1、§4-3柯西中曼積分中的換元積分法和分部積分法在第3章中講了求原函數的換元積分法(包括湊微分積分法)和分部積分法，而柯西-黎曼 積分中也有換元積分法和分部積分法.1.換元積分法 讀者在第3章中已經做了很多用換元積分法求原函數的練習.那時，不 僅要求代入的函數 = «)有反函數f = T(X),而且最后還要換回到原來的自變量.可是， 柯西-黎曼積分中的換元積分法，不需要代入的函數u = u(f)有反函數f = T(x),也不需要 再換回到原來的自變量(因為換元同時也換了積分限).柯西-黎曼積分中的換元積分法有兩個,分別對應于第3章中的湊微分積分法和換元積分 法.定理4-8設函

2、數/()在區間4切上連續且有原函數尸(，)，而函數 = (x)在區間 口，句上有連續導數/(X)且A<u(x) < B ,則有f bp “(b)fu(x)ux)(h = r Ju)du (注意，換元要換限)J aJ "(a)證根據柯西-黎曼積分中的牛頓-萊布尼茨公式，右端的積分P "S)/»»尸黑=尸(劃一耳另一方面，因為個(切=廠'()L=" “'a)=/w(x)w'a)即F(#是函數在區間a,b上的原函數，根據同樣的道理，所以左端的積分 f fu(x)uXx)dx =/： = Fu(b) Fu(a) J

3、a因此，上面的等式成立.例 5.二去二產，.2M =2J-2 i + y/2 + x1 + Jo 1+=2 “一 ln(l + w)| = 2(2 - In 3)2 sI* n/2、(U=cosx) 0,例 6 I sin5 xdx = -l (1 - cos- x)d(cos x) - | (l-ir)2dz/JoJoJ1=f (1-22+4)d = W-W3 4-iw51 = l-4-i= -J。I 35 )03 5 15例 7in" = gsm")% =(匕愛)小cos2acLv+cos2 (2x)dv159 / 1其中5/2,cos2(2x)dx =o因此,空2九1

4、 f-4 + 8J(-7lcosMdn=- + 0 = -.f Z cos2xdv= f cosn = -smwJoJo 22叫 l + cos4x , 兀 1 Cidr = + - I cos4xdx713ti16. 4，“兀八九sin xdx = 0+ 定理4-8所指出的積分方法，實質上用的還是第3章中的湊微分積分法，因此它沒有真 正體現出柯西-黎曼積分中換元積分法的優越性.柯西-黎曼積分中的換元積分法，通常指的是 下一個定理中說的積分方法.它不僅在有些理論證明中是重要的，而且在有些特殊積分的計算 中也是重要的，因為有些特殊的積分，不是先求原函數而后用牛頓-萊布尼茨公式計算出來 的.定理4

5、-9設函數“外在區間3旬上連續.若有函數工=滿足條件：(/)存在有a和4，使u(a)=凡u(J3) = b ；(ii)當從a變到月時，a<u(t)<b x則有定積分的換元公式 (,b(iii) u(t)在區間a,用或尸上有連續導數'«)；f(x)dx= fu(t)ut)dt (注意，換元要換限) J a事實上，根據定理4-8,p 夕«(o=a，()仙Fa)W(f)df=/(X)d¥= f(x)dxJ aJ “(a)J a問：1 .在積分/x機-x2dt中,可以令x=sinf嗎？為什么？ Jo5兀2 .函數x = sin/在區間0,上沒有(單值)

6、反函數，那么下面的演算中，哪一步是對 L 2 J的？哪一步是錯的？最后正確的結果是多少？二=/8s+ 等1 57r Sitit(錯誤答案)正確答案是巴2 2 443 .下面的演算錯在何處？f11I*111所以2一處=0,即 = 0.根據定理4-1, 一7三0(14x41)(錯誤！).J-1 1+XJ-l l + xl + x正確的演算應當是111,/,、 兀兀 兀-dx = arctailx , = arctan 1 -arctaiif-1) = - i = .1 1 + x21-14 V 4j 2例8設函數/(x)在對稱區間a,a(a > 0)上連續.(1)若/(x)是奇函數，則 ff

7、l/(x)dx = 0；J -a若/(x)是偶函數，則 f f(x)dx = l f(x)dx.證 根據積分對區間的可加性，f fWdx= /(x)di + f f(x)dxJ -aJ -aJ 0其中(- o(x=-r)廣0廣。/(x)dx=f(-t)(-dt) = f(-x)dxJ aJ aJ。于是，f f(x)dx= f /(-x)dx+f /(x)dx.因此，若f(x)是奇函數，則J -aJ 0J 0(/Wd.r= f f(-x)dx + f(x)dx = - f(x)dx+ /(x)dx=0 J -aJ。J0J 0J0而若是偶函數，則(f(x)dx= f(-x)dx+ f(x)dx =

8、 f f(x)dx+ /(x)dr = 2f f(x)dx J-aJ oJ0J 0J。J0例9設f(x)是以丁為周期的連續周期函數(fvxv2) .證明:r "丁r Tf(x)dx= f(x)dr (a 為任意實數)J aJ 0(周期函數在任何一個周期上的積分都相等)證 根據積分對區間的可加性，r a+r廣 of tr 0+丁f(x)dr= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dxJ aJ aJ 0J T而上面最后一個積分P a+r.v=f+7 r “/ a»0y(x)d.x=f(t + T)dt= f(x)dxJ TJ 0VOJ a因此,/(x)cLv = £

9、; /(x)cLv.例 10 求xsm； &JO 1 4- COS- X解心地：出=2 1m;出+入心出,僑Jo 1 + COS2 X Jo 1 + COS- X J jt/2 1 + COS2 X 右端最后一個積分Cn xsinx eh fo (t_f)sinf(出$1山 也 1./Jn/zl + costt J也 l + cos“ ' Jo l + cos2rJo 1 + cos21代入式(X),并注意積分與積分變量無關，則得f11 xsinx , zar =7tJo 1 + cos2 x,'n/2 sinr dt = _冗 f d(cosr) g。”】 J

10、76; do 1 + COS2 t Jo 1 + COS2 tJ 1 1 + "2f1 d,i, n2Jol + /r lo4可見，即使不能求出原函數f4111：也能夠求出積分sm：出=與.J 1 + COS- xJo 1 + cos- x 4習題一1 .填空：立旦dr二J-2 1 + X'喀 x2 sinx(1) I dx =J -rt/2 1 + COSX答案：(DO： (2)ln5.2 .根據提示，計算下面的積分:卜 工 口=師肝彳/口f 11 x=lntdx=Jol + e”p ln3(4) j Vl + ek (令 f = Jl + e" )=(x=nta

11、nz) dr(a >0)(6) f 1dr(X = ez) =J b W1n x(2 -1n x)答案：(1苧(啥(3)ln備;2(2一口+ ln慧與今哼3 .設函數f(x)在區間0上連續.證明:(1) I /(siiix)dx= I /(cosx)dv ； JoJo/(sinx)dx ：J %/(sinx)dx = -| /(sinx)dx.TTTT提示：令X =1 ； (2)令1=1 ； (3)令X=7tf.22廣x+2冗4 .證明：J e皿sin冏>0(yovx<2).(提示：被積函數是周期函數)5 .設連續函數/(x)(yo <x<-K>o)滿足積分

12、方程/(x) = J xf(xt)dt .證明f(x) = 0.提示：先證r(x) = /(x),然后考慮6 .設/(X)是以丁為周期的連續周期函數(vxv+od).證明：xT+« xJoT Jo7 .分部積分法定理4-10若函數/(x)和g(x)有連續導數:(x)和g'(x),則有定積分的分部積分公 式j f(x)dg(x) = /(x)g(x)|：J g(x)V(x)證在式d f (x)g(x) = g(x)4(x) + f (x)dg(x)兩端積分，則左端為C bd/(x)g(x) = /(x)g(x)|：J a而右端為g(x)#(x)+f /(x)dg(x) J aJ

13、 a移項得f x)dg(x) = /(x)g(x)|：f gWdf(x)J(iJ a在很多情形下，由于/(x)g(x)|：=0,所以計算積分時用式/a)dg(x)=/(小：-£g(ww要比先求出原函數后再用牛頓一萊布尼茨公式簡單得多.例11設為正整數.證明:JI其中記號(雙階乘)n/2sin2/, x dxo) k/2sino*/2=/,強2隈心=出二理工(2)!！ 2(4-5)(4-6)(2 -1)! = (2 - 1)(2 - 3)3 1,(2«)! = (2聯2吁 2)4 2.【注】以后做題時，可直接套用上述積分公式.sinxd¥ =sin'&quo

14、t; xdr(用為正整數)=1而當相2時，根據分部積分公式，則得P 兀/2p n/2«n/2Im = j sin/H xdx = j sin“i xd(-cosx) = -cosxsin,-1 + j cosxd(sin,n-1 x)nn=-1) f 2 sin/M_2 xcos2 xdv = (zn -1) f 2 sin/M_2 x(l - sin2 x)dxJoJo=(in -1) Im_2 - (in -1) I,n化簡得血，,=(m-1) Im_2或(遞推公式)I,=Z,w_2 (加= 3,4,)m當帆=方為偶數時，r對2, r 2n-l r2”-12,一3 f,2-12一

15、33 rJo2n 4 2n 2n-2 -n'4 2n 2n-2 4 -_ 2/?-1 277-33 1 萬 _ (2一1)!冗2n 2/7-242 2 - (2n) 2當7 = 2-1為奇數時， f n/2_ .sin-"Txck =，“TJo最后，因為有0/(sinx)dr =2-2_2n-2 2-4 r2n-22-422/1 - 12n52n-l 2-3 2,1-52n -12-33(2 2)!n/2f(cosx)dx 見換元積分法的習題3所以也有j cos-w xdv =(2h)! 2, rt/2cos2n_1 xdv = o(2 2)!例如，根據上述計算公式，則有&q

16、uot;A 6 j 虱26 ,5!兀 5-3-1 K 5兀I sm xdx= I cos xdx =JoJo6!2 6 4 22 328 .瓦里斯(Wallis)公式 證明：.F (2)!！ T 1 7ilim =”廿(2- 1)!2 + 12證 S0<x<p 對于任意正整數，由于(sinx)2"+Y(sinx)2"(sinx)2"T,所以有f 2 sin2,+1 xdx < f 2 sin2/, a cLv < f 2 sin2/1-1 xdxJoJoJo根據式(4-5)和(4-6),則有(2m)!(2n-l)! it (2w 2)!w,

17、從而有(2)!！ I2 1 九(2)!！ T 12/2 4-1 22n于是有0/_(2)!！12(2w-l)! 2/7 + 1n 1、<> 0(/7 T 8)2 2因此，L-|2lim ?)”_ = 2 (在§4-5節中將會用到這個結論)廿(2-1)!_| 2/? +12習題二1.求下列積分值:cos2xdx：0r " rJ ln(x+ yjl + x2 )dx ；Jo'csm 恁 f llnxldv ；J 1/e.1X I (x+ 2) arctandx ；J-i2(6) J cos10 xdx ；(7) J (xhix)2 dv ；(9) J er cos2 xdx ：(8) J (xsinx)2 dr ； ”/4 J sec3 xdx ；用3fl(ID 02)(1一/)”去(為正整數).Jx/4 sm-xJo答案：三；2 2；石hi(石+2) 1；5arctaJ-2