1、一般化方法解題的基本策略 08數學教育 華玲摘要：在解決數學問題時，一般來說，特殊情況往往更易被人們接受，便于人們去認識。然而我們也會遇到一些比較復雜的特殊問題，它并不能將一般性的特性反映出來，這時我們就需要將原問題的范圍擴大，找出一個能揭示原問題基本特性的一般問題，進而解決原特殊問題，這種一般化方法解題策略往往會帶來意想不到的效果。本文總結了一般化方法的含義和解題模式，通過具體實例闡述了在解題過程中如何運用一般化方法。關鍵詞：一般化方法 解題 策略 數學的實際教學過程中，我們往往會遇到一般和特殊兩種情況，一般化和特殊化便是我們解決問題的兩種重要方法，在多數情況下，特殊問題簡單、直觀，易于人們

2、認識、接受。但也有一些情況下，特殊問題比較復雜，給解題帶來了困難，這個時候我們不妨直接先去求解相應的一般性問題，進而再去解決原先的特殊問題，我們把這種解題的策略叫做一般化方法解題策略。在教學中有意識地對學生進行一般化方法思想的培養，不僅可以激發學生對學習數學的興趣，還能提高學生的創新思維能力。本文總結了一般化方法的含義和解題模式，通過具體實例闡述了在解題過程中如何運用一般化方法。1 一般化方法含義及解題模式一般化方法就是從個別到普遍的認識方法，所謂一般化方法就是把要解決的問題放到一般情形中去思考，在對一般情形思考的過程中總結出對特殊問題進行研究思考的方法，當我們遇到一些特殊問題按照問題的要求去

3、研究解決有困難時，可以考慮適當放寬條件或者改變一些條件的限制，使問題原本的要求得以放寬，將需要處理的問題放在一個更為一般的情形中去考慮，在這樣一個一般情形的基礎上進行探索研究，先將這樣的一般情形問題解決好，然后將在這樣的一般情形下處理問題的思想方法轉用到原先需要研究解決的特殊情形中，最后就能得出了原問題的解，這就是解題的一般化方法。一般化的探索方向有兩種，一種是放寬或取消某項約束條件，還有一種就是將結論中的數量形式或關系普遍化，很多時候，一般情形要比特殊情形更能反映問題的本質規律，因為在一般情形中，條件有了適當的放寬，一些條件的限制也得到了改變，這時問題所涉及的條件范圍也變大了，使得我們在解決

4、問題的過程中能更好地把這些條件聯系在一起，從而更易得出結論，問題更易解決。因此對很多數學問題我們都可以采用這種構造一般情形對原問題進行分析，再轉用于特殊情形的方法。一般來說用一般化方法解決問題我們通常需進行如下步：(1)要從原問題的不同方面進行分析，找出能使問題一般化的有關因素，構造出一個一般化情形下的問題；（2）對構造好的一般情形下的問題進行分析解決；（3）返回原問題，原問題得解。以上的步驟我們通常可表示成如下的模式圖：構造原問題 一般性問題退回原問題的解 一般性問題的結論其中在一般化方法解題的步驟中，依據原問題構造一個恰當的一般問題是最為關鍵的一步。2 一般化方法在解題中的應用例1 計算

5、分析：在這樣一道計算題中，由于數字比較大，如果我們還是按照算術的運算性質來一步一步直接計算運算量是比較大的，尤其是不允許運用計算器的情況下，這個時候我們可以先暫時放下具體的數字，先來構造它的一般情形，將具體的數字用字母來代替。 我們可以將它構造成如下的一般問題：計算. 因為= = = =, 當n=2008時，由上述一般化問題的結果可得，原式=4030055. 簡評： 這一題得探索方向是將結論中的數量形式或關系普遍化，在解題目時，有時用這些特殊的數字區計算已經很麻煩，卻還要將它升級為一般的字母來代替求解，這時我們便會發現其實在用字母代替的一般情形下，我們更容易發現解題的規律，再從這個一般情形轉移

6、到特殊情形中問題就很容易解決。例2 證明：+ .分析：將上述命題一般化，即證明 + (n1)。這是有關自然數的命題，可考慮用數學歸納法證明。證明 當n=2時，1+=×，命題成立。假設當n=k(k2, kN+)時，命題成立，即 +。 當n=k+1時+=×. 即，當n=k+1時命題也成立， 由數學歸納法可知一般化命題成。取n=1000時，有上述一般化問題的結果可得，原不等式成立。簡評：在解決這道題目時，解具體問題時由于分母帶有根號而且不等式的左邊要從順次一直加到，這樣解決起來就比較困難，所以我們轉而去探索問題的一般情形，這不僅促成了原問題的解決，而且大大提高了探索發現及解決問題

7、的能力。例3 平面上隨意給出20000個點，試問:能否用一條直線將它們隔開，使得直線的兩側各有10000個點？ 分析:為了便于思考，不妨先考察下面的一般問題：平面上隨意給出2n個點，試問能否用一條直線將它們隔開，使得直線的兩側各有n個點？ 求解這個一般問題的關鍵在于找到這樣一條直線L，它在平面上平移的過程中至多一個已知點在直線上，這是可以辦到的，只要取直線L不平行于2n個點中任意兩點的連線即可。 取一條直線L使這2n個點都在L的同側，并使L不平行于2n個點中任意兩點的連線，于是，這2n個點P、P到P、P再到P到L的距離各不相同，設這些距離依次排列為d<d<d<d<d將L

8、向已知點一側平移，則在移動過程中至多有一個已知點在直線上，當L越過第n個點而尚未到達第n+1個點即到L的位置，即L與L的距離d滿足d<d<d時，直線L的兩側就各有n個點； 而原問題即為n=10000時的特殊情形，自然可以做到。 簡評：上述例子表明，對于已知數據偏大的特殊問題，恰當的考慮一般問題，有助于揭示事物的本質，獲取問題的解法。例4 已知A、B是拋物線y2=2x上異于點P（2，2）的兩個動點，若，則直線AB必過哪一定點？分析：將本題一般化就成了研究：若拋物線y2=2px(p>0)的內接直角三角形PAB的直角頂點為定點P（x0,y0），則其斜邊AB所在的直線恒過定點。如圖，

9、設A（x1,y1）, B(x2,y2) ，則y12=2px1 ，y22=2px2 ， 因為KAB= ， ，所以AB中點為（）,AB方程為.即 由APBP可得，.代入得，AB方程為，因此直線AB恒過定點（x0+2p,-y0），以上這種思路將（y1+y2）作為一個整體，較為簡捷，令x0=2,y0=2,p=1,易得本題中直線AB必過定點（4，-2）。 簡評：這一題得探索方向是將結論中的數量形式或關系普遍化當遇到某些不能容易給出解決方法的問題時，轉化為一般問題，一般問題解決了，原問題自然獲解。 例5 設P是大于3的素數，m=p-1，求證：m能被24整除。 分析：證明這個命題的困難在于：我們一時不知如何

10、利用“p是大于3的素數”這個條件，一個比較自然的想法是：若能寫出大于3的素數p的一般表達式，也許有助于問題的解決，然而，尋求這樣的表達式是不可能的，這時我們就把條件放寬一些，即把問題一般化，改求大于3的奇數p的一般表達式： p=3+2n （nN） （1）其中N=N0.當n=3k(kN)，由（1）表達的數p不是素數，故不妨設n=3k+1或n=3k+2 (kN).代入（1）得 p=6k+5 （kN） （2）或 p=6k+7 （kN） （3） 雖然，由（2）或（3）表達的數p并不都是素數，但所有大于3的素數都包含在這些數p中，將(2)和（3）分別代入m的表達式，可得 m=12(3k+2)(k+1)

11、（kN） （4）或 m=12(3k+4)(k+1) （kN） （5）顯然，不論k是奇數還是偶數，（3k+2）(k+1)與(3k+4)(k+1)總是偶數，故知由（4）或（5）表達的數m總能被24整除，因此，p為大于3的素數時，m能被24整除。簡評：這是一道證明題，如果按題目原本的要求進行證明就顯得比較困難，這時我們就適當放寬條件，選擇運用一般化方法來進行解決，問題就迎刃而解。用一般化方法解題，無論是將結論中的數量形式或關系普遍化，還是放寬或取消其中的某項約束條件，都能使我們的解題變得簡單方便。3 應用一般化方法的啟示新課程下，在教學中不僅要靠教師的教，更要使學生學會如何去學，教師要引導學生巧妙運

12、用數學思想方法解決問題，巧妙地運用數學思想解題能夠大大地提高學生分析、解決問題的能力，在問題解決中能夠將復雜問題簡單化，給解題帶來很多方便，同時學生的創新思維能力也得到了進一步的提高。通過以上例題的求解我們知道一般化方法實際上就是設法構造一個與原問題形式一致且易于解決的一般性問題，即尋找處理問題的一般特例，在一般情形的處理下探索解決原問題的方案，但在構造一般性問題時，需要注意進行觀察分析原問題的形式包括原問題的性質特征，并將它們歸納整理成形式一般且具有一定規律的一般性問題，只有這樣考慮到原問題各方面的性質特征后才能構造出一個對解決原問題有引路作用的一般問題。一般化方法是一種重要的解題策略，它是數學問題探索的一個常用方法，在一般化解題的過程中，不僅深化了學生對數學問題的認識，使學生能夠舉一反三，還能夠培養學生對問題觀察、分析、比較和發現的數學能力，培養學生的創新精神。因此，在數學教學中，教師要積極引導學生，有意識地對學生進行一般化方法思想的培養，這樣既培養了學生的創新思維能力，增強了對問題本質的認識，又激發了學生學習數學的興趣。參考文