1、元函數微分學練習題(A)1 / 8選擇題,1xsin 一x ,x ¥0 在 x = 0 處 ()0,x=0A.極限不存在B.極限存在但不連續C .連續但不可導D.可導但不連續2.設 f (x2 )=x4 +x2 +1,則f -1 =(C. -1D. -33.設 f (x )=ln(1 +x ),則-4!51 x4!A . 51 xD.-5!-'51 x4.設y = f (x)由方程e"*-coqxy尸e-1所確定，則曲線y=f(x)在點(0, 1)的切線斜率f (0)=()A . 2B. -2C . 1D.-225.設 f (x )在 x =1 有連續導數，且 f

2、'(1 )=2，則 lim/d f (cosVx )=() x 2 dxA.1B. -1C. 2D . -26 .已知函數f(x)具有任意階導數，且f'(x)=f(x)2,則當n為大于2的正整數時，f(x)的n階導數是()A. n!f(x)n1 B. nf(x)n 1 C. f(x)2n D. n!f(x)2n7 .設函數y = f(x)在點X0處可導,當自變量x由X0增加到X0 + Ax時,記Ay為f(x)的增量，dy為f(x)的微分，四多詈等于()A.-1B. 0C .1D. 62.1、lx sin 一在x = 0處可導，則()8 .設 f(x) = x ax bA.a =

3、 1, b = 0B. a = 0, b為任意常數C. a = 0, b = 0D.a = 1, b為任意常數1 19 .曲線y=(1 -e”A.沒有漸近線;B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線又有鉛直漸近線10.設函數f僅施點0可導,且 f(0)=0,則 lim lx)=()x Q xA. f'(x)B.C.不存在11.當乂=一時，函數 f(x)=acosx 4A. -21cos4x取得極值，則a=()4B. V2D. 2C.2,t2x312 .曲線尸() (1-x)2A.既有水平漸近線，又有垂直漸近線B.只有水平漸近線C.有垂直漸近線x=1D.沒有漸近線13 .設

4、 f (%)=f "(%)=0, f"(%)<0,則有A . f(x0)是f(x)極大值;B.f(x0)是f (x)極小值;C f'(%)是f (x)的極值;D.點(%, f(%)是曲線y = f (x)的拐點14 .已知函數 f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4),貝(x)=0 有()實根A 一個 B 兩個 C三個 D 四個15 .設函數f(x)在(a,b)內可導,則在(a,b)內f'(x)A0是函數f(x)在(a,b)內單 調增的()A必要非充分條件B充分非必要條件C充要條件D無關條件二.填空題1 .設y=6x+k是曲線y=3x26x+13的一

5、條切線，貝U k=2 . 設 f(x)在 x=2連續，且 f(2)=4,則 lim f(xj-1=x 義 x - 2 x2 -43 .直線l與x軸平行，且與曲線y = x-ex相切，則切點坐標是 4 . y = f (x )由方程 x3+y3sinx+6y = 0確定，貝U dyx=0=5 .設 f (x )=a0xn+ajxn十十 ax+a。，貝Uf(n%0)=6 .設蚣"x0"：?-"-0),。),則 k =. x7 .設函數y = y(x)由方程ex4y +cos(xy) =0確定，則dy=dx一8 .已知 f( x) =-f(x),且 f'(x0)

6、=k,則 f'(x0)=9 .設 f(x)可導，貝：媽"孔，m&x；f (x0 -n&x)=10 .設 f 為可導函數，y =sin f sin f (x),則曳= dx11 . f (x) =-x ,貝U f (n)(x) =_1 x12. 設 f (x )=1 十ln2 x ,則 f'(e)=13. y =2x3 -6x2 -18x-7單調區間14. y =2x +-(x >0)單調區間x10、，一 、15. y=32單調區間4x3 9x2 6x16. y = ln(x + %；1 + x2)單調區間17. y = x3-5x2 +3x+5拐

7、點及凹或凸區間 218. y = ln(x +1)拐點及凹或凸區間 19. y=xln(1+x)的極值20. y = x +U1 -x 的極值321. 曲線y =美的鉛直漸近線為x 2三、計算題 1.求下列函數的導數(1).14100.y = (3x -1)(5) . y=eaxsinbx (a,b 為常數)(4).(6) .cos x 13y = 2' ee(8) . y =(x2 +2x-3)5 +sin2x-cot3x(9) . y=(x2+1)e-+lg(1x2)tan1(11). y =2 x x 1010(13) . y =10 x lg x 10x33(15). y =3

8、 x(10). y = ln(x + 41 + x2)2(12). y = (3x2+1)3(a 2b)(14). y = u(16). y-2(17).f(t) =t2(2t-1)(19) . y = ln(x . x2 -a2)(20) . sin(x + y) +exy =4(21) . y=xx2x、(22) . y = arctan(2)(2). y = ex +xVx(23) y =xln(x J x2)2 一(25) y =cos 3x21(24) y =(1 x )arctanx cosx 2(26) 2y -2x - sin y = 0(27) y=ln(xy)(28) ey

9、 = y In x2.求下列函數的高階導數(1) y =ln (1 x2 ),求 y"；(2) y= f (x2+b),求 y”；(3) y =x，1 -x2 +arcsinx , 求 y”;(5) y = x3 In x ,求 y；(4) y = arctan 2x2 ,求 y”;1 - x(6) y求 y(n);5 / 8.已知 xy sin(ny2) =0 ,求 y'及 y"建；y=1y(8) . y3 x2y = 2 ,求 d4 ； dx(9) . y=xlnx 求 y3 .根據導數定義，求下列函數的導數(1) y = J2x +1 ,求 y xm ;(2)

10、 f (x )=ln x,求 f'(x4 .求下列函數的微分 (1)設 y =ln(ln Vx)，求 dy ； (2)設 y = ln tan',求dy .2，(3) y =sin(x +y)，求 y 及 dy ；21(4) y=ln5+cosx - ，求 y 及 dy ;xarctan - x,(5) y = e ，求 y 及 dy ;(6) y=exxy,求 y' 及 dy ;求y=e1*xcosx的微分； (8)設 y=ecos2x ,求 dy ；3cosxy = x cosx e求dy ；2x(10)求y=的微分.x5.求下列函數的極限9 / 8sin 3x l

11、im x >7： tan 5x(2).x-x求lime 一-2xx >0x - sin xln sin xlim ；ZT72x /(二-2x)2mmx - a lim -nn (a ; 0)x )a x -a(5)ln tan 7x xim ln tan 2x(6)2.ln(1 x ) limx >0 secx 一 cos x.limx )一二二,x2 sin x(8).x . x e -e lim x >0 sin x(9).ln cos2xlim2x '二(x Tl)(10).cotx lim x <cot3x(11).ln x lim J0 ln c

12、ot x(12).2 -x lim x exJ ：.f(n) x .四.綜合題設f (x )有任意階導數,2.2、-y =lncos(10 +3x ),求y.3.方程 y2 cosx ey = 0確定y是x的函數,4.方程 ey -ex xy = 0確定y是x的函數,5.已知 f (x) = sin3 x6.判斷函數的單調性(1)判斷函數y =ex -x的單調性.(2)判斷函數y =cosx+xsin x在區間與紅的單調性.2 27.求下列函數的單調區間(1) f (x) =2x3 -9x2 +12x-3 ；(2) f (x) = 2x2 -ln x ; 2(3) f(x) =，(2x)2(x

13、1)；(4) f(x)= .1 x8 .求拐點及凹凸區間(1)求曲線y =2x3+3x2 12x+14的拐點；(2)問曲線y=x4是否有拐點；(3)求曲線y =3x的拐點；(4)求曲線y =3x4 -4x3-1的拐點及凹、凸的區間.9 .求極值(1)求函數 f(x) =(x-4)3(x1)2 的極值;23(2)求 f(x)=1(x-2). 的極值；1(3)設x=是函數f (x) =asin x+-sin3x的極值點，貝U a為何值？此時的極值 33點是極大值點還是極小值點？并求出該值.10 .求下列曲線的漸近線1 sin x2 d(1) y =；(2) y = ex+1;x(3) f(x)=2

14、(x-2)(x+3) x -1五.證明題1 .證明方程x5 +x+1=0在區間(-1,0)內有且只有一個實根.2 .若f (x)在a,b上連續，在(a,b)上可導，f(a)=f(b)=0,證明：燈九w R ,"w(a,b)使得：f內十格向=0.13 .設f(x)在0 , 1上連續，在(0, 1)內可導，且f(0) = f(1)=0, f(一)=1.試證至 2少存在一個 Ew(0, 1),使 f'K)=1.4 .證明：若 f(x)二階可導，且 f "(x)A0 , f(0) =0, WJ F(x)=fx在(0N的單調遞增.5 .當XA0時，應用單調性證明下列不等式成立：(1) 2 +x /2Ji +x ;(2) x > ln(1 +x) > x- -x22二、一元函數微分學練習題(A)答案一.選擇題 1. C. 2. C. 3.