1、 1.3.1 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表柱體、錐體、臺體的表 面積與體積面積與體積1.3 1.3 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積問題提出問題提出t57301p2 1. 1.對于空間幾何體，我們分別從結對于空間幾何體，我們分別從結構特征和視圖兩個方面進行了研究，為構特征和視圖兩個方面進行了研究，為了度量一個幾何體的大小，我們還須進了度量一個幾何體的大小，我們還須進一步學習幾何體的表面積和體積一步學習幾何體的表面積和體積. . 2. 2.柱、錐、臺、球是最基本、最簡柱、錐、臺、球是最基本、最簡單的幾何體，研究空間幾何體的表面積單的幾何體，研究空間幾何體的表面積和體積，應以柱

2、、錐、臺、球的表面積和體積，應以柱、錐、臺、球的表面積和體積為基礎和體積為基礎. .那么如何求柱、錐、臺、那么如何求柱、錐、臺、球的表面積和體積呢？球的表面積和體積呢？知識探究（一）柱體、錐體、臺體的表面積知識探究（一）柱體、錐體、臺體的表面積 思考思考1:1:面積是相對于平面圖形而言的，面積是相對于平面圖形而言的，體積是相對于空間幾何體而言的體積是相對于空間幾何體而言的. .你知道你知道面積和體積的含義嗎？面積和體積的含義嗎？面積面積:平面圖形所占平面的大小平面圖形所占平面的大小 體積體積:幾何體所占空間的大小幾何體所占空間的大小 思考思考2:2:所謂所謂表面積表面積，是指幾何體表面的，是指

3、幾何體表面的面積面積. .怎樣理解棱柱、棱錐、棱臺的表面怎樣理解棱柱、棱錐、棱臺的表面積？積？各個側面和底面的面積之和各個側面和底面的面積之和或展開圖的面積或展開圖的面積.思考思考3:3:圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，側面都是曲面，怎樣求它們的側面面，側面都是曲面，怎樣求它們的側面面積？面積？思考思考4:4:圓柱的側面展開圖的形狀有哪些圓柱的側面展開圖的形狀有哪些特征？如果圓柱的底面半徑為特征？如果圓柱的底面半徑為r r，母線長，母線長為為l，那么圓柱的表面積公式是什么？，那么圓柱的表面積公式是什么？2()Sr rl思考思考5:5:圓錐的側面展開圖的形狀有哪些圓錐

4、的側面展開圖的形狀有哪些特征？如果圓錐的底面半徑為特征？如果圓錐的底面半徑為r r，母線長，母線長為為l，那么圓錐的表面積公式是什么？，那么圓錐的表面積公式是什么？()Sr rl思考思考6:6:圓臺的側面展開圖的形狀有哪些圓臺的側面展開圖的形狀有哪些特征？如果圓臺的上、下底面半徑分別特征？如果圓臺的上、下底面半徑分別為為rr、r r，母線長為，母線長為l，那么圓臺的表面，那么圓臺的表面積公式是什么？積公式是什么？22()Srrr lrl思考思考7:7:在圓臺的表面積公式中，若在圓臺的表面積公式中，若r=rr=r，r=0r=0，則公式分別變形為什么？，則公式分別變形為什么？22()Srrr lr

5、l()Sr rl2()Sr rlr=rr=rr=0r=0知識探究（二）知識探究（二）柱體、錐體、臺體的體積柱體、錐體、臺體的體積 思考思考1:1:你還記得正方體、長方體和圓柱你還記得正方體、長方體和圓柱的體積公式嗎？它們可以統一為一個什的體積公式嗎？它們可以統一為一個什么公式？么公式？思考思考2:2:推廣到一般的棱柱和圓柱，你猜推廣到一般的棱柱和圓柱，你猜想柱體的體積公式是什么？想柱體的體積公式是什么？VSh高高h h底面積底面積S S 思考思考3:3:關于體積有如下幾個原理：關于體積有如下幾個原理： （1 1）相同的幾何體的體積相等；相同的幾何體的體積相等； （2 2）一個）一個幾何體的體積

6、等于它的各部分體積之和；幾何體的體積等于它的各部分體積之和； （3 3）等底面積等高的兩個同類幾何體的）等底面積等高的兩個同類幾何體的體積相等；體積相等； （4 4）體積相等的兩個幾何體叫做）體積相等的兩個幾何體叫做等積體等積體. . 將一個三棱柱按如圖所示分解成三將一個三棱柱按如圖所示分解成三個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有什么關系？它們與三棱柱的體積有什么什么關系？它們與三棱柱的體積有什么關系？關系？ 1 12 23 31 12 23 3思考思考4:4:推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜想錐體的體積公式是什么？想錐體的體積公式是什么

7、？ 13VSh高高h h底面積底面積S S 思考思考5:5:根據棱臺和圓臺的定義，如何計根據棱臺和圓臺的定義，如何計算臺體的體積？算臺體的體積？ 設臺體的上、下底面面積分別為設臺體的上、下底面面積分別為SS、S S，高為，高為h h，那么臺體的體積公式是什么？，那么臺體的體積公式是什么？高高h h下底面下底面積積S S 1()3VSS SS h上底面上底面積積S S 思考思考6:6:在臺體的體積公式中，若在臺體的體積公式中，若S=SS=S，S=0S=0，則公式分別變形為什么？，則公式分別變形為什么？S=SS=SS=0S=01()3VSS SS h13VShVSh作業：作業：P P2828習題習

8、題1.3 A1.3 A組：組： 1 1，2 2，3 3，4 4，5.5. 1.3.2 1.3.2 球的表面積和體積球的表面積和體積1.3 1.3 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積問題提出問題提出 1. 1.柱體、錐體、臺體的體積公式分柱體、錐體、臺體的體積公式分別是什么？圓柱、圓錐、圓臺的表面積別是什么？圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式分別是什么？公式分別是什么？ 2. 2.球是一個旋轉體，它也有表面積球是一個旋轉體，它也有表面積和體積，怎樣求一個球的表面積和體積和體積，怎樣求一個球的表面積和體積也就成為我們學習的內容也就成為我們學習的內容. .知識探究（一）知識探究（一）:球的體

9、積球的體積思考思考1:1:從球的結構特征分析，球的大小從球的結構特征分析，球的大小由哪個量所確定？由哪個量所確定？思考思考2:2:底面半徑和高都為底面半徑和高都為R R的圓柱和圓錐的圓柱和圓錐的體積分別是什么？的體積分別是什么？3VR柱313VR錐思考思考3:3:如圖，對一個半徑為如圖，對一個半徑為R R的半球，其的半球，其體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小關系？關系？思考思考4:4:根據上述圓柱、圓錐的體積，你根據上述圓柱、圓錐的體積，你猜想半球的體積是什么？猜想半球的體積是什么？323VR球思考思考5:5:由上述猜想可知，半徑為由上述猜想可知，半徑為R R

10、的球的的球的體積體積 ，這是一個正確的結論，你，這是一個正確的結論，你能提出一些證明思路嗎？能提出一些證明思路嗎？343VR知識探究（二）知識探究（二）:球的表面積球的表面積思考思考1:1:半徑為半徑為r r的圓面積公式是什么？它的圓面積公式是什么？它是怎樣得出來的？是怎樣得出來的？2rS圓a1a2a3ana4思考思考2:2:把球面任意分割成把球面任意分割成n n個個“小球面小球面片片”，它們的面積之和等于什么？，它們的面積之和等于什么？o思考思考3:3:以這些以這些“小球面片小球面片”為底，球心為底，球心為頂點的為頂點的“小錐體小錐體”近似地看成棱錐，近似地看成棱錐，那么這些小棱錐的底面積和

11、高近似地等那么這些小棱錐的底面積和高近似地等于什么？它們的體積之和近似地等于什于什么？它們的體積之和近似地等于什么？么？o o思考思考4:4:你能由此推導出半徑為你能由此推導出半徑為R R的球的的球的表面積公式嗎？表面積公式嗎？24SR思考思考5:5:經過球心的截面圓面積是什么？經過球心的截面圓面積是什么？它與球的表面積有什么關系？它與球的表面積有什么關系？ 球的表面積等于球的大圓面積的球的表面積等于球的大圓面積的4 4倍倍理論遷移理論遷移 例例1 1 如圖，圓柱的底面直徑與高都等如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：于球的直徑，求證： （1 1）球的體積等于圓柱體積的）球的體積等于圓柱體積的 ；（2 2）球的表面積等于圓柱的側面積）球的表面積等于圓柱的側面積. .23 例例2 2 已知正方體的八個頂點都在球已知正方體的八個頂點都在球O O的球面上，且正方體的表面積為的球面上，且正方體的表面積為a a2 2，求，求球球O O的表面積和體積的表面積和體積. . 例例3 3 有一種空心鋼球，質量為有一種空心鋼球，質量為142g142g（鋼的密度為（鋼的密度為7.9g/cm7.9g/cm3 3），測得其外徑），測得其外徑為為5cm5cm，求它的內徑（精