1、第2章?tīng)顟B(tài)空間表達(dá)式的解第1節(jié) 線性定常齊次狀態(tài)方程的解 線性定常齊次狀態(tài)方程x Ax z(0) Xo的解為x(t) eAtXo(t 0)式中，eAt I At A2t2沁2!川 k o k!證明：用拉普拉斯變換法。對(duì)x Ax作拉氏變換，得sX(s) xo AX(s)x(t)(si(siX(s) (si A) 1xoA) 1Xo4a2 I s2 A +a2 s s a 4a2 s s12 2A2t22!x(t) L1(si1A)(TsA) 1(I AtXo因?yàn)楣薯槺憧芍?as丄1 1 sL11IsII)IIIIIIIlllo eAtXoeAtL 1(si A) 1第2節(jié)矩陣指數(shù)函數(shù)eAt1、e

2、At的定義和性質(zhì)1定義eAt I At A2-(At)-2!川 k o k!式中A線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)矩陣，n n階； eAt矩陣指數(shù)函數(shù)，n n階時(shí)變矩陣。假設(shè)A中各元素均小于某定值，eAt必收斂；假設(shè)A為實(shí)矩陣，eAt 絕對(duì)收斂。2根本性質(zhì)：eA(ti t2)eA0I組合性質(zhì):eAtl eAt2其中ti，t2為相銜接的兩時(shí)間段。推論 1: eAteA( t)eA(t t)推論 2: eAt 1eA( t)微分性質(zhì):討 AeAt eA當(dāng) A、B兩陣可交換，即 AB BA，那么eAteBt e（A B）t假設(shè)P 1存在，那么P 1eAP2、eAt的計(jì)算At e(At)k k o k!1級(jí)數(shù)計(jì)算法2

3、拉氏變換法eAtL 1(sI A) 1當(dāng)A陣維數(shù)較高時(shí)，預(yù)解矩陣可采用遞推法計(jì)算。、3多項(xiàng)式表示法eAtk(t)Ak假設(shè)A的特征根o(t) 1(t)In兩兩互異，那么2122n 11 n 1 2t een 1(t)IIIe nt4非奇異變換法1設(shè)A的特征根1,eAtn兩兩互異， e 2t e ntP那么1Pdiage其中 P 滿足 P 1AP diag ! 2 n推論：假設(shè)A diag 1 2n，那么eAtdiag e 1t e 2te nt 2設(shè)A為具有共軛復(fù)特征根1,2 j的二階陣，那么At ecos t sin tsin tcos t其中 P 滿足 P 1AP模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型。證明：因 與 可

4、交換，故t ( )t t t e e ette I e44!1 LJ)2 ( t)2!t of3!III(lilt)55!IIIt L_t)3 ( t)3!2!5!- HIcos t sin t sin t cos tcossinsincos再由即得所證。第3節(jié)狀態(tài)空間表達(dá)式的解1、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解設(shè)線性定常系統(tǒng)X Ax Bu, x(to) Xo可以證明，狀態(tài)方程的解為x(t) eA(t to)x(to)teA(t )Bu( )dx'(t) x"(t)to其中 X (t) eA(t to)x(to)自由響應(yīng)，只與x(to)和A有關(guān)。x (t)eA(t )Bu(

5、)d強(qiáng)迫響應(yīng)，與u(t)和A, B有關(guān)。to系統(tǒng)的輸出y(t) Cx(t) CeA(t to)x(to)'ceA(t )Bu( )dto2、階躍輸入下?tīng)顟B(tài)方程的的解設(shè)to 0, u(t) k1(t)，k為與u(t)同維的常數(shù)向量，那么x(t) eAtx(O) A 1eAtIBk3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eA(t to)又稱作狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，常記為A(t to)(t to) e 。使用該符號(hào)，線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解可表為tx(t) (t to)x(to)t (t )Bu( )dto假設(shè)to 0，那么(t)eAt，且tx(t) (t)x(0)0 (t )Bu( )d采用符號(hào)(t to)，主要是便于時(shí)

6、變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的表述。第5節(jié)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)x A(t)x B(t)u，x(to) Xo，t to,tf設(shè)在域to,tf內(nèi)，A(t)和B(t)的元素是t的分段連續(xù)函數(shù)，以保證上述狀態(tài)方程解的存在性和唯一性。1、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解回憶：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程解tx(t) (t to)x(t。)t (t )Bu( )dt0式中，(t to) eA(tto)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。其滿足如下兩式 比照定常系統(tǒng)，可寫(xiě)出 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng) 狀態(tài)方程的解為t式中，x(t)(t,to)x(to)t (t, )B( )u( )d(t,to)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，具有性

7、質(zhì):(t,to) tA(t) (t,to)(to,to)I(t,to)1(to，t)2、(t,to)的計(jì)算時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,to)與定常系統(tǒng)的(t to)在形式上和某些性質(zhì)上類似，但二者有本質(zhì)的區(qū)別。主要區(qū)別是： (t to)只是時(shí)間差t to的函數(shù)，與to無(wú)關(guān)，而(t,to)是t 和 to的二元函數(shù)；而除極簡(jiǎn)單的情況外，(t,to)即oo) t A( i)d 1 d oto (t to) 一般可寫(xiě)出閉合表達(dá)式，往往難以得到其閉合表達(dá)式。(t,to)可采用級(jí)數(shù)近似法計(jì)算，t(t,to) I t A( o)dtotot A( o) t A(tototo t A(1 ) t A( 2)d

8、 2 d 1 d o Itoto注意：對(duì)定常系統(tǒng)有Ad(tt0)eA(t t0)e t0而對(duì)時(shí)變系統(tǒng)，一般tA( )d(t,t0) e t0 。可以證明，t當(dāng)且僅當(dāng) A(t ) 與 t A( )d 滿足關(guān)系式 t0ttA(t) t A( )d t A( )d A(t) t0t0或A(t1)A(t2) A(t2) A(t1) ( t1,t2)成立時(shí)，才有tA( )d(t,t0) e t0時(shí)變系統(tǒng)求解一般采用數(shù)值方法。【例】求如下時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(t 1)2u,x(0)11W)1(t) (t °)解：因0A(tJA(t2)00A(t2)A(tJ0101(t11)2(t21)20000

9、101(t21)2(t11)20000即有等式A(t1 ) A(t2 ) A(t2 )A(t1 ) ( t1 , t2 )成立，故狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,to) et0A( )dtA( )dt0-t A( )d 22! t0t01(1)2012!t0(tt t。1)(t°01)0|狀態(tài)方程的解為x(t)(t,0)x(0)(t,)B( )u()d(t 1)(1)1III t (tt01)(t0 1)1011()dttt 1 d01t 4t 22(t 1)t2 2t 2第6節(jié)狀態(tài)方程的數(shù)值解法1、狀態(tài)方程的數(shù)值解法的概念不是所有的狀態(tài)方程都存在解析解，數(shù)值解更具有普遍性。狀 態(tài)方程的數(shù)值求解實(shí)

10、際上就是一階微分方程組初值問(wèn)題的數(shù)值求 解。狀態(tài)方程的數(shù)值積分解法女口：改良?xì)W拉法；龍格-庫(kù)塔法；基爾法；特雷納法等。后兩種方法可用于剛性微分方程組Re( i) 0 , maxRe( JminRe(J , (i 1,2, ,n), 為 A 陣特征根求解。數(shù)值積分解法分類：?jiǎn)尾?多步；顯式/隱式； 定步長(zhǎng)/變步長(zhǎng)。計(jì)算誤差:截?cái)嗾`差算法+舍入誤差字長(zhǎng)積累誤差算法，字長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)間同一問(wèn)題，采用不同的數(shù)值解法或步長(zhǎng)，求解效率甚至數(shù)值解 結(jié)果可能有較大差異，甚至出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。2、四階龍格一庫(kù)塔Runge-Kutta , RK法屬于定步長(zhǎng)顯式單步自啟動(dòng)解法。對(duì)狀態(tài)方程X(t) fx(t),u(t)

11、,x(to) Xo設(shè)tk i tk h k 0,1,2, )， h為計(jì)算步長(zhǎng)。四階龍格一庫(kù)塔法由x(tk) 求取x(tk J的算式為：x(tk 1) x(tk) hX*(tk)其中X*(tk) ki 2& 2& 心/6ki fx(tk),u(tk)k2 fx(tk) kih/2,(tk h/2)ks fx(tk) k2h/2,u(tk h/2)& fx(tk) ksh,u(tk h)3、特雷納Treanor丨法對(duì)狀態(tài)方程*(t)fx(t),u(t),x(to) Xo假設(shè)雅克比矩陣ffXxj的特征值i具有如下特性：Re j 0， max Re , min Re ,1 i

12、n1 i n那么稱此狀態(tài)方程為剛性或病態(tài)的。特雷納法是求解剛性方程的一種方法。設(shè)tk i tk h k 0,1,2, )，h為計(jì)算步長(zhǎng)。特雷納法求取tk1時(shí)刻狀態(tài)變量數(shù)值的算式為：其中x(tk i) x(tk)(tk)【Xi(tk)(kii(tk)A1i k1ikihX (tk)*X2 (tk )2邑2應(yīng)&丿/6,A2i ( 3k1 j 2k2i 2k3j4A3i (k1 j k2j k3j k” ),fx(tk),u(tk)IIIXn"(i：Pi 0)k4i)(i: Pi 0)k2 fx(tk) kih/2,(tkh/2)k3fx(tk) bh/2,u(tk h/2)Pdi

13、aggdiag(k3i 邑)/(邑 kli)h/2A diag© diag1 exp(站)/( ph)A diagAJ diag(1 人”(時(shí))A diagfdiag(0.5 Kph)S 3 電 HI Snt其中k3i,(i：Pi 0)S _k2i Aii(kii k2i) AiKj kJ, (i:p 0)(i 121”, n)k4fx(tQ sh, u(tk h),叮 ki Px(tk)k2 k2 px(tQ kih/2ka 電 Px(tk)窗/2k4 k4 Px(tk) Sh可見(jiàn)，當(dāng)Pii 0時(shí)，特雷納法便退化為四階龍格一庫(kù)塔法。對(duì)剛性方程，特雷納法與四階龍格-庫(kù)塔法具有一樣的精

14、度,但穩(wěn)定范圍較后者為寬。從而可選取較大的計(jì)算步長(zhǎng)。4、四階/五階龍格一庫(kù)塔一菲爾貝格 Runge-Kutta-Felhberg,RKF對(duì)狀態(tài)方程Xi(t)fix(t),u(t),x(to) Xo(i 1,2,III，n)設(shè)tk ! tk hk k 0,1,2, ), hk為當(dāng)前的計(jì)算步長(zhǎng)。RKF法在一個(gè)步長(zhǎng)內(nèi)對(duì)右函數(shù)fix(t),u(t)進(jìn)展6次求值，以保 證更高的精度和數(shù)值穩(wěn)定性。采用RKF求取七時(shí)刻狀態(tài)變量數(shù)值的算式為:ihk)(i 1,2,|,6)i 1ki fx(tk) ijkj,u(tkj i X*(tk)i1也x(tk 1)x(tk)(tk)式中12 III 6】013121/4

15、緘 3/ 329/321932/21977200/21977296/2197439/2163680/51345/4104/273544/25651895/410411/40III匚16°6656285616茨 01282556430弓丨入誤差量假設(shè)在上述定步長(zhǎng)算法的根底上,6(ii 1法。在上式中控制當(dāng)前的計(jì)算步長(zhǎng)hk，便形成了自適應(yīng)變步長(zhǎng) RKF*t r *251408 2197_ 1 26 01,12162565 4104第4節(jié) 系統(tǒng)響應(yīng)的特征構(gòu)造自學(xué)1、左、右特征向量設(shè)A具有n個(gè)互異特征根i(i 1,2,n)。右特征向量滿足iVi AV,(i 1,2,n)即(iI A)Vi 0

16、(i 1,2,n)的n維非零列向量Vi稱為A陣屬于特征根i的右特征向量或列特 征向量。左特征向量滿足即Wi( iI A) 00 (i 1,2, n)的n維非零行向量Wt稱為A陣屬于特征根i的左特征向量或行特征 向量。左、右特征向量的關(guān)系由前V 1AV diag2,|, n式中 V Vi,V2,|,VJ為右特征向量矩陣。對(duì)上式兩邊右乘V 1，得V 1A diag 1, 2,|, JV 1那么有w2W；A1wtW；AWnA這說(shuō)明，右特征向量矩陣逆矩陣的行向量即是量。A陣的左特征向WV V 1V I可知左、右特征向量具有如下關(guān)系WtVj0 (i j)W?Vi 1注意：在上列表達(dá)式中，(Vi)k Vk

17、i, (Wt)k Wk2、系統(tǒng)響應(yīng)的特征構(gòu)造一般分析由前，假設(shè)A的特征根1 , 2，n兩兩互異，那么eAt Vdiagelte2te ntV 1其中V是特征向量矩陣，V 1AV diag 1 2 n。上式可寫(xiě)為eAt V diage 1t e2J|entWw2幺V2,|Mdiagelte2t|ent故有nAtt ite ViWiei 1將其代入x(t) eAtx(0)0eA(t )Bu( )dViWtei(t)Bu( )dnt tx(t) ViWieitx(0)i 1ViWte ,0)i 1ViWtB 0ei(t )u( )di 1上式說(shuō)明，系統(tǒng)響應(yīng)與特征根和特征向量都有關(guān)。自由響應(yīng)分析自由響

18、應(yīng)nx(t)ViWtx(0)eiti 1向量ViW：x(0)中的W：x(0)為數(shù)量，其對(duì)應(yīng)于由x(0)所激發(fā)的第 i個(gè)模態(tài)i的總強(qiáng)度，右特征向量Vi那么描述第i個(gè)模態(tài)i的總強(qiáng)度 在各狀態(tài)變量上的權(quán)重分布情況。記kjiViW：x(0)j (j,i 1,2,n)那么x(t)的第j個(gè)狀態(tài)變量為Xj (t)ntkji e ji 1kj1e 1tk j 2e 2tkjne n(j1,2,n)假段設(shè)jj , kjie jtkjiejt為衰減或發(fā)散的單調(diào)指數(shù)分量。假段設(shè)j,j 1j j i ,那么可以證明k*j kj,i。記kjikjiej ji那么kjiekj,i 1ei itkjie jtej( jtj

19、i) ej( it 卄2 kji e " cos( it jj)其為幅值衰減或發(fā)散的振蕩正弦分量。 具有重特征根的情況略。階躍輸入響應(yīng)分析假設(shè)各輸入分量均為階躍函數(shù)，即u(t) ki1(t),k2l(t),|,kr1(t)t k1(t)那么nntx(t)ViWte jtx(0)ViWtBk 0ei(t )di 1i 10ei(t )deit 1nViWtBki 1e it 1nx(t)ViWtx(0)eiti 1假設(shè) Re i 0,(i1,2,|,n)，當(dāng) t ，那么n 1x( )ViW：Bki 1 i3、參與矩陣和主導(dǎo)度矩陣1參與矩陣引入?yún)⑴c矩陣Participation Matrix描述模態(tài)與狀態(tài)變量的 關(guān)聯(lián)特性。參與矩陣定義為P Pki WkVkil |Wk：Vki|即左特征向量矩陣的轉(zhuǎn)置與右特征向量矩陣對(duì)應(yīng)元素相乘即得參與 矩陣。參與矩陣的元素稱為參與因子。由左右特征向量的正交性質(zhì)WiY 1可知參與矩陣第i列元素之和等于1。x(0) Xi(O)J|,Xk(O)J|,xn(