1、初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）1幾何證明中的幾種技巧一角平分線軸對稱1.已知在 ABC 中，E 為 EC的中點，AD 平分 BAC,BD_AD于 D.AB=9,AC=13 .求DE的長.分析：延長 BD交 AC 于 F.可得 ABDA AFD 則 BD = DF .又 BE = EC，即 DE 為 BCF 的中位1 1DE =FC = (AC AB) =2線.22.t-2 .已知在 A ABC 中， A =108, AB = AC,BD 平分ABC.求證：BC = AB + CD.分析：在 BC 上截取 BE = BA，連接 DE.可得A BAD A BED 由已知可得：ABD /DB

2、E=18,A BED =108C ABC =36 DEC = EDC=72,.CD = CE,.BC = AB + CD .3.已知在 A ABC 中，乙A=100, AB = AC,BD 平分ABC.求證：BC = BD + AD .分析：在 BC上 分別截取 BE = BA,BF = BD .易證A ABD A EBD AD=ED, A =/BED =100：.由已知可得： C =40；,DBF =20：.由VBF= BD, BFD =80.由三角形外角性質可得： CDF =40、=C. .CF = DF.ECCC初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）2:乙BED =100、/ BFD二D

3、EF =80,.ED=FD = CF,.AD=CF,初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）3BC = BD + AD.4.已知在 ABC 中，AC _ BC,CE _ AB,AF平分/CAB，過F作 FD/BC,交 AB于 D.求證：AC = AD.分析：延長 DF 交 AC 于 G.：FD/BC,BC 丄 AC,.FG丄 AC.易證 AGF A AEF. /-EF = FG .則易證 GFC A EFD. /-GC=ED.AC = AD.5 .如圖（1）所示，BD和 CE 分別是LlABC的外角平分線，過點 A作 AF 丄 BD 于 F ,AG 丄 CE 于 G,延長 AF 及 AG與 BC

4、 相交，連接 FG.1 FG = （AB +BC +CA）（1）求證：2（2）若（a）BD 與 CE 分別是UABC的內角平分線（如圖（2）;圖（1）圖（2）圖（3）分析：圖（1）中易證 A ABF A IBF 及 A AC A HCG 有 AB = BI,AC = CH 及 AD=ID,AFG=（AB +BC +CA）G=GH . GF為 A AIH 的中位線.21丄1丄FG =（AB +CA BC）FG = （BC + CA AB）同理可得圖（2）中2；圖（3）中26.如圖， A ABC 中，E 是 BC邊上的中點，DE 丄 BC 于 E,交-BAC的平分線 AD于 D,過 D作 D（b）

5、 BD 是 A ABC 的內角平分線，CE是 則在圖（2）與圖（3）兩種情況下，線段 FG與 并對其中的一種情況給予證明.A ABC 的外角平分線（如圖（3）.A ABC 的三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想,AA初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）4M丄 AB 于 M,作 DN丄 AC 于 N .求證：BM=CN.初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）5分析：在 AC 上 截取 AE = AB，連接 DE.則有A ABD A AED BD = DE.N B =NAED =NC +NEDC.又N B =2/C/ C =NEDC.DE = CE.AC = AB + BD.AE(AB +AD

6、)-BAD，過C作 CE 丄 AB 于 E,且2.求分析：延長 AB到 F,使得 BF = AD .則有 CE 垂直平分 AF,.AC = FC.F = CAE二DAC.有ACBF A CDA(SAS).二CBF = D.ABC ADC =180.二.旋轉1 .如圖，已知在正方形 ABCD 中，E在 BC上 ,卩在 DC上，BE + DF = EF.求證：EAF =45.分析：連接 DE 與 DC.VDE 垂直平分 BC,DB = DC 易證有 DM=DN. BMD2 A CND(HL) .BM=CN. AMD A AND7.如圖，在 A ABC 中，B= 2C,AD 平分BAC.求證：AC

7、= AB + BD.8.在四邊形 ABCD中，AC 平分-ABC : - ADC的度數.初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）6AD口BEC分析：將 ADF 繞 A順時針旋轉90得 L|ABG GAB = FAD.易證 AGEA AFE.FAE =/GAE丄FAG 522如圖，在 UABC中，NACB =90*, AB = BC,D 為 AC 中點.AE 的延長線上任意一點 E.FD 丄 ED 交 BC延長線于 F.求證：DE = DF.分析：連接 BD.則 LBDE可視為 UCDF繞 D順時針旋轉90所得易證 BD 丄 DC 與BD = CD .則NBDE =NCDF.又易證N DBE =N

8、DCF =1353 .如圖，點 E在 A ABC 外部，D在邊 BC 上, DE 交 AC 于 F.若AC = AE .求證： A ABC A ADE分析：若 A ABCA ADE 則 A ADE 可視為 A ABC 繞 A逆時針旋轉4所得.則有N B=ADE. 1 2 =/3GADCA初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）7:厶B+乂1 =NADE +N2，且N1=乂2 .；B =ADE.又TN 1=3.BAC “DAE.再AC = AE. . A ABCA ADE初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）84.如圖， ABC 與 A EDC均為等腰直角三角形，且 C在 AD上.AE 的延長線交

9、 ED 于 F.請你在圖中 找出一對全等三角形，并寫出證明過程.分析：將 Rt A BCD 視為 Rt A ACE 繞 C 順時針旋轉90：即可.5 .如圖，點 E為正方形 ABCD 的邊 CD上一點，點 F 為 CE 的延長線上的一點，且 EA丄 AF .求 證：DE = BF.分析：將 A ABF 視為 A ADE 繞 A順時針旋轉90即可.厶FAB +NBAE =NEAD +NBAE =90.NFBA =NEDA.又FBAEDA =90, AB = AD.A AABF A ADE (ASA) DE = DF.三.平移1 .如圖，在梯形 ABCD中，BD 丄 AC,AC=8,BD=15 .

10、求梯形 ABCD的中位線長.ACB初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）9C10初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）分析：延長 DC到 E使得 CE = AB .連接 EE.可得|_lACEB.可視為將 AC 平移到 BE.AB 平移到 CE.由勾股定理可得 DE=17.梯形 ABCD 中位線長為 8.5.2 .已知在 ABC 中，AB = AC,D 為 AB 上一點，E為 AC 延長線一點，且 BD = CE .求證：DM= EM.分析：作 DF/AC交 BC 于 F.易證 DF = BD = CE .則 DF 可視為 CE 平移所得.四邊形 DCEF 為 UDCEF.DM=EM.四.中點

11、的聯想（一）倍長1 .已知，AD為LIABC的中線.求證：AB + AC 2AD.分析：延長 AD 到 E使得 AE=2AD .連接 BE易證 BE = AC.AB + AC 2AD. BDE CDA2 .如圖，ADEEE011初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）分析：延長 AD到 E使得 AD=ED .易證 ABD A ECD /-EC = AB.一BAD二.CADE = . CAD.AC=EC= AB.3 .已知在等邊三角形 ABC中，D 和 E 分別為 BC 與 AC 上的點，且 AE = CD .連接 AD與 BE 交 于點 P,作 BQ 丄 AD于 Q.求證：BP=2PQ.分析：延

12、長 PD到 F使得 FQ=PQ.在等邊三角形 ABC 中 AB = BC = AC,- ABD = C = 60.又AE = CD,.BD = CE.A ABD A BCECBE BAD.BPQ =/PBA PAB PBADBP =60：.易證 A BPQA BFQ 得 BP = BF，又EBPD=60l.A BPF 為等邊三角形.BP=2PQ .（二）中位線1.已知在梯形 ABCD 中，AD/BC,E 和 F分別為 BD與 AC的中點.1EF = （BC AD）求證：2.分析：取 DC中點 G,連接 EG與 FG .則 EG 為A BCD 中位線，FG為 A ACD 的中位線.1 1 BCA

13、D EG/=2,FG/=2. AD/BC .過一點 G有且只有一條直線平行于已知直線 BC,EF(BC -AD)即 E、F、G共線.2ACAQFnCnGC初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）12（三）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1,AB=BD1 .已知，在UABCD中2.E 為 OA的中點，F 為 OD 中點，G為 EC 中點.求證：EF = EG.ABBD分析：連接 E E.v2, AE = OE.ABECE,VBG=CG.EG =-BCEF =-AD2.又 EF 為 AOD 的中位線.2.EF = EG.2 .在 ABC 中，AD是高，CE 是中線，DC = BE,DG 丄 CE

14、 于 G.求證：（1）CG=EG.（2） B=2.BCE.分析：（1）連接 DE.則有 DE = BE = DC.Rt CDQ Rt EDG（HL）. EG=CG.（2）VDE = BE B= BDE = DEC BCEDEC = BCEB = 2 BCE3.已知：在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC, 的中點.求證： EFG 是等邊三角形.-BOC =60.E、F、G 分別是 OA、OB、CDC初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）213EF=丄AB分析：連接 ED、FC 易證 AOD 與 A BO%為正三角形由已知可得2FG = EG =1DC在 Rt A CDE 與 Rt A CDF 中

15、，有2.EF = EG=FG.即卩EFG是等邊三角形.六.等面積法卜1.已知在 A ABC 中，BAC = 90、, ADXBC 于 D.AE=8,AC=15.求 AD的長.SLABC二ABLAC=BC AD分析：2 2_2 .已知 P為矩形 ABCD中 AD 上的動點（P不與 A或 D重合）.PE丄 AC于 E,PF丄 BD 于F.AB = a,BC =b.問：PE+PF的值是否為一定值？若是，求出此值并證明；若不是，說明理由.EGFB初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）214SLAPC-S_APB=S-ABD= ab又SAPCPELCSD叫PF 分析：連接 PB、PC .易得SAPC二S-APB.PFEOB初中幾何證明中的幾種解答技巧（教師用）i o3 .已知在矩形 ABCD 中，DE=FG,GP 丄 DE 于 P,DQ 丄 FG于 Q.求證：T在EDOG的平分線上.SDGE=丄DGLBc =1DE_PGSDGF=丄DGUBC=GFJQD分析：連接 EG、FD及 OT. /22及22又DE=FG,.PG = QD.易證 RTA PGD Rt QDG(HL).QDG二PGD,PD = QG,PDG二QGD.PE PF =ab初