1、-1- -2-其通解的結構如何其通解的結構如何?如何寫出其向量形式的通解如何寫出其向量形式的通解?齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax解的結構解的結構本章以向量為工具討論線性方程組解的結構本章以向量為工具討論線性方程組解的結構主要內容主要內容:非齊次線性方程組非齊次線性方程組 Ax解的結構解的結構0 Ax如果當齊次線性方程組如果當齊次線性方程組有無窮多解時有無窮多解時,問題問題:1. Ax2.如果當非齊次線性方程組如果當非齊次線性方程組有無窮多解時有無窮多解時,其通解的結構如何其通解的結構如何?如何寫出其向量形式的通解如何寫出其向量形式的通解?-3-對于對于方程組方程組)0( bbxAnm )

2、()()()()1(ArArArAr 無無解解有有解解nArAr )()()2(有惟一解有惟一解nArAr )()()3(有有無無限限多多解解對于對于方程組方程組0 xAnmnAr )(只只有有零零解解)(nAr 有非零解即有無限多解有非零解即有無限多解-4- -5-記記 Ax = 0 的解集為的解集為:0|)( xARxANnmn(1) 1.解向量解向量:, 0 A滿滿足足若若0 AX是是方方程程組組則則稱稱 的一個解向量的一個解向量.2.解向量的性質解向量的性質:0, 0,2121 AA滿滿足足如如果果0)(2121 AAA則則(2) , 0 A滿滿足足若若0)(, kAkARk有有則則對

3、對于于不妨不妨設設t ,21是是 N(A) 的最大無關組的最大無關組(稱為基礎解系稱為基礎解系)則則:由由(1),(2)可知可知ttkkkx 2211( 取任意實數取任意實數)ik的通解。的通解。是方程組是方程組0 AX-6- 0252 062 420832 03 2 543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通過下面的例子通過下面的例子, 來解決以上問題來解決以上問題例例1問題問題:對于給定的方程組如何求其基礎解系對于給定的方程組如何求其基礎解系?BAr 0000000000541003102125121620428312131021解解: 5435421543

4、2xxxxxxx-7- 3524323123211 54 32kxkxkkxkxkkkx 54354215432xxxxxxx332211105-030140100012 kkkx321, 是解嗎是解嗎?321, 線性無關嗎線性無關嗎?任一解都任一解都 可由可由 表示嗎表示嗎?321, 基礎解系所含向量的個數基礎解系所含向量的個數 = ?321, 是基礎解系嗎是基礎解系嗎?352412,kxkxkx 令自由變量為任意實數令自由變量為任意實數 說明說明: :1.1.基礎解系不惟一基礎解系不惟一2.2.但所含向量的但所含向量的個數唯一且等于個數唯一且等于n-R(A)n-R(A)-8-齊次方程組解的

5、結構定理齊次方程組解的結構定理齊次方程組齊次方程組 的基礎解系所含向量個數為的基礎解系所含向量個數為0 XAnm)(2211Rkkkkxirnrn )(ARrrn rn ,21設一個基礎解系為設一個基礎解系為:則通解為則通解為:例例設階矩陣的秩為，設階矩陣的秩為， 的每行元素之和的每行元素之和為零，寫出的通解為零，寫出的通解解：解：0 XAnn的基礎解系所含向量個數為的基礎解系所含向量個數為1)( ARnT)1 , 1 , 1( 而而又又00 的的解解向向量量且且是是方方程程組組AX則通解為：則通解為：RkkkT ,)1 , 1 , 1( -9-例例2設設 , 是是 的的1)( nArnm21

6、, 0 Ax兩個不同的解向量兩個不同的解向量, k 取任意實數取任意實數, 則則 Ax = 0 的通解是的通解是)(D)(C)(B)(A)212121 kkkk例例3設設 ,證明證明OBAlnnm nBrAr )()(證證,21lB 記記則由則由), 1(0liAOABi 說明說明), 1(lii 都是都是0 Ax的解的解)()(,21ArnANrrl 因此因此nBrAr )()(移項移項-10-例例4.已知已知)(mnAmn 矩矩陣陣的列向量組是齊次線性的列向量組是齊次線性方程組方程組0 MX的基礎解系的基礎解系, B是是m階可逆矩陣階可逆矩陣,試試證證:AB的列向量組也是齊次線性方程組的列

7、向量組也是齊次線性方程組0 MX的基礎解系的基礎解系.證明證明:00 MABMA則則AB的列向量組是齊次線性方程組的列向量組是齊次線性方程組0 MX的解向的解向量量個個向向量量的的基基礎礎解解系系含含又又mMX0 個向量且有個向量且有的列向量組含的列向量組含而而mABmARABR )()(由條件可知由條件可知A的列向量組線性無關且含的列向量組線性無關且含m個向量個向量所以所以AB的列向量組線性無關的列向量組線性無關, 即是方程組即是方程組0 MX的基礎解系的基礎解系.-11- -12-)1(. XAnm)2(.0 XAnm( ) 設設 都是都是(1)的解的解,則則21, 21 x是是(2)的解

8、的解.( ) 設設 是是(1)的解的解, 是是(2)的解的解,則則 仍是仍是(1)的解的解. x設設 是是(1)的一個解的一個解(固定固定), 則對則對(1)的任一解的任一解 x x是是 (2)的解的解,從而存在從而存在 使得使得ikrnrnkkkx 2211 rnrnkkkx2211由此得由此得:1.解向量解向量: 如如果果向向量量 nmA滿足滿足的一個解向量的一個解向量為方程組為方程組則稱則稱 XAnm2.性質性質:）的基礎解系，）的基礎解系，為（為（其中其中2,21rn -13-非齊次方程組解的結構定理非齊次方程組解的結構定理 的一特解解的一特解解, 是是設設 )(2211Rkkkkxi

9、rnrn XAnm非非齊齊次次方方程程組組則當非齊次線性方程組有無窮多解時其通解為則當非齊次線性方程組有無窮多解時其通解為:例例5. 3)(,46 ARaAij設設 AX是非齊次方程組是非齊次方程組，已知已知321的三個解向量的三個解向量 T5 , 4 , 3 , 21 T4 , 3 , 2 , 132 的的通通解解。求求方方程程組組 AX解解:043)( AXAR的基礎解系的基礎解系 含一個向量含一個向量03 ,25, 2 ,232321 T RkkXTT ,6 , 5 , 4 , 35 , 4 , 3 , 2通通解解為為：-14- .2132, 13, 0432143214321xxxxx

10、xxxxxxx 2132111311101111A,00000212100211011 212 2143421xxxxx例例6故故方方程程組組有有無無窮窮多多解解可可見見, 42)()( ArAr解解 444322421212 21xxxxxxxxx 00120100112121214321kkxxxx).,(21Rkk -15-例例7)(21)A(212211 kk121211)()B( kk)(21)()C(2121211 kk)()D(2112211 kk21, 設設 是非齊次是非齊次 Ax = b 的兩個不同的解的兩個不同的解21, 其對應的齊次方程組的基礎解系其對應的齊次方程組的基礎

11、解系, 則則 Ax = b 的通解是的通解是(多選多選)-16-例例8.已知方程組已知方程組 033321321321321xaxxaxxxxxx問問:a為何值時為何值時,方程組有唯一解方程組有唯一解?無解無解?無窮多解無窮多解?有無窮多解時求出通解有無窮多解時求出通解.解解:,03132111時，方程組有唯一解時，方程組有唯一解當當 aa30 aa且且即即時時，當當0 a 000012100301030130321111r所以有無窮多解所以有無窮多解, RkkXTT ,0 , 1 , 01 , 2 , 3其其通通解解：-17-時時，當當3 a 300011101111033133321111

12、r因為系數矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩因為系數矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩,所以方程組無解所以方程組無解.例例9.bAX 組組是是四四元元非非齊齊次次線線性性方方程程設設321, 的三個的三個解向量解向量, TTAr3 , 2 , 1 , 0,4 , 3 , 2 , 1, 3)(321 且且的的通通解解：則則線線性性方方程程組組bAXRc , TTcA1 , 1 , 1 , 14 , 3 , 2 , 1)( TTcB3 , 2 , 1 , 04 , 3 , 2 , 1)( TTcC5 , 4 , 3 , 24 , 3 , 2 , 1)( TTcD6 , 5 , 4 , 34 , 3 , 2 , 1

13、)( C-18-例例10設線性方程組設線性方程組 0302022321321321xxxxxxxxx 的系數矩陣為的系數矩陣為A,存在存在 , 0033 ABbBij且且 求求解解:, 00 ABB且且則則B的列向量組為的列向量組為AX=0的解向量的解向量,0有非零解有非零解 AX10 A即即例例11的的導導出出是是非非齊齊次次矩矩陣陣，是是設設bAXAXnmA 0齊次線性方程組齊次線性方程組,則下列結論正確的是則下列結論正確的是有有唯唯一一解解僅僅有有零零解解，則則）（bAXAXA 0有有無無窮窮多多解解有有非非零零解解，則則）（bAXAXB 0僅僅有有零零解解則則有有無無窮窮多多解解）（0

14、, AXbAXC有有非非零零解解則則有有無無窮窮多多解解）（0, AXbAXDD-19-例例2已知方程組已知方程組 033321321321321xaxxaxxxxxx問為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多個解？問為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多個解？在方程組有無窮多個解時求出通解在方程組有無窮多個解時求出通解（考試題）（考試題）解：解：時，時，當當03132111 aa方程組有唯一解方程組有唯一解即即30 aa且且當時當時當時當時-20-思考題思考題:1.求求: 204131210131431104122.設設A為為3階方陣階方陣,且且162, 4 AAA求求3.如果非齊次方程組的增廣矩陣經過初等行變換化為如果非齊次方程組的增廣矩陣經過初等行變換化為,3410011010 求該方程組的通解求該方程組的通解