1、 微積分學(xué)的重要性，眾所周知。世界上每年都有數(shù)千萬人學(xué)習(xí)微積分。我國高中數(shù)學(xué)新課程中，也增加了微積分初步的一些內(nèi)容。微積分的基本原理，很難說得清楚明白。在數(shù)學(xué)史上，牛頓和萊布尼茲被譽(yù)為微積分的主要創(chuàng)建人。他們對自己創(chuàng)建的微積分就說不明白。當(dāng)時和后來的許多杰出數(shù)學(xué)家，包括歐拉這樣的偉大數(shù)學(xué)家，也說不明白。數(shù)學(xué)家使用原理說不清的方法來解決問題，引來了激烈的冷嘲熱諷。數(shù)學(xué)家是向前看的。數(shù)學(xué)家的眼光，能看出淤泥中的種子的生命力，能透過濃霧看出光明的前方。他們沒有因為邏輯上的困難和人們的非議而拋棄新的方法，而是積極地挖掘新方法帶來的寶藏，在不穩(wěn)固的地基上設(shè)計并著手建設(shè)輝煌的大廈。人們稱此為第二

2、次數(shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)家們前赴后繼，一代接著一代地思考。在大約150年后，終于補(bǔ)上了微積分的基本概念上的漏洞。所用的方法，就是近百年來大學(xué)數(shù)學(xué)系微積分教程里要講的極限定義方法，所謂語言的方法。(讀作“一不是龍逮兒它”)。這個方法是法國的柯西和德國的維爾斯特拉斯提出來的。其實，用極限來說明微積分的思想，萊布尼茲早已有了。但說不明白極限的概念。概念說不明白，一系列的定理的證明只能含含糊糊。直到出現(xiàn)了語言，把極限說清楚了，微積分也就說清楚了。雖然說清楚了，但語言學(xué)起來太辛苦。除了數(shù)學(xué)專業(yè)，大學(xué)里的理工科的高等數(shù)學(xué)課程里，都不要求掌握語言的推理方法，只求直觀地大概了解微積分的原理。也就是說，在微積分的嚴(yán)謹(jǐn)化

3、完成后100多年的今天，盡管每年有上千萬人學(xué)習(xí)微積分，但其中百分之九十都是知其然而不知其所以然，對微積分的原理只能做到模模糊糊地了解。如何能夠讓學(xué)生輕松地弄明白微積分的原理，這是世界上數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的百年難題。如今，難題有望解決。解決難題的方案令人驚奇:不用極限概念，用一個初等的不等式來定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⑽⒎謱W(xué)。這個不等式，就是我國著名數(shù)學(xué)家林群院士提出的“一致性不等式”。林先生提出用“一致性不等式”來定義導(dǎo)數(shù)，首先是為了直接地簡捷推出微積分基本定理。隨后我們發(fā)現(xiàn)，這樣定義導(dǎo)數(shù)使更多的問題能夠迎刃而解。這樣一來，微積分中最基本的部分，就成了初等數(shù)學(xué)！如果用“一致性不等式”來定義導(dǎo)數(shù)

4、，半節(jié)課就能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這個命題。所用的方法是初等的，高中生也能理解。在一些數(shù)學(xué)大家的著作里，常常說，沒有極限概念就無法定義導(dǎo)數(shù)。現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，不用極限概念不但能定義導(dǎo)數(shù)，而且更利于展開推理。如果當(dāng)初牛頓發(fā)現(xiàn)了這個定義方法，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)就沒有了。數(shù)學(xué)史就要改寫。如果柯西和維爾斯特拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定義方法，高等數(shù)學(xué)教學(xué)的最大難點就被消除了。當(dāng)初，用極限來定義導(dǎo)數(shù)，深化了人們對微積分的認(rèn)識。現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，不用極限也能定義導(dǎo)數(shù)，人們對微積分的認(rèn)識更加深化了。這真是激動人心的故事。而且就發(fā)生在我們身邊。真會這樣？如何會這樣？數(shù)學(xué)家的眼光書中新的一章，力圖把這個故事交代清楚。說起來又很平常。數(shù)學(xué)家的眼光，常能見微

5、知著，從細(xì)節(jié)里看出大問題。這個故事說清楚了，其實并不高深，高中生能夠明白。而且，高中生應(yīng)當(dāng)知道這個故事。他們應(yīng)當(dāng)知道，課本上說不清的問題，歷史上大數(shù)學(xué)家說不清楚的問題，是如何說清楚的。他們應(yīng)當(dāng)知道，幾百年的東西，仍然可以改進(jìn)，可以做得更好。這對于培養(yǎng)探索精神，增強(qiáng)創(chuàng)新意識，極有好處。以、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用    課標(biāo)中對微積分的教學(xué)內(nèi)容明確提出：“導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用要求學(xué)生通過大量實例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的

6、作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)”     1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題上的應(yīng)用    函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識用單調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識來判斷函數(shù)的單調(diào)性簡便而且快捷    例 (2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （   ）    A.      B.(0,3)   C.

7、(1,4)     D.  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               分析 ：對函數(shù)求導(dǎo)，求不等式和的解，則的解為單調(diào)增區(qū)間    解：              令，得，    所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選D 

8、60;  2導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的極值問題上的應(yīng)用    利用導(dǎo)數(shù)求極值可分為三步：1：求導(dǎo)數(shù)；2：求方程的根；3：檢驗在方程的根的左右兩邊的符號，確定極值例 求函數(shù)，的極值，最值 解：因為，令，  得又因為由表中可知，為函數(shù)的極小值點，當(dāng)時，所以在區(qū)間上最大值為，最小值為.在高考中，關(guān)于函數(shù)極值問題比較常見的題型是已知函數(shù)的極值確定字母的取值范圍或值例 （2008四川卷理）已知是函數(shù)的一個極值點，求解：因為，所以，因此3導(dǎo)數(shù)在方程解的問題上的應(yīng)用(1) 利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，可研究方程根的個數(shù)問題.    例 若，

9、則方程在上有多少根？    解：設(shè)，則，當(dāng)且時，故在上單調(diào)遞減，而在與處都連續(xù)，且          ，故 在上只有一個根(2) 用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實根的近似值，這種方法叫做切線法（牛頓法）例 求方程的近似解解 設(shè)，可以知道方程的唯一根在開區(qū)間(1，2)之中，取x2，牛頓法的迭代公式為xn+1xnxn ， 則    x1.77185    x1.76324   

10、 x1.76323因此給定一個精確度，我們就可以求出該方程的近似解    4用導(dǎo)數(shù)證明不等式    利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式    例 當(dāng)時，證明不等式成立    證明：設(shè)，則 在內(nèi)單調(diào)遞減，而，    ， 故當(dāng)時，成立一般地，證明，可以構(gòu)造函數(shù)，如果，則在上是減函數(shù)，同時

11、若，由減函數(shù)的定義可知，時，有，即證明了    例 （2007年安徽高考試題）設(shè)，求證：當(dāng)時，恒有分析：此題要證明的不等式是由已知函數(shù)變形而來所以證明此不等式，我們無需構(gòu)造新的函數(shù)，只需要通過研究已知函數(shù)的單調(diào)性，就可以使結(jié)論獲證    解：對求導(dǎo)得：，    故，于是，所以，當(dāng)時，因為，所以的極小值不難求得，對一切，恒有從而當(dāng)時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加所以當(dāng)時，即故當(dāng)時，恒有    5用微積分知識證明恒等式    用微積分知識證明恒等式的實質(zhì)是將

12、等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，進(jìn)而求導(dǎo)證明恒等關(guān)系，依據(jù)    例 證明      證 設(shè)，則                         ，    故          

13、                  又時，從而 ，因此原題得證    6導(dǎo)數(shù)在曲線的切線問題上的應(yīng)用    導(dǎo)數(shù)的幾何意義：如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則的函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即為該函數(shù)在點（，）切線的斜率利用這個我們可以求出曲線的切線方程例（2009寧夏海南卷文）曲線在點（0,1）處的切線方程為        

14、        解析：因為，在點（0,1）處斜率斜率為k3，所以切線方程為y13x，即例（2009福建卷理）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是_.解析：本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法由題意可知，又因為存在垂直于軸的切線，所以這些題目都考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在填空題中也是一種典型題型，不容忽視    7運(yùn)用微分學(xué)知識研究函數(shù)圖像函數(shù)圖像的直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個函數(shù)的整體情況及其特性的時候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖形學(xué)微分學(xué)之

15、前，用描點法作圖是十分必要的，不過它有缺陷：帶有一定的盲目性、點取得不夠多也許就會得到一個錯誤的圖像等而運(yùn)用微分學(xué)作出的函數(shù)圖像，就能克服描點法作圖的缺點，可有效地對函數(shù)的增減性、極值點、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點作出準(zhǔn)確的判斷一般來說，討論函數(shù)圖像的步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)觀察函數(shù)是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，列表；(4)觀察函數(shù)是否有漸進(jìn)線，如果有，求出漸進(jìn)線；(5)求出函數(shù)的凸凹區(qū)間和拐點，列表；(6)確定一些特殊點，如與坐標(biāo)軸的交點等 例 描繪函數(shù)的圖像解 定義域為，值域為是偶函數(shù)，圖形關(guān)于軸對稱，令，解得駐點，令，解得，當(dāng)，函數(shù)值無限接近于

16、0，即是漸近線綜上，畫函數(shù)草圖如下：中學(xué)用微分學(xué)知識作函數(shù)圖像，舉一、二個例子就行了這里作為函數(shù)的一個極為重要的特征凹凸性，B版教材只在“探索與研究”中提到其實學(xué)了導(dǎo)數(shù)，從單調(diào)性到凹凸性是很自然的事情關(guān)于函數(shù)凹凸性的題目在高考中也屢次露面，我們應(yīng)該重視函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系8導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用例1 求數(shù)列的和(其中，)    分析：這道題可以用錯位相減法求和，但若用導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)算會使問題更加簡明解 注意到是的導(dǎo)數(shù)，即，可先求數(shù)列的前和當(dāng)，1時，然后等式兩邊同時對求導(dǎo)，有        

17、;            例2 已知首項與公差都是正整數(shù)的等差數(shù)列滿足對任意，都有，（1）求數(shù)列的前n項的和；（2）求數(shù)列的最小項分析：這道題第2問可以把數(shù)列看成函數(shù)，求導(dǎo)得極小值即是所求的項解（1）注意到，恒成立，則，  （2）設(shè)，當(dāng)1n5時，0，當(dāng)n5時，0，故    二、積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用定積分是新課標(biāo)中新加的內(nèi)容，課標(biāo)對定積分的定位如下：“（1）通過求曲邊梯形的面積、變力做功等實例，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定

18、積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)；（2）通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價值可見，高中課程學(xué)習(xí)定積分，重在粗淺地領(lǐng)略其主要思想和基本方法，從一些實例中初步認(rèn)識定積分的工具作用縱觀08、09年新課改地區(qū)高考主要在定積分的求法，定積分的簡單應(yīng)用尤其是利用定積分求面積上作文章連續(xù)曲線，軸二直線所圍成的曲邊梯形的面積例1（2008海南、寧夏卷理）由直線，曲線及軸所圍圖形的面積是（    ）A          B          C          D 解：如圖，則此區(qū)域的面積，故選D如果平面區(qū)域是區(qū)間上的兩條連續(xù)曲線與（相交）及直線所圍成的，它的面積為例2求由兩條曲線與圍成的平面區(qū)域，如圖解：兩條曲線的交