1、三年高考（2014-2016）數學（理）試題分項版解析第十四章 推理與證明 一、選擇題1. 【2015高考廣東，理8】若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數的取值（ ） A大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】【解析】顯然正三角形和正四面體的頂點是兩兩距離相等的，即或時命題成立，由此可排除、，故選【考點定位】空間想象能力，推理能力，含有量詞命題真假的判斷【名師點睛】本題主要考查學生的空間想象能力，推理求解能力和含有量詞命題真假的判斷，此題屬于中高檔題，如果直接正面解答比較困難，考慮到是選擇題及選項信息可以根據平時所積累的平面幾何、空間幾何知識進行排除則不難得出正確

2、答案，由于時易知正三角形的三個頂點是兩兩距離相等的從而可以排除、，又當時易知正四面體的四個頂點也是兩兩距離相等的從而可以排除2. 【2014福建,理10】用代表紅球，代表藍球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“”表示取出一個紅球，面“”用表示把紅球和籃球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區別的紅球、5個無區別的藍球、5個有區別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是A. B.C. D.【答案】A考點：1.新定義.2.二項式展開式.【名師點睛】解決本題的關

3、鍵是讀懂題意，盯住關鍵字眼，就可以快速破解，如5個無區別的籃球都取出或都不取出，有種不同取法，看選項沒有這一項的，直接排除，由此可排除B，C，D，故選A.3.【2014山東.理4】 用反證法證明命題“設為實數，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是（ ）A. 方程沒有實根 B.方程至多有一個實根C.方程至多有兩個實根 D.方程恰好有兩個實根【答案】【名師點睛】本題考查反證法.解答本題關鍵是理解反證法的含義，明確至少有一個的反面是一個也沒有.本題屬于基礎題，難度較小.4.【2015高考浙江，理6】設，是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個數，命題：對任意有限集，“”是“ ”的充分必要條件；命

4、題：對任意有限集，（ ）A. 命題和命題都成立 B. 命題和命題都不成立 C. 命題成立，命題不成立 D. 命題不成立，命題成立 【答案】A.【解析】命題顯然正確，通過如下文氏圖亦可知表示的區域不大于的區域，故命題也正確，故選A.【考點定位】集合的性質【名師點睛】本題是集合的閱讀材料題，屬于中檔題，在解題過程中需首先理解材料中相關概念與已知的集合相關知識點的結合，即可知命題正確，同時注重數形結合思想的運用，若用韋恩圖表示三個集合，則可將問題等價轉化為比較集合區域的大小，即可確定集合中元素個數大小的比較.5. 【2014年.浙江卷.理8】記，設為平面向量，則（ ） A. B. C. D.答案：考

5、點：向量運算的幾何意義.【名師點睛】本題在處理時要結合著向量加減法的幾何意義，將 放在同一個平行四邊形中進行比較判斷，在具體解題時，本題采用了排除法，對錯誤選項進行舉反例說明，這是高考中做選擇題的常用方法，也不失為一種快速有效的方法，在高考選擇題的處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對選擇題的特點，有時“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有有效的方法.6. 【2014高考北京理第8題】學生的語文、數學成績均被評為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學

6、生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有（ ）A2人 B3人 C4人 D5人【答案】B【解析】試題分析：用、分別表示優秀、及格和不及格，依題意，事件、中都最多只有一個元素，所以只有，滿足條件，故選B.考點：合情推理，中等題.【名師點睛】本題考查計數問題，本題屬于基礎題，但要求學生對題目中“學生甲比學生乙成績好”這個定義要讀懂，還考查學生的分析問題的能力.7. 【2015高考北京，理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）A消耗1升汽油

7、，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖象最高點的縱坐標值，A錯誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯誤，C中甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km，消耗8升汽油，C錯誤，D中某城市機動車最高限速80千米/小時. 由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下

8、，在該市用丙車比用乙車更省油,選D.考點：本題考點定位為函數應用問題，考查學生對新定義“燃油效率”的理解和對函數圖象的理解.【名師點睛】本題考查對新定義“燃油效率”的理解和讀圖能力，本題屬于中等題，有能力要求，貼近學生生活，要求按照“燃油效率”的定義，汽車每消耗1升汽油行駛的里程，可以斷定“燃油效率”高的車省油，相同的速度條件下，“燃油效率”高的汽車，每消耗1升汽油行駛的里程必然大，需要學生針對四個選擇只做出正確判斷.8.【2014年普通高等學校招生全國統一考試湖北卷6】若函數、滿足，則稱、在區間上的一組正交函數，給出三組函數：；.其中為區間的正交函數的組數是（ ）A.0 B.1 C.2 D.

9、3【答案】C考點：新定義題型，微積分基本定理的運用，容易題.【名師點睛】以高等數學中的正交函數為載體，重點考查微積分基本定理的應用，充分體現了數學基礎知識的應用能力，能較好的考查學生識記和理解數學基本概念的能力、基礎知識在實際問題中的運用能力以及較強的數學計算能力.9. 【2014年普通高等學校招生全國統一考試湖北卷8】算數書竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當

10、于將圓錐體積公式中的近似取為（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：設圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，所以，即的近似值為，故選B.考點：算數書中的近似計算，容易題.【名師點睛】以數學史為背景，重點考查圓錐的體積計算問題，其解題的關鍵是讀懂文字材料，正確理解題意，建立方程關系.充分體現了方程思想在實際問題中的應用，能較好的考查學生運用基礎知識的能力和簡單近似計算能力.10. 【2015高考湖北，理9】已知集合，定義集合，則中元素的個數為（ ）A77 B49 C45 D30【答案】C【考點定位】1.集合的相關知識，2.新定義題型.【名師點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念

11、，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.二、填空題1. 【2014課標，理14】甲、乙、丙三位同學被問到是否去過三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市； 乙說：我沒去過城市. 丙說：我們三個去過同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為_【答案】A【解析】由丙說可知，乙至少去過A,B,C中的一個城市，由甲說可知，甲去過A,C且比乙去過的城市多，故乙只去過一個城市，且沒去過C城市，故乙只去過A城市【考點定位】推理【名師點睛】本題主要考查了命題的邏輯分析、簡單的合情推

12、理, 題目設計巧妙，解題時要抓住關鍵,逐步推斷,本題主要考查考生分析問題，解決問題的能力.2. 【2014山東.理15】已知函數，對函數,定義關于的對稱函數為函數，滿足：對于任意，兩個點關于點對稱，若是關于的“對稱函數”，且恒成立，則實數的取值范圍是_.【答案】【名師點睛】本題考查閱讀理解能力、學習能力、運算能力、直線與圓的位置關系.解答本題的關鍵，是理解新定義運算，將問題轉化成恒成立，利用數形結合思想，再將問題轉化成直線與圓的位置關系問題.本題屬于新定義問題，是一道創新能力題，中等難度之上.在考查閱讀理解能力、學習能力、運算能力、直線與圓的位置關系等的同時，考查轉化與化歸思想及數形結合思想.

13、3. 【2015高考山東，理11】觀察下列各式： 照此規律，當nN時， .【答案】 【考點定位】1、合情推理；2、組合數.【名師點睛】本題考查了合情推理與組合數，重點考查了學生對歸納推理的理解與運用，意在考查學生觀察、分析、歸納、推理判斷的能力，關鍵是能從前三個特殊的等式中觀察、歸納、總結出一般的規律，從而得到結論.此題屬基礎題.4. 【2016高考新課標2理數】有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上

14、的數字是 【答案】1和3【解析】試題分析：由題意分析可知甲的卡片上數字為1和3，乙的卡片上數字為2和3，丙卡片上數字為1和2.考點： 邏輯推理.【名師點睛】邏輯推理即演繹推理，就是從一般性的前提出發，通過推導即“演繹”，得出具體陳述或個別結論的過程.演繹推理的邏輯形式對于理性的重要意義在于，它對人的思維保持嚴密性、一貫性有著不可替代的校正作用.邏輯推理包括演繹、歸納和溯因三種方式.5. 【2014高考陜西版理第14題】觀察分析下表中的數據： 多面體 面數（） 頂點數（) 棱數（) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是_.【答案】考點：

15、歸納推理.【名師點晴】本題主要考查的是歸納推理，屬于中檔題，解題時注意觀察，歸納三棱錐、五棱錐、立方體等幾何體面數（）、頂點數（)、棱數（)之間的關系，歸納猜想一般凸多面體中，所滿足的等式.當然，如果平時能夠記憶這個關系，則可以得到事半功倍的效果6.【2014四川，理15】以表示值域為R的函數組成的集合，表示具有如下性質的函數組成的集合：對于函數，存在一個正數，使得函數的值域包含于區間.例如，當，時，.現有如下命題：設函數的定義域為，則“”的充要條件是“，”；函數的充要條件是有最大值和最小值；若函數，的定義域相同，且，則；若函數（，）有最大值，則.其中的真命題有 .（寫出所有真命題的序號）【答

16、案】【考點定位】1、新定義；2、函數的定義域值域.【名師點睛】新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗證定義中各個條件即可.二是考查滿足新定義的函數的簡單應用，如在某些條件下，滿足新定義的函數有某些新的性質，這也是在新環境下研究“舊”性質，此時需結合新函數的新性質，探究“舊”性質.三是考查綜合分析能力，主要將新性質有機應用在“舊”性質，創造性證明更新的性質.7. 【2014年普通高等學校招生全國統一考試湖北卷14】設是定義在上的函數，且，對任意，若經過點，的直線與軸的交點為，則稱為關于函數的平均數，記為，例如，當時，可得，即為的算術平均數.（1） 當時，為的幾何平均數；（2） 當時，為

17、的調和平均數；（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可）【答案】（1）；（2）.考點：兩個數的幾何平均數與調和平均數，難度中等.新定義型試題是高考的熱點試題，考生錯誤往往有二，其一為不能正確理解題意，將新問題轉化為所熟悉的數學問題；其二，不具備歸納、猜想、推理、傳化等數學能力.但縱觀湖北近四年高考試題，新定義型試題是必考試題，在專題復習中應加強訓練.【名師點睛】以新定義為背景，以函數為依托，重點考查兩個數的幾何平均數與調和平均數，涉及構造函數，充分體現了函數思想在高中數學中的重要地位，其易錯點有二，其一為不能正確理解題意，將新問題轉化為所熟悉的數學問題；其二，不具備歸納、猜想、推理、傳化等數

18、學能力.8.【2015高考福建，理15】一個二元碼是由0和1組成的數字串 ，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生碼元錯誤（即碼元由0變為1，或者由1變為0），已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為：現已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 【答案】【解析】由題意得相同數字經過運算后為，不同數字運算后為由可判斷后個數字出錯；由可判斷后個數字沒錯，即出錯的是第個或第個；由可判斷出錯的是第個，綜上，第位發生碼元錯誤【考點定位】推理證明和新定義【名師點睛】本題以二元碼為背景考查

19、新定義問題，解決時候要耐心讀題，并分析新定義的特點，按照所給的數學規則和要求進行邏輯推理和計算等，從而達到解決問題的目的，三、解答題1. 【2014高考北京理第20題】（本小題滿分13分）對于數對序列，記，其中表示和兩個數中最大的數.（1）對于數對序列，求的值；（2）記為，四個數中最小的數，對于由兩個數對組成的數對序列和，試分別對和兩種情況比較和的大小；（3）在由五個數對組成的所有數對序列中，寫出一個數對序列使最小，并寫出的值.(只需寫出結論).【答案】（1）7,8；（2）無論還是，都有成立；（3），.【解析】試題分析：根據條件中的定義，對于數對序列，記，其中表示和兩個數中最大的數，求解.試題

20、解析：依題意，.（3）數對序列：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小.，.考點：新定義題型.【名師點睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學生對于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：并對定義中maxTk1(P)，a1a2ak做出解釋，第一步嘗試對于數對序列P：(2,5)，(4,1)使用定義，求得T1(P)，T2(P)，初步使用定義，加深對定義的理解，第二步中的比較大小及第三步中的求最值就是在第一步的基礎上的深化研究，畢竟是一個新的信息題，在一個全新的環境下進行思維，所以學生做起來還是很費力的.2. 【2015高考北京，理20】已知數列滿足：，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個元素是3的倍數，證明：的所有元素都是3的倍數；（）求集合的元素個數的最大值【答案】（1），（2）證明見解析，（3）8（）由于中的元素都不超過36，由，易得，類似可得，其次中的元素個數最多除了前面兩個數外，都是4的倍數，因為第二個數必定為偶數，由的定義可知，第三個數及后面的數必定是4的倍數，另外，M中的數除以9的余數,由定義可知，和除以9的余數一樣，若中有3的倍數，由（2）知