1、 第三章第三章 層流流動(dòng)的精確解層流流動(dòng)的精確解 第一節(jié)第一節(jié) 平行流動(dòng)平行流動(dòng) 第二節(jié)第二節(jié) 駐點(diǎn)附近的平面運(yùn)動(dòng)駐點(diǎn)附近的平面運(yùn)動(dòng) 第三節(jié)第三節(jié) 旋轉(zhuǎn)盤引起的流動(dòng)旋轉(zhuǎn)盤引起的流動(dòng) 第四節(jié)第四節(jié) 緩慢流動(dòng)的緩慢流動(dòng)的N NS S方程的近似解方程的近似解 第五節(jié)第五節(jié) 滑動(dòng)軸承內(nèi)的流動(dòng)滑動(dòng)軸承內(nèi)的流動(dòng) 由于NS方程的非線性，一般情況下在數(shù)學(xué)上尋求其精確解有巨大的困難。大多數(shù)實(shí)際問題要引入不同程度的物理或數(shù)學(xué)上的近似求近似解。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)值求解越來越重要。 精確解本質(zhì)上是層流解。從方程上看精確解盡管在高雷諾數(shù)下其數(shù)學(xué)關(guān)系是正確的，但是在高雷諾數(shù)時(shí)流體運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，在物理上數(shù)學(xué)解不存在。 精確

2、解雖然簡(jiǎn)單，數(shù)量少，但卻有重要的理論和實(shí)踐意義： 揭示粘性流動(dòng)的一些本質(zhì)特征； 應(yīng)用于發(fā)展新的數(shù)值計(jì)算方法； 作為研究復(fù)雜問題初步估算和求解的基礎(chǔ)； 探求新理論。 1 第一節(jié) 平行流動(dòng) 粘性流動(dòng)的動(dòng)量方程應(yīng)包括粘性項(xiàng)，是二階偏微分方程，應(yīng)采用物體表面上流速為零的邊界條件。 平行流動(dòng)是流動(dòng)中最簡(jiǎn)單的一種。平行流動(dòng)中，所有的質(zhì)點(diǎn)均沿同一方向流動(dòng)，即只有一個(gè)速度分量不等于零，令其為x方向，即u0，而另外兩個(gè)y，z方向上速度分量v，w 均為零。 從連續(xù)方程可以得出 ，因此對(duì)于平行流動(dòng)(二階線性偏微分方程 )0ux200),(wvtzyuu0, 0ppyz2222zuyuxptu（31）利用NS方程可以

3、得到 ，壓強(qiáng)p為P（x）（32）式（32）為二階線性偏微分方程。3 1、庫(kù)埃特(Couette)流動(dòng) 兩個(gè)平行壁面間的平行流動(dòng)，一個(gè)壁面靜止不動(dòng)，另一個(gè)壁面以速度U沿x軸運(yùn)動(dòng)（圖31）。由于粘性，運(yùn)動(dòng)壁面將帶動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)。通過流體的內(nèi)摩擦，這個(gè)運(yùn)動(dòng)的影響傳播到整個(gè)流動(dòng)區(qū)域。設(shè)上下兩個(gè)壁面的寬度為無窮遠(yuǎn)，流動(dòng)為二維定常平行流動(dòng)，因而 ，方程（32）將有以下形式022ypyuxp( )uf y（33）4 圖31 平行平板間的流動(dòng) y U dp dx/ 0 xh5 由于，p只是x的函數(shù)；又由于u只是y的函數(shù)，故 只是y的函數(shù)，那么 = 常數(shù)。 邊界條件為：（34）式積分并代入邊界條件則得：Cyu22x

4、pxp00uyuUyh2d12duyhp yyUhUx hh（34）（35）6 令 為量綱為1的壓力梯度稱為Brinkman數(shù)。解(3-5)的量綱為1的形式為： 式中:22hdpBUdx*1* 1*uyyyuByByyUhhh*yyhUuu *（36）圖3.2 兩平行直壁之間的庫(kù)埃特流動(dòng) 7（1） 順流壓力梯度為零時(shí)：流速為線性分布稱為簡(jiǎn)單的Couette流動(dòng)。（2）當(dāng)B0， ，壓力順流遞減稱為順壓梯度，在整個(gè)斷面上流速為正值，當(dāng)B值很大時(shí)，流動(dòng)接近Poiseuille流動(dòng)的拋物線分布。（3）當(dāng)B1時(shí)：令 則（0,0dpBdx0dxdpuyUh*,uyuyUh*2*2*2* 2 2 uuuyy

5、yyB值不同，流動(dòng)曲線不同(1)uyyyUhhh8 (4) 在 ， 流動(dòng)在靠近下壁為負(fù)值有回流出現(xiàn)。這就是說明由于流體的帶動(dòng)上壁的運(yùn)動(dòng)速度傳到下壁附近時(shí)，不足以抵抗逆壓梯度的作用，而產(chǎn)生反向回流。*0y 1B 2d2dpUxh 可見 曲線為凹曲線，在 時(shí)，曲線與 y* 軸相切。 時(shí)為流動(dòng)要產(chǎn)生回流的臨界狀態(tài)。 2d2dpUxh*( *)uf y2、泊肅葉(Poiseuille)流動(dòng)(1) 平面Poiseuille流動(dòng)9 在兩個(gè)平行平板之間充滿粘性流體，上下兩板均靜止不動(dòng)，而順壓梯度 ，坐標(biāo)系仍如圖31所示。方程仍如（33）式，邊界條件為： 可以看出：有壓梯度的Couette流動(dòng)是簡(jiǎn)單Couet

6、te流動(dòng)和Poiseuille流動(dòng)的疊加。constdxdpbyubyu001222bydxdpbu流動(dòng)的解為：（37）10 管道很長(zhǎng)時(shí)，除了進(jìn)口段，可以認(rèn)為管流為二維流動(dòng)，采用圓柱坐標(biāo) 系，連續(xù)方程為：0 xururrruxrruuxuxu( , , )rz(2)充分發(fā)展的管流圓管中的Poiseuille流動(dòng)其中， 均為0。只有 不為零，令 =可以看出 ，即流速分布沿管的軸線x是相同的。 圖3.3 圓管中泊肅葉流動(dòng) 0ux11u由于 只能是常數(shù) 式（38）為：積分時(shí)，代入邊界條件： 22101 10110prprudpuuuxdxrrr dxdprdxdpdrdudrudr122000rru

7、rdrduNS方程（38）（39）12圓管中Poiseuille流動(dòng)的速度分布： 圓管中心處最大流速 斷面平均速度 斷面的過流量20241rrdxdpudxdpru420maxdxdpru820dxdprurQ84020（310）（311）（312）13 令 ，代入平均速度公式，可得 水頭損失系數(shù): 212dpdxud Re64 圖34 圓管中層流的損失系數(shù)的理論與試驗(yàn)的比較（313）圖中1為式(3-13)的結(jié)果143、突然以勻速滑動(dòng)平板引起的流動(dòng) Stokes第一問題 oU22yutu0000000uytUuytut基本方程：邊界條件： 圖35 流體中突然起動(dòng)的平板（314）15 與熱傳導(dǎo)方

8、程相似，在t0時(shí)壁面y0突然加熱到某一溫度T0。因而引起整個(gè)空間的熱傳導(dǎo)的溫度場(chǎng)?，F(xiàn)令量綱為1的坐標(biāo)：ty2ttty2121 01002ffff)(0fUu 方程（314）變?yōu)椋海?15）16常微分方程的解為： erfc稱為補(bǔ)償誤差函數(shù)；erf為高斯誤差函數(shù)，它的數(shù)值可由有關(guān)手冊(cè)中查到。 erfcUu0)(1)exp(2)(2erfderfc02)exp(21d（316）17 圖36 突然以勻速U0運(yùn)動(dòng)平板引起的速度分布 18 壁面切應(yīng)力的分布： 圖36所示為量綱為1形式的速度分布圖形，對(duì)于不同的t值，速度的圖形是一樣的。這樣情況稱為對(duì)t軸方程有“相似性解”。當(dāng) 2.0時(shí)， 如果把流速為0.9

9、9的U0以內(nèi)部分稱為邊界層，則邊界層的厚度為：01.0)0.2(0 erfcUu24tt tUyuyw100 （317a） （317b）19 渦量分布： 24ytuUeyt （317c）00 0 UAootyyyuIdAdAdAUy 平板突然加速瞬間，即時(shí)，在平板壁面 處 趨于無窮大。計(jì)算從 到 區(qū)間內(nèi)的渦通量：可見，當(dāng)時(shí)單位長(zhǎng)度平板上的半無限如果區(qū)域內(nèi)無新的的渦原，單純的渦量擴(kuò)區(qū)域內(nèi)渦通量為常數(shù)，且等于平板速度 。散不會(huì)改變無限大區(qū)域內(nèi)總的渦通量。 （317d）204、周期振動(dòng)的平板引起的非定常 流動(dòng)Stokes第二問題22yutu0cos), 0(00uytUtuy壓力在整個(gè)空間為常數(shù)，因

10、此其梯度為0，邊界條件和初始條件為： 平板為無限長(zhǎng)，平板在本身平面內(nèi)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，基本方程為： （318） （319）21利用分離變量法解為 )cos(),(0kyteUtyuky2k2kyy)cos(),(0teUtyu （320） 其中 令 則 （321）22 這是個(gè)衰減的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅 ，距壁面為y的層流與邊壁的振動(dòng)相位滯后為 。 圖37表示某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的情況。兩層相距為 的流動(dòng)層的振動(dòng)為同相位的。k稱為波數(shù)，波長(zhǎng)L 也稱為粘性波的穿透深度。 l 20yeUy2222k圖37 振動(dòng)平板附近的速度分布k223被平板帶動(dòng)的流體層（以0.99 U0為限）稱為邊界層，其厚度 。同樣，平板壁面的切應(yīng)力

11、為： )sin(cos20ttUw （322） 不定常的平行流動(dòng)還有很多例子，如：任意滑移運(yùn)動(dòng)的平板引起的粘性流動(dòng)，簡(jiǎn)單Couette流的起始過程，以及圓管中HagePoiseuille流動(dòng)的起動(dòng)過程等等。24 第二節(jié) 駐點(diǎn)附近的平面流動(dòng) Hiemenz流動(dòng) 圖38 駐點(diǎn)附近的平面流動(dòng)25 在有勢(shì)流動(dòng)中，駐點(diǎn)附近的流動(dòng)可應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的方法，得出有勢(shì)流動(dòng)的速度分布：a為常數(shù)，U和V表示理想流體沿x和y方向的速度分量。令駐點(diǎn)處的壓力為p0，那么根據(jù)伯努利方程，求得駐點(diǎn)附近的壓力p： ayVaxU222021yxapp 駐點(diǎn)附近的流動(dòng)，如圖38所示，取直角坐標(biāo)系。由于粘性的作用在平面表面的一薄層中，

12、流速梯度很大，但在這一薄層之外，流動(dòng)仍然看成是理想流體的流動(dòng)。26 在靠近平板的邊界層中，流體的速度u，v，及壓力p滿足NS方程，連續(xù)方程和邊界條件如下： 22222222011uvxyuupuuuvxyxxyvvpvvuvxyyxy axUuyppyxvuy0000 （322） （323）27假設(shè)v只是y的函數(shù)，令：根據(jù)連續(xù)方程：那么可令： 得出f和F所滿足的微分方程： )(yfv)(yf xu 22012ppaxF y fFaf ffaf ff22221afyFffy0000 （324） （325） （326） （327） （328）邊界條件 28, y)()( Ayf23,ffAfAfA

13、y 32222AaA3222 aA,Aaa 解方程（327），令則： 將上述量代入動(dòng)量方程（328）令 或29因此： 則方程為：,ay)()(ayf2100001 （329） （330） 方程（331）仍為非線性，難于求得解析結(jié)。希門茨（Himenz）首先求得它的數(shù)值解，而后霍華斯（L.Howarth）又對(duì)計(jì)算做了改進(jìn)。圖3-9和表3-1給出了霍華斯的平面駐點(diǎn)流動(dòng)解。30 沿著壁面方向的流速： 所以：UyuUaxxa )(11)(AafaUuyfaUu 圖39 平面和軸對(duì)稱 駐點(diǎn)附近的速度分布 （331）31 表3-1：平面和軸對(duì)稱有駐點(diǎn)流動(dòng)的解32根據(jù)圖39可以看出： （即 ）在 時(shí)開始線性

14、增長(zhǎng)，隨著的增加偏離斜直線，但以1.0為漸進(jìn)值。 在 時(shí)， 那么邊界層的厚度為： 壓力梯度為： 與 成正比，是一個(gè)小量。 與 均與x無關(guān)。 )(uU02.40.99, 2.4taa()paay aaUu （332）33 第三節(jié) 旋轉(zhuǎn)圓盤引起的流動(dòng) drdsdrds 圖310 旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流場(chǎng)圖34 流體以等角速度 繞z軸旋轉(zhuǎn)的圓盤所引起的流動(dòng)。由于粘性的作用，靠近圓盤表面的一層流體隨同圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，且由于離心力的作用，流體在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)不斷地被甩向圓盤的邊緣，而遠(yuǎn)離圓盤的流體沿z軸流向圓盤表面。由此可見，流動(dòng)是三維的。 假設(shè)圓盤半徑為無限大，流動(dòng)定常。采用坐標(biāo)系（ ），并令z軸與旋轉(zhuǎn)軸重合。由

15、于流動(dòng)的對(duì)稱性，所有流動(dòng)參數(shù)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)為零。zr,35流體運(yùn)動(dòng)的基本方程和邊界條件為：2222222222222011rrzrrrrrrzrrzzzzzzrzuuurrzuuupuuuuurzrrrrrzuu uuuuuuurrzrrrzuupuuuuurzzrrrz 0, 00, 00uuzuruuzrzr （333） （334）36 估算被圓盤帶動(dòng)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體層厚度 。 考慮緊靠圓盤表面與z軸距離為r處的柱形微元體（圖311），其平行于圓盤表面的側(cè)面積為drds，高為 。此流體微元所受的離心力為 ，其作用方向沿r的正方向。同時(shí)，此流體微元還受摩擦 力 的作用，摩擦力的方向與流 體微元運(yùn)

16、動(dòng)的方向相反，假設(shè)此方向 與圓周方向的夾角為 。則在圓盤表 面附近，流體微元受的離心力主要 與摩擦力 平衡：2rdrds drdsw22sinsinrdrdsrdrdswwdrdsw圖311 圓盤附近流體微元37 切應(yīng)力的周向分量應(yīng)與壁面上流體周向速度沿軸向的梯度成正比：可以得到： 由于圓盤的半徑無限大，必須與r 無關(guān)，即 與r無關(guān) /cosrwtan2 （335）38分析影響速度和壓力的因素。圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，粘性系數(shù)及空間點(diǎn)的坐標(biāo)r，z是決定速度及壓力分布的因素： ur是由于流體微團(tuán)受到離心力作用而產(chǎn)生的，因此可以假定： ),(),(),(),(zrppzruuzruuzruuzzrr),

17、(zrfur),(zrgu),(2zfzuz),(zhuz （336） （337）39可以假定： zppp,0zhdzdhhdzhdzp,1122 （337d）應(yīng)用 定理，選 ， 為量綱獨(dú)立量,可得：因此 012345,rzuppuuzrrrr *zFzFrur *zGzGru*zuH zH z *0ppP zP z （338）40其中：*z22200200FHFF HFGFGHGGPHHH可得到常微分方程和邊界條件：0, 00, 1, 0, 00*GFzpGHFz (339) （340）41 Rarman（1921）求出了近似解，Cochrem W. G.（1934）用數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算。

18、 *zz 圖312 無限大圓盤流動(dòng)的數(shù)值解曲線42 表32 無限大旋轉(zhuǎn) 圓盤流動(dòng)的數(shù)值解43圓盤上的應(yīng)力分布： 000033003300()2(0)2(0)()(0)0.51()(0)0.616zzzzzrzrzzzzzuppPHpzurFrzurGrz （341）44 根據(jù)圓盤面上應(yīng)力分布，可求出圓盤的阻力矩 和總阻力，阻力系數(shù)：drrrrdrdMzz330232. 1234033616. 0464. 22RdrrMRRe87. 321616. 0212523452RRRMCM2ReR 其中： （342）455/1Re146. 0MC大約在Re3105左右，流動(dòng)進(jìn)入湍流區(qū)，此時(shí) 圖313 旋

19、轉(zhuǎn)圓盤力矩系數(shù)理論值與試驗(yàn)值的比較 （343）46 圓盤半徑為R時(shí)，其旋轉(zhuǎn)所引起的流量： 當(dāng) 時(shí)，流體周向速度 近似于圓盤處周向速度的1，即： 變化幾乎發(fā)生在 的區(qū)域內(nèi)。如果流體的粘性系數(shù)很小，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大時(shí)，那么被帶動(dòng)的流體層厚度就很薄。 5z 0*20)(22dzzFRdzuRQRrr*2*2*01()20.88382dH zRdzRdz （344） 旋轉(zhuǎn)圓盤的邊界層厚度：u01. 0)5(5*Gruzruu、5*zz47第四節(jié) 緩慢流動(dòng)的NavierStokes方程 的近似解 在Re很小時(shí)，NS方程中的慣性項(xiàng)與粘性項(xiàng)、壓力項(xiàng)比較可以忽略不計(jì)，方程就可以簡(jiǎn)化成線性方程。 02222

20、22222222222222zwyvxuzwywxwzpzvyvxvypzuyuxuxp （346）48式中p為調(diào)和函數(shù)。 在二維情況下 ，引入流函數(shù)令那么：0222222zpypxp20p或0, 0zwxvyuyuxv2 （347） （348） （349） （350）490240或wwvvuUu 利用渦量輸送方程，忽略慣性項(xiàng)，即可得到 滿足式(351)的流動(dòng)就稱為Stokes流動(dòng)，通常Re1范圍內(nèi)上兩式適用。 （351） 另一方面，將物體放在x方向速度為U的均勻流中，求物體周圍的流動(dòng)時(shí)，為了考慮慣性力的影響，令：代入NS方程，保留線性慣性項(xiàng) ，從而得到Oseen方程： wuvUUUxxx，和

21、 （352）500222222222222222222zwyvxuzwywxwzpxwUzvyvxvypxvUzuyuxuxpxuU （353） Stokes流動(dòng)和Ossen流動(dòng)稱為蠕流（creeping flow）。51 蠕流最典型的例子是圓球繞流的近似解，首先由Stokes解出。下面僅列出Stokes圓球繞流解的結(jié)果。如圖314圓球的半徑為a，利用球坐標(biāo)系，由于流動(dòng)是對(duì)稱的，故只要給出速度分量。zypURaU33333cos1222sin144RaauURRaauURR 2cos23RaUpp （354） （355） 圖314 圓球繞流52 圓球表面的壓力為：式中 。 壓力系數(shù)： 式中 。

22、在理想流體繞流時(shí) 。 232UppxadpUppCRecos6212cosax Uad2Re291sin4pC 圓球表面上的壓力系數(shù)不僅與位置有關(guān)，而且與Re成反比，且對(duì)于最大迎流截面來說是不對(duì)稱的，故有壓差阻力存在。 （356） （357）53 式（358）為Stokes公式，用系數(shù)（stokes阻力系數(shù)）表示為：作用在圓球表面上的切應(yīng)力為：圓球面上的總阻力即是壓力和阻力在球面上的積分 13|sin2RRR auuuURRRa 200sincos2sin 3sin6RDpadaUdaU （358） （359）22241Re2DDCUa （360）54Oseen阻力系數(shù)： Goldstein（

23、1929）對(duì)Oseen解進(jìn)行了改進(jìn)：當(dāng)Re5時(shí)與實(shí)測(cè)接近。實(shí)驗(yàn)曲線擬合的經(jīng)驗(yàn)公式： 243(1Re )Re16DdC432Re3440640030179Re2048071Re128019Re1631Re24DC5102Re04 . 0Re16Re24dddDCUdCDReRe96. 6圓柱繞流的緩慢流動(dòng)的解由Lamb給出 （361） （362） （363）55 圖315 圓球阻力系數(shù)Cd的理論值與試驗(yàn)值的比較56 第五節(jié) 滑動(dòng)軸承內(nèi)的流動(dòng) 軸 頸軸 承 孔充 滿 潤(rùn) 滑 流 體 的 間 隙p 圖316 圓柱軸承合軸頸剖面57 與固定壁的長(zhǎng)度相比，間隙h（x）非常小，所以與x方向的速度u相比，y

24、方向的速度可以忽略不計(jì)。 為了簡(jiǎn)單，把圓柱軸承和軸頸的作用視為二維流動(dòng)，兩個(gè)固壁之內(nèi)形成一個(gè)楔形的間隙，內(nèi)有油流動(dòng)，形成壓力分布以支持軸承的載荷 。圖317 滑動(dòng)軸承的潤(rùn)滑機(jī)理58 作用在潤(rùn)滑油上的慣性力與粘性力之比為：因此：22*222Re uUuULhxLUuLhy慣性力粘性力2*ReLhUL與Stokes流動(dòng)類似，若Re*1，慣性力忽略不計(jì)。 （364） （365）59因?yàn)閤方向u的變化，比y方向u的變化小的多，忽略則運(yùn)動(dòng)方程可以近似為：邊界條件：積分后:)(2222yuxu22yuxp00yuUyhu：)(21)(yhydxdpyhhUu （366） （367）60dxdphUhudyQh1223032212hQhUdxdp xdxxhQxhUpp0320)()(212hhdhhQhUhhL13212212222122216hhhhhhhUL 垂直于紙面方向單位寬度上的油量： 所以 ：利用 ，并考慮到邊界條件，即在x0和xL時(shí)，pp0（p0為軸承外側(cè)的壓力），積分上式得到：Lhhdxdh/ )(/12 （368）61112ln) 1(6)(2220