1、精選優質文檔-傾情為你奉上§8.5空間向量及其運算1 空間向量的概念(1)定義：空間中既有大小又有方向的量叫作空間向量(2)向量的夾角：過空間任意一點O作向量a，b的相等向量和，則AOB叫作向量a，b的夾角，記作a，b，0a，b.2 共線向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數，使得ab.(2)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數1，2，3使得a1e12e23e3，其中e1，e2，e3叫作空間的一個基底3 空間向量的數量積及運算律(1)定義空間兩個向量a和b

2、的數量積是一個數，等于|a|b|cosa，b，記作a·b.(2)空間向量數量積的運算律結合律：(a)·b(a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.4 空間向量的坐標表示及應用(1)數量積的坐標運算設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標表示設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、

3、夾角公式設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，cosa，b(a0，b0) .1 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面()(2)在向量的數量積運算中(a·b)·ca·(b·c)(×)(3)對于非零向量b，由a·bb·c，則ac.(×)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同(×)(5)若A、B、C、D是空間任意四點，則有0.()(6)|a|b|ab|是a、b共線的充要條件(×)2 如圖所示，在平行六面體ABC

4、DA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc答案A解析()c(ba)abc.3 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若xy，則x，y的值分別為()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1答案C解析如圖，()4 同時垂直于a(2,2,1)和b(4,5,3)的單位向量是_答案或解析設與a(2,2,1)和b(4,5,3)同時垂直的單位向量是c(p，q，r)，則解得或即同時垂直于a，b的單位向量為或.5 在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點，E為AD的中點，則_(用a，

5、b，c表示)答案abc解析abc.題型一空間向量的線性運算例1三棱錐OABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是ABC的重心，用基向量，表示，.思維啟迪利用空間向量的加減法和數乘運算表示即可解()().思維升華用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(1)化簡_；(2)用，表示，則_.答案(1)(2)解析(1).(2).題型二共線定理、空間向量基本定理的應用例

6、2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)求證：BD平面EFGH；(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有()思維啟迪對于(1)只要證出向量即可；對于(2)只要證出與共線即可；對于(3)，易知四邊形EFGH為平行四邊形，則點M為線段EG與FH的中點，于是向量可由向量和表示，再將與分別用向量，和向量，表示證明(1)連接BG，則()，由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面(2)因為()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一點O，并連接OM，OA，OB，

7、OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形所以EG，FH交于一點M且被M平分故()()思維升華(1)證明點共線的方法證明點共線的問題可轉化為證明向量共線的問題，如證明A，B，C三點共線，即證明，共線，亦即證明(0)(2)證明點共面的方法證明點共面問題可轉化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明xy或對空間任一點O，有xy或xyzOC(xyz1)即可共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的點，F是AC上的點，且A1E2EB，CF2AF，則EF與平面A1B

8、1CD的位置關系為_答案平行解析取a，b，c為基底，易得(abc)，而abc，即，故EFDB1，且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B1CD.題型三空間向量數量積的應用例3如圖所示，已知空間四邊形AB­CD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求MN的長；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值思維啟迪兩條直線的垂直關系可以轉化為兩個向量的垂直關系；利用|a|2a·a可以求線段長；利用cos 可求兩條直線所成的角(1)證明設p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量兩兩夾

9、角均為60°.()(qrp)，·(qrp)·p(q·pr·pp2)(a2cos 60°a2cos 60°a2)0.即MNAB.同理可證MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(q·rp·qr·p)a2a2a22()×2a2.|a.MN的長為a.(3)解設向量與的夾角為.()(qr)，qp，·(qr)·(qp)(q2q·pr·qr·p)(a2a2cos 60°a2cos 60°a2cos

10、 60°)(a2).又|a，·|cos a×a×cos .cos .向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.思維升華(1)當題目條件有垂直關系時，常轉化為數量積為零進行應用；(2)當異面直線所成的角為時，常利用它們所在的向量轉化為向量的夾角來進行計算應該注意的是(0，0，所以cos |cos |；(3)立體幾何中求線段的長度可以通過解三角形，也可依據|a|轉化為向量求解已知空間中三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設a，b.(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值；(2)若kab與ka2b互相垂直，求實數k的值解

11、(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，a·b(1,1,0)·(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a與向量b的夾角的余弦值為.(2)方法一kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，且kab與ka2b互相垂直，(k1，k,2)·(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，當kab與ka2b互相垂直時，實數k的值為2或.方法二由(1)知|a|，|b|，a·b1，(kab)·(ka2b)k2a2ka·b2b22k2k100，得k2或k.“兩向量同向”意義不清致誤典例：(5分)已知向量a(1,2,3)，b(

12、x，x2y2，y)，并且a，b同向，則x，y的值分別為_易錯分析將a，b同向和ab混淆，沒有搞清ab的意義：a·b方向相同或相反解析由題意知ab，所以，即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x1當x2時，y6；當x1時，y3.當時，b(2，4，6)2a，兩向量a，b反向，不符合題意，所以舍去當時，b(1,2,3)a，a與b同向，所以答案1,3溫馨提醒(1)兩向量平行和兩向量同向不是等價的，同向是平行的一種情況兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件；(2)若兩向量a，b滿足ab(b0)且>0則a，b同向

13、；在a，b的坐標都是非零的條件下，a，b的坐標對應成比例.方法與技巧1利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎2利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數量積運算可以解決一些距離、夾角問題3利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題失誤與防范1向量的數量積滿足交換律、分配律，但不滿足結合律，即a·bb·a，a·(bc)a·ba·c成立，(a·b)·ca·(b·c)不一定成立2求異面直線所成

14、的角，一般可以轉化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應進行轉化A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1 空間直角坐標系中，A(1,2,3)，B(2，1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關系是()A垂直 B平行C異面 D相交但不垂直答案B解析由題意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，與共線，又與沒有公共點ABCD.2 已知O，A，B，C為空間四個點，又，為空間的一個基底，則()AO，A，B，C四點不共線BO，A，B，C四點共面，但不共線CO，A，B，C四點中任意三點不共線DO，A，B，C四點不共面答案D解析，為空間的一個基底，所以，不共面，但

15、A，B，C三種情況都有可能使，共面3 已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2答案A解析由題意知：解得或4 空間四點A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置關系是()A共線 B共面C不共面 D無法確定答案C解析(2,0，4)，(2，3，5)，(0，3，4)假設四點共面，由共面向量定理得，存在實數x，y，使xy，即由得xy1，代入式不成立，矛盾假設不成立，故四點不共面5 如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為()A0 B.C. D.答案A解析設a，b，c，則|b|c

16、|，a，ba，c，cb，·a·(cb)a·ca·b|a|c|cos |a|b|cos 0，cos，0.二、填空題6 已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，a·c4，|b|12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為_答案60°解析由題意得，(2ab)·c0102010.即2a·cb·c10，又a·c4，b·c18，cosb，c，b，c120°，兩直線的夾角為60°.7 已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，則|ba|的最小值為_答案解析ba(1t,2t1

17、,0)，|ba| ，當t時，|ba|取得最小值.8 如圖所示，已知PA平面ABC，ABC120°，PAABBC6，則PC等于_答案12解析因為，所以22222·3636362×36cos 60°144.所以|12.三、解答題9 已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，點A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直線AB上是否存在一點E，使得b(O為原點)?解(1)a(1，3,2)，b(2,1,1)，2ab(0，5,5)，|2ab|5.(2)假設存在點E，其坐標為E(x，y，z)，則，即(x3，y1，z4)(1，1，2)，E(3，1

18、，24)，(3，1，24)又b(2,1,1)，b，·b2(3)(1)(24)590，E(，)，在直線AB上存在點E(，)，使b.10如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值解記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.(1)|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×()6，|，即AC1的長為.(2)bca，ab，|，

19、|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.BD1與AC夾角的余弦值為.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1 若向量c垂直于不共線的向量a和b，dab(、R，且0)，則()AcdBcdCc不平行于d，c也不垂直于dD以上三種情況均有可能答案B解析由題意得，c垂直于由a，b確定的平面dab，d與a，b共面cd.2 以下命題中，正確的命題個數為()若a，b共線，則a與b所在直線平行；若a，b，c為空間一個基底，則ab，bc，ca構成空間的另一個基底；若空間向量m、n、p滿足mn，np，則mp；對空間任意一點O和不共線三點A、B、C，若xyz(其中x，y，zR)，則P、A、B、C四點共面A1 B2 C3 D4答案B解析由共線向量知a與b所在直線可能重合知錯；若ab，bc，ca共面，則存在實數x，y，使abx(bc)y(ca)yaxb(xy)c，a，b，c不共面，y1，x1，xy0，x，y無解，ab，bc，ca能構成空間的一個基底，正確；由向量相等的定義知正確；由共