1、2021/3/91復合函數的導數復合函數的導數2021/3/92一、復習與引入：一、復習與引入：1. 函數的導數的定義與幾何意義函數的導數的定義與幾何意義.2.常見函數的導數公式常見函數的導數公式.3.導數的四則運算法則導數的四則運算法則.4.例如求函數例如求函數y=(3x-2)2的導數的導數,那么我們可以把平方式那么我們可以把平方式 展開展開,利用導數的四則運算法則求導利用導數的四則運算法則求導.然后能否用其它然后能否用其它 的辦法求導呢的辦法求導呢?又如我們知道函數又如我們知道函數y=1/x2的導數是的導數是 =-2/x3,那么函數那么函數 y=1/(3x-2)2的導數又是什么呢的導數又是

2、什么呢?y 為了解決上面的問題為了解決上面的問題,我們需要學習新的導數的運算我們需要學習新的導數的運算法則法則,這就是這就是復合函數的導數復合函數的導數.2021/3/93二、新課二、新課復合函數的導數：復合函數的導數：1.復合函數的概念復合函數的概念:對于函數對于函數y=f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是中間變量是中間變量u的函數的函數, u= (x)是自變量是自變量x的函數的函數,則稱則稱y=f (x)是自變量是自變量x的復合函數的復合函數. 2.復合函數的導數復合函數的導數:設函數設函數 在點在點x處有導數處有導數 ,函數函數y=f(u)在在點點x的對應點的對應點u處有導數

3、處有導數 ,則復合函數則復合函數在點在點x處也有導數處也有導數,且且 或記或記)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;xuxuyy ).()()(xufxfx 如如:求函數求函數y=(3x-2)2的導數的導數,我們就可以有我們就可以有,令令y=u2,u=3x-2,則則 從而從而 .結果與我結果與我們利用導數的四則運算法則求得的結果完全一致們利用導數的四則運算法則求得的結果完全一致., 3,2 xuuuy1218 xuyyxux2021/3/94 在書寫時不要把在書寫時不要把 寫成寫成 ,兩者是不完兩者是不完全一樣的全一樣的,前者表示對自變量前者表示對自變量x的求導的求導,而后者是對中

4、間而后者是對中間變量變量 的求導的求導.)()(xfxfx )(x 3.復合函數的求導法則復合函數的求導法則: 復合函數對自變量的導數復合函數對自變量的導數,等于已知函數對中間等于已知函數對中間變量的導數變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.法則可以推廣到兩個以上的中間變量法則可以推廣到兩個以上的中間變量. 求復合函數的導數求復合函數的導數,關鍵在于分清函數的復合關關鍵在于分清函數的復合關系系,合理選定中間變量合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導量對哪個變量求導,一般地一般地,如果所設中間變量可直接如果所設中間變量可

5、直接求導求導,就不必再選中間變量就不必再選中間變量. 復合函數的求導法則與導數的四則運算法則要有復合函數的求導法則與導數的四則運算法則要有機的結合和綜合的運用機的結合和綜合的運用.要通過求一些初等函數的導要通過求一些初等函數的導數數,逐步掌握復合函數的求導法則逐步掌握復合函數的求導法則.2021/3/95三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數的導數求下列函數的導數:5) 12() 1 ( xy解解:設設y=u5,u=2x+1,則則:.) 12(102) 12( 525) 12()(4445 xxuxuuyyxuxux4)31 (1) 2 (xy 解解:設設y=u-4,u=1-3x,則則

6、:.)31 (1212)3(4)31 ()(5554xuuxuuyyxuxux 42)sin1()3(xy 解解:設設y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則則:.2sin)sin1 ( 4cossin2)sin1 ( 4cos24)(sin)1 ()(3232324xxxxxxvuxvuvuyyxvuxvux 說明說明:在對法則的運用熟練后在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟就不必再寫中間步驟.2021/3/96例例2:求下列函數的導數求下列函數的導數:(1)y=(2x3-x+1/x)4;解解:. ) 116()12( 4)12()12( 42233333 xxxxxxxxxxxy(3

7、)y=tan3x;解解:.secsin3cos1)cossin( 3cos)sin(sincoscos)cossin( 3)cossin(tan3)(tan)(tan342222322xxxxxxxxxxxxxxxxxy (2)51xxy 解解:.)1 (51)1 (1)1(51)1()1(51565425454xxxxxxxxxy(4)221) 32 (xxy ;)1)(32(1) 32(212222xxxxy 解解:.161)32(142)1 (21)32()1 (4232222122212xxxxxxxxxxxxxy 2021/3/97(5):y=sin2(2x+/3)法一法一:. )3

8、24sin(22)32cos()32sin(2 xxxy法二法二:,)324cos(121 xy. )324sin(2 4)324sin(021 xxy練習練習1:求下列函數的導數求下列函數的導數: bxaxyxxyxxxyxycbxaxycossin)5()7643()4()3(211)2() 1 (232232 答案答案:2223221)21 (2)2()( 3)2() 1 (xxxycbxaxcbxaxbaxy 4227421925)76()43(135)4()925()(21)3( xxxxxxy.)2sin()2(41)2sin()2(41sin21)5(xbabaxbababxb

9、2021/3/98例例3:如果圓的半徑以如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圓半徑求圓半徑R= 10cm時時,圓面積增加的速度圓面積增加的速度.解解:由已知知由已知知:圓半徑圓半徑R=R(t),且且 = 2cm/s.tR 又圓面積又圓面積S=R2,所以所以=40(cm)2/s.2102|2|1010RtRtRRS故圓面積增加的速度為故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.例例4:在曲線在曲線 上求一點上求一點,使通過該點的切線平行使通過該點的切線平行于于 x軸軸,并求此切線的方程并求此切線的方程.211xy 解解:設所求點為設所求點為P(x0,y0).則由導數的幾何意義知則由導

10、數的幾何意義知:切線斜率切線斜率. 0, 0)1 (2|)11()(02200200 xxxxxfkxx把把x0=0代入曲線方程得代入曲線方程得:y0=1.所以點所以點P的坐標為的坐標為(0,1),切線方程為切線方程為y-1=0.2021/3/99例例5:求證雙曲線求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓與橢圓C2:4x2+9y2=72在交在交 點處的切線互相垂直點處的切線互相垂直.證證:由于曲線的圖形關于坐標軸對稱由于曲線的圖形關于坐標軸對稱,故只需證明其中一故只需證明其中一 個交點處的切線互相垂直即可個交點處的切線互相垂直即可.聯立兩曲線方程解得第一象限的交點為聯立兩曲線方程解得第一象限的交點

11、為P(3,2),不妨不妨證明過證明過P點的兩條切線互相垂直點的兩條切線互相垂直.由于點由于點P在第一象限在第一象限,故由故由x2-y2=5得得,5, 522 xxyxy;23|31 xyk同理由同理由4x2+9y2=72得得;94894,94822xxyxy .32|32 xyk因為因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直所以兩條切線互相垂直.從而命題成立從而命題成立.2021/3/910例例6:設設f(x)可導可導,求下列函數的導數求下列函數的導數: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy

12、);1(1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 說明說明:對于抽象函數的求導對于抽象函數的求導,一方面要從其形式是把握其一方面要從其形式是把握其 結構特征結構特征,另一方面要充分運用復合關系的求導法另一方面要充分運用復合關系的求導法 則則.2021/3/911 我們曾經利用導數的定義證明過這樣的一個結論我們曾經利用導數的定義證明過這樣的一個結論:“可導的偶函數的導函數為

13、奇函數可導的偶函數的導函數為奇函數;可導的奇函數的導函可導的奇函數的導函數為偶函數數為偶函數”.現在我們利用復合函數的現在我們利用復合函數的導數重新加以導數重新加以證明證明:證證:當當f(x)為為可導的偶函數可導的偶函數時時,則則f(-x)=f(x).兩邊同時對兩邊同時對x 求導得求導得: ,故故 為為 奇函數奇函數.)()()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可證另一個命題同理可證另一個命題. 我們還可以證明類似的一個結論我們還可以證明類似的一個結論:可導的周期函數可導的周期函數的導函數也是周期函數的導函數也是周期函數.證證:設設f(x)為為可導的周期函數可導的周期函數,T為其一個為其

14、一個周期周期,則對定義則對定義 域內的每一個域內的每一個x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時對兩邊同時對x求導得求導得: 即即 也是以也是以T為為周期的周期函數周期的周期函數.),()(xfTxTxf )(Txf )().(xfxf 2021/3/912例例7:求函數求函數 的導數的導數. 11311)(2xxxxxf說明說明:這是分段函數的求導問題這是分段函數的求導問題,先根據各段的函數表達先根據各段的函數表達 式式,求出在各可導求出在各可導(開開)區間的函數的導數區間的函數的導數,然后再用然后再用 定義來討論分段點的可導性定義來討論分段點的可導性.解解:當當x1時時, . 131

15、2)(xxxxf又又 ,故故f(x)在在x=1處連續處連續.2) 1 ()(lim)(lim11 fxfxfxx而而; 2) 1(lim121lim1) 1 ()(lim1211 xxxxfxfxxx;33lim12)1(3lim1)1()(lim111 xxxxxxfxf,11)(lim1) 1 ()(lim11 xxfxfxfxx從而從而f(x)在在x=1處不可導處不可導.1312)( xxxxf2021/3/913四、小結：四、小結： 利用復合函數的求導法則來求導數時利用復合函數的求導法則來求導數時,選擇中間變選擇中間變量是復合函數求導的關鍵量是復合函數求導的關鍵.必須正確分析復合函數是

16、由必須正確分析復合函數是由哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的,分清其間的分清其間的復合關系復合關系.要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體,這個暫時的整體這個暫時的整體,就是中間變量就是中間變量.求導時需要記住中間變求導時需要記住中間變量量,注意逐層求導注意逐層求導,不遺漏不遺漏,而其中特別要注意中間變量而其中特別要注意中間變量的系數的系數,求導后求導后,要把中間變量轉換成自變量的函數要把中間變量轉換成自變量的函數.2021/3/914 在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點的切線在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點的切

17、線問題問題,但在上面的解法中回避了點在第二、三、四象限但在上面的解法中回避了點在第二、三、四象限的情況的情況.可能有同學會提出對于二次曲線在任意點的切可能有同學會提出對于二次曲線在任意點的切線怎樣求的問題線怎樣求的問題,由于它涉及到隱函數的求導問題由于它涉及到隱函數的求導問題.我們我們不便去過多的去研究不便去過多的去研究. 下面舉一個例子使同學們了解一下求一般曲線在任下面舉一個例子使同學們了解一下求一般曲線在任意點的切線的方法意點的切線的方法.(說明說明:這個內容不屬于考查范圍這個內容不屬于考查范圍.)例子例子:求橢圓求橢圓 在點在點 處的切線方程處的切線方程.191622 yx)323, 2

18、(解解:對橢圓方程的兩邊分別求導對橢圓方程的兩邊分別求導(在此把在此把y看成是關于看成是關于x 的函數的函數)得得:.169, 02912161yxyyyx .43|2323 xyyk于是所求切線方程為于是所求切線方程為:. 03843),2(43233 yxxy即即備用備用2021/3/915利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下:(1)過圓過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點上一點P0(x0,y0)的切線方程是的切線方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)過橢圓過橢圓 上一點上一點P0(x0,y0)的切線方程是的切線方程是:12222 byax. 12020 byyaxx(2)過橢圓過橢圓 上一點上一點P0(x0,y0)的切線方程是的切線方程是: