及時間響應序列 第七步：求的模擬值 第八步：還原求出的模擬值。由 得 第九步：檢驗誤差。由下表可算出殘差平方和：誤差檢驗表序號實際數據模擬數據殘差-相對誤差23453.2783.3373.3903.6793.23003.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%平均相對誤差1.6025%

3、 第十步：預測 例2 （災變預測）：某企業生產用原料屬受自然災害影響較大的農產品。一般來說，自然災害的發生有其偶然性，但對歷史數據的整理，仍可發現一定的規律性。為盡量減少生產不受自然災害的影響，該企業希望了解影響原料供應的規律性并提前做好原料儲備，所收集數據見下表，并規定每畝平均收獲量小于320千克時為欠收年份，將影響原料的正常供應，現應用灰色災變預測來預測下次發生欠收的年份。原料收獲統計表年份199119921993199419951996199719981999收獲量(千克)390.6412320559380542553310561年份200020012002200320042005200

4、62007收獲量(千克)300632540406.2314576587318第一步：將上表中年份用序號替換，并找出收獲量小于320千克的年份序號形成初始序列。本例初始序列：一次累加生成序列：的緊鄰均值生成序列：第二步：按建GM(1,1)模型。第三步：預測當t=6時， 因此，下次發生收獲量小于320千克的年份為：2011年至2012年，即四至五年后將出現欠收年份。其他預測類型見參考書。五、殘差GM(1,1)模型 當GM(1,1)模型精度不符合要求時，可使用殘差序列建立GM(1,1)模型，對原來模型進行修正，以提高精度。定義4 設 其中，-為的殘差序列。若存在k0，滿足 1. 2.，則稱 為可建模

5、殘差尾段，仍記為 命題1 設為可建模殘差尾段，其一次累加序列 的GM(1,1)模型的時間響應式為 則殘差尾段的模擬序列為其中 定義5 若用修正則稱修正后的時間響應式 為殘差修正GM(1,1)模型，簡稱殘差GM(1,1)。其中殘差修正值的符號應與殘差尾段的符號保持一致。定義6 若則相應的殘差修正時間響應式稱為累減還原式的殘差修正模型。例題 湖北省云夢縣油菜發病率數據為建立GM(1,1)模型，得時間響應式為作累減還原，得檢驗其精度：列出誤差檢驗表誤差檢驗表序號實際數據模擬數據殘差-相對誤差234567891011121320402540453521141815.5171535.670433.430

6、331.330829.368227.519225.790124.171922.653421.230719.897418.647817.4768-15.67046.5697-6.330810.631817.48089.2099-3.1719-8.6534-3.2307-4.3974-1.6478-2.476878.3540%16.4242%25.3232%26.5795%38.8642%26.3140%15.1043%61.8100%17.9483%28.3703%9.6926%16.5120% 平均相對誤差30.11%由此可見，相對精度不到70%，需采用殘差模型進行修正。取k0=9，得殘差尾段

7、 此為可建模殘差尾段，去絕對值，得建立GM(1,1)模型，得的一次累加序列的時間響應式： 其導數還原值為 由可得累減還原式殘差修正模型為其中，的符號與原始殘差序列的符號一致。按此模型，可對k=10,11,12,13四個模擬值進行休整，修正后的精度如下表：誤差檢驗表序號實際數據模擬數據殘差-相對誤差101112131815.5171517.185816.479915.760415.03720.8142-0.97991.2396-0.03724.52%6.32%7.29%0.25% 平均相對誤差4.595%殘差修正GM(1,1)模型的模擬精度得到了明顯提高。因此時殘差序列已不滿足建模要求，若對殘差

8、精度仍不滿意，就只有考慮采用其它模型或對原始數據序列進行適當取舍。六、GM(1,1)模型群在實際建模中，原始數據序列的數據不一定全部用來建模。我們在原始數據序列中取出一部分數據，就可以建立一個模型。一般來說，去不同的數據，建立的模型也不一樣，即使都建立同類的GM(1,1)模型，選擇不同的數據，參數a,b的值也不一樣。這種變化，正是不同情況、不同條件對系統特征的影響在模型中的反映。例如我國的糧食產量，若采用建國以來的數據建立GM(1,1)模型，發展系數-a偏小；而舍去1978年以前的數據，用剩余的數據建模，發展系數-a明顯增大。定義1 設序列將取為時間軸的原點，則稱t<n為過去，t=n為現

9、在，t>n為未來。定義2 設序列，為其GM(1,1)時間相應式的累減還原值，則：1.當時，稱為模型模擬值；2.當時，稱為模型預測值。建模的主要目的是預測，為提高預測精度，首先要保證有充分高的模擬精度，尤其是t=n時的模擬精度。因此建模數據一般應取為包括在內的一個等時距序列。定義3 設原始數據序列1.用建立的GM(1,1)模型稱為全數據GM(1,1)；2.，用建立的GM(1,1)模型稱為部分數據GM(1,1)；3.設為最新信息，將置入，稱用建立的模型為新信息GM(1,1)；4.置入新信息，去掉最老信息，稱用建立的模型為新陳代謝GM(1,1)。很顯然，新信息模型和新陳代謝模型預測效果會更好。

10、任何一個系統隨著時間的推移，將會不斷地有一些隨機擾動或驅動因素進入系統，使系統的發展受到影響。因此，在實際預測中，必須不斷地將每一個新數據置入，已考慮到這些隨機或驅動因素。相比之下，新陳代謝模型是最理想的模型。隨著系統的發展，老數據的信息意義將逐步降低，在不斷補充新信息的同時，及時地去掉老數據，建模序列更能反映系統在目前的特征。七、GM(1,1)模型的適用范圍可以證明，當GM(1,1)的發展系數時，GM(1,1)模型無意義。因此，是GM(1,1)發展系數a的禁區。在此區間，GM(1,1)模型失去意義。一般地，當時，GM(1,1)模型有意義。但是，隨著a的不同取值，預測效果也不同。通過數值分析，

11、有如下結論：（1）當時，GM(1,1)的1步預測精度在98%以上，2步和5步預測精度都在97%以上，可用于中長期預測；（2）當時，GM(1,1)的1步和2步預測精度都在90%以上，10步預測精度也高于80%，可用于短期預測，中長期預測慎用；（3）當時，GM(1,1)用作短期預測應十分慎重；（4）當時，GM(1,1)的1步預測精度已低于70%，應采用殘差修正模型；（5）當時，不宜采用GM(1,1)模型。八、GM(1,N)、GM(0,N)、GM(2,1) 和Verhulst模型1、GM(1,N)模型1階n維灰色模型。定義：設為系統特征數據序列，而 為相關因素序列，的緊鄰均值生成序列，則稱為GM(1,N)模型。2、GM(0,N)模型定義：設為系統特征數據序列，為相關因素序列，則稱為GM(0,N)模型。GM(0,N)不含導數，因此為靜態模型。它形如多元線性回歸模型，但與一般的多元線性回歸模型有著本質的區別。一般的多