1、2.3 恰當方程與積分方程恰當方程與積分方程 在前面兩節中，我們介紹了一階顯式方程中以導數出現的方程 ，但據微分方程的定義，微分方程也包含以微分形式出現的微分方程。在這一節里，我們將討論微分形式的微分方程的求解。 事實上，若將方程 兩邊同時乘以 dx后可得，即微分形式。 如果把x，y平等堆成的看待，就可以寫成下面具有對稱形式的一階微分方程( , )( , )0M x y dxN x y dy),(yxfdxdy),(yxfdxdy( , )0f x y dxdy 這里假設 在某矩形域內是x，y的連續函數，且具有連續的一階偏導數。 ( , ),( , )M x y N x y一、恰當方程一、恰當

2、方程定義 如果( , )( , )( , )( , )u x ystM x y dxN x y dydu x y則稱方程是恰當方程（或全微分方程）例：0ydxxdy() )ydxxdyd xy為恰當方程如果為恰當方程，則的通解即為其中c為任意常數( , )u x yc 從恰當方程的定義來看，要判斷一個方程是否為恰當方程，其關鍵和困難就在與要找一個 ，當方程的左邊比較簡單（如上例），那么 可以直接看出來。但一般情況下，左邊也是復雜的，這種情況下要找出二元函數 是比較困難的。因此擺在我們面前的兩個困難是：( , )u x y( , )u x y( , )u x y（1）如何尋找一個簡捷的方法來判斷

3、一個方程是否是恰當方程？（2）在知道方程是恰當方程的情形下，如何求出二元函數從而得到方程的通解？( , )u x y對于上述問題，我們有如下結論：方程是恰當方程MNyx證明：“ ”因為方程是恰當方程( , )( , )( , )( , )u x ystdu x yM x y dxN x y dy所以但令一方面( , )uudu x ydxdyxy從而有uuMNxy所以22MuNuyx yyx y 再由 的連續性知,MNyxMNyx“ ”分析：要讓（1）是恰當的，根據定義（只能如此，除定義無其它充要條件），必須找一個函數( , )u x y( , )( , )u x ystdu x yMdxNd

4、y 因此找一個二元函數 是關鍵。那么怎么找呢？應從滿足的條件 和 出發！uMxuNyuMx由兩邊關于x積分得：( , )( , )( )u x yM x y dxy( )y （注意積分“常數”應為y的函數 ，因為這是一個二元函數關于x積分，故應為與x無關即可，自然是一個y的函數）( )y在上式中，若能求出 ，則 也求出，為求 我們可利用 然后在上式中兩邊關于y求偏導得( , )u x y( )yuNy( , )( )( )uMM x y dxydxyyyy（上式利用了積分與求偏導兩種運算交換順序）( )MdxyNy即有( )MyNdxy 注意：在上式中，左邊僅與y有關，而與x無關，而右邊是既與

5、x有關，又與y有關的表達式，因此要使上式成立，也就是要使我們對 的尋找得以實現，必須有上式的右邊也僅與y有關，而與x無關，為此，只需讓右邊關于x的偏導數為0即可。( , )u x y()0MNMNdxxyxy事實，上因為（已知）所以上式成立，且兩邊關于y積分可求出( ) y( )()MyNdx dyy（因為僅需求一個二元函數，所以可取c=0）從而 ( , )( , )()Mu x yM x y dxNdx dyy上式即為找二元函數 的公式。此時必有( , )u x y( , )du x yMdxNdy故原方程為恰當方程 從上述充分性的證明過程當中，我們已經得到了求 的具體辦法。因此上述定理對我

6、們提出的問題（1）、（2）給出了完美的解答。( , )u x y 注：要求 可按公式進行。但比較復雜，不便記憶，可記住 即可。( , )u x yuMxuNy2223(36)(64)0 xxydxx yy dy解解：一、先判斷：一、先判斷22322( , )(36)3( )u x yxxy dxxx yy例：求例：求的通解的通解22233664MxxyNx yy1212MNxyxyyy即MNyy所以原方程為恰當方程二、求出二、求出 進而給出方程的通解進而給出方程的通解( , )u x y22233664uMxxyxuNx yyy兩邊關于y求導得：32246)(6yyxNyyxyu4( )yy(

7、積分常數取為0)3224( , )3u x yxx yy即原方程的通解為32243xx yyc 從上述求解過程來看，方程的求解的方法是可行的，程序化的，但同時也是繁瑣的。事實上，當我們判斷出方程是恰當方程的時候，可以用一個較為簡捷的辦法，即所謂“分項組合法”求解。 “分項組合法”步驟：一、將原方程關于dx，dy的都部分分開。二、 把其中僅含x式僅含y式的部分排除掉（它們本身也能寫成一個函數的微分），而把剩余部分按一下給出的一些常見的微分公式進行組合()ydxxdyd xy2ydxxdyxdyy2xdyydxydxx(ln)ydxxdyxdxyy22(arctan)ydxxdyxdxyy11()

8、mnmnmnmxy dxnx ydyd x y 要用“分項組合法”求解。必須記住上述公式。記公式技巧:記住右邊函數，然后求出它的全微分，交換等號兩邊即可例：用“分項組合法”求解上例。解：將原方程分開222336640 x dxxy dxx yy dy上式左端第一項和第四項是獨立的，因此僅需將第二項和第三項混合即可。組合如下：222336640 x dxxy dxx yy dy即有3224(3)0dxdx ydy所以原方程的通解為3224(3)dxdx ydyc例：求解方程211(cos)()0 xxdxdyyyy留作學生課堂練習211cos0.xxdxdyyyy求方程的通解解：解：21,PQy

9、yx 是全微分方程是全微分方程,將左端重新組合將左端重新組合211cos()xxdxdydxdyyyy2sinlnydxxdydxdyy原方程的通解為原方程的通解為例例sinlnxdxyysinln.xxyCy二、積分因子法二、積分因子法 從以上的討論我們知道，恰當方程可以通過積分求出它的通解。但是恰當方程畢竟是非常特殊的方程，大多數方程 都不是恰當的。哪怕是較為簡單的方程，如 ，這樣的方程都不是恰當方程，那么對這樣的方程我們該怎樣求解呢？先看方程 ，如果我們兩邊同乘以則方程變為即0MdxNdy0ydxxdy21y20ydxxdyy( )0 xdy為全微分方程，即可求解0ydxxdy21y 此

10、時 在求解上述問題時起了重要作用，我們把它叫作方程的“積分因子”，其一般的定義為：定義：如果存在連續可微函數 使得( , )0u x y ( , )( , )( , )( , )0u x y M x y dxu x y N x y dy為一個恰當微分方程，即存在v使uMdxuNdydv則稱 為方程的積分因子。( , )u x y如 為 的積分因子，事實上 均為上述方程的積分因子。21y0ydxxdy221xy1xy21x 可以證明，只要方程的解存在，則積分因子就肯定存在，有無窮多個。那么在眾多的積分因子中我們能否有切實可行的方法找到一個呢？事實上， 為方程的積分因子的充要條件為()()uMuN

11、yx( , )u x y即()uuMNNMNxyyx 式為未知函數 的偏微分方程，要想求出方程的積分因子，必須求解上述偏微分方程，可是求解偏微分方程本身會更困難。那么是否意味著“積分因子”的討論無意義呢？不！一方面，“積分因子”在微分方程的理論研究中的價值是很大的。另一方面，在一些特殊情形下，我們求出一些特殊的“積分因子”還是切實可行的。( , )u x y 例如，我們可以通過求僅與x有關的積分因子 ，此時因故有 即( ) x0y()dMNNdxyxMNdyxdxuN要使上式成立，必須有( )MNxyx此時原方程存在僅依賴于x的積分因子，且( )( )x dxxe例 求方程 的形如 的積分因子

12、0ydxxdy( ) x（請同學們推導形如 的積分因子存在的條件即求解公式）( )y結論為：若( )MNyxxN( )( )x dxxe( )MNyxyM( )( )y dyye則存在積分因子：則存在積分因子：若注：（1）若( )MNyxyN( )MNyxxM或則此時不一定存在積分因子 或( ) x( )y（2）若( )MNyxyN( )MNyxxM或均為x和y的二元函數，則不存在特殊的積分因子 僅存在一般的積分因子 ，這種積分因子無公式求解，只能靠觀察給出，這就具有較高的技巧和難度，后面我們將給出幾個例子來學習。( ) x( )y( , )x y（3）上述討論實際上給出了求解形如0MdxNd

13、y的方程的基本步驟：A 求出偏導數,MNyxMNyxMNyxB 若則為恰當方程，可直接求解若則用其差 除以N（或者-M）看它是否僅MNyx與x有關（或僅與y有關），若滿足，則可找到積分因子 （或 ）化為恰當方程。( ) x( )yC 若其差 無論除以N或者-M均與x及y有關，則只能由觀察法找出一半的積分因子 MNyx( , )x yD 若ABC均不行，可考慮再化為導數形式求解（強調導數和微分形式的微分方程的互換）例：試用微分因子法解線性方程( )( )dyP x yQ xdx解：將一階線性非齊次方程改寫為微分形式為：( ( )( )0P x yQ x dxdy此時( )MNyxP xN 故有積

14、分因子( )( )P x dxxe以此乘以方程的兩邊得到：( )( )( )( )( )0P x dxP x dxP x dxP x eydxedyQ x edx即有( )( )()( )0P x dxP x dxd yed Q x e所以方程的通解為( )( )( )P x dxP x dxyeQ x ec即( )( )( )P x dxP x dxyeQ x ec 如果方程沒有形如 的積分因子，只有一般積分因子 ，則只能根據方程本身的特點，由觀察法求得。請看以下兩例：( ) x( )y( , )x y例：求解方程21 ( )(0)dyxxydxyy 解：（分析）此方程為齊次方程，可令 化為

15、變量分離方程而求解。但因為有“根號”，求解時比較麻煩。因此可考慮微分形式求解。 將原方程化為微分形式22ydyxdxxy dx 通過簡單計算 ,MNyx，兩者不等，且它們的差無論除以N還是-M均是既與x有關又與y有關，故既不是恰當方程，又無特殊積分因子( ) x( )y只能找一般形式的積分因子 。考慮到根號里面是 ，可將方程改寫為 ( , )x y22xy22ydyxdxxy dx即有22221()2d xyxy dxxuy將方程兩邊同乘以 （即有積分因子 ）后方程變形為221xy221xy2222()2d xydxxy為恰當方程通解為220dxydx即22xyxc2(2 )yc cx例：求解

16、方程3(42)(35)0 xydxxdyyydxxdy解：（分析）簡單計算后就發現原方程不是恰當方程，同時又無特殊積分因子 ，考慮到方程寫成的組合形式，先看第一個組合 ，其中第一項的系數4及dx，表明為 的微分，而第二項的系數2即dy，表明應為 的微分形式，而中間的加號表明應為 的微分，但是 ，故第一組合需乘以因子 ，第二個組合通過類似的考慮，應為 的微分，但 ，故也需乘以因子 ，所以原方程有積分因子( ) x( )y(42)xydxxdy4x2y42x y42324()42d x yx y dxx ydy2x y35x y352533()35d x yx y dxx y dy2x y2x y

17、原方程兩邊同時乘以積分因子 有：2x y4235()()0d x yd x y4235x yx yc所以原方程的通解為習題2.3選講15(sin )( sincos )0ycosxxx dxyxxx dy解：coscoscossin1cossinMNxyxxxxyxMyxxx( )yyeye(sinsinsin)(coscoscos)sincos0yyyyyyyyye dxyxdeexdyxe dxxxdeedxexdyexdx所以原方程有積分因子將方程兩邊乘以 后拆開分項組合為：(sin )(cos )(sin )0yyyd yexd xexd exsincossinyyyyexxexexc

18、即所以原方程的通解為17 試導出方程 分別具有形為 和 的積分因子的充要條件()xy()xy( , )( , )0M x y dxN x y dy解：原方程有形如 的積分因子 ()xy()()0 xy Mdxxy Ndy為恰當方程()()xy Mxy Nyx()()()()MNxyxy Mxyxy Nyx()()MNxyyxxyNM()MNyxxyNM()MNyxxyNM類似可得有形如 的積分因子的充要條件為()xy18 設 及 連續，試證方程 為線性方程的充要條件是它有僅依賴于x的積分因子( , )f x yfy( , )0dyf x y dx證：“ ”必要性見教材p46例4.“ ”設方程

19、有僅依賴于x的積分因子 ( , )0dyf x y dx則有0( )1MNffyxyxNy fy據 的連續性，上式兩邊關于y積分有( , )( )( )f x yP x yQ x即原方程為線性方程。19 試證齊次方程 當 時有積分因子0MdxNdy0 xMyN1xMyN證：（分析）要讓方程有積分因子1( , )x yxMyN即讓()()MNy xMyNx xMyN22()()()()()()MMNxMyNM xNyMyyyy xMyNxMyNMNMNy NMyyxMyN同理2()()()NMMNx MNNxyx xMyNxMyN所以原命題即證NMMNyxxMNxNMyy因為方程0MdxNdy即

20、 是齊次方程，所以有 dyMdxN ( )MygNx 將此兩邊分別關于x及y求偏導，然后兩邊相除即得所證。23 求出伯努利方程的積分因子。解：伯努利方程為( )( )ndyP x yQ x ydx因為兩邊同時乘以 后即 (1)nn y1(1)(1) ( )(1) ( )nndyn yn P x yn Q xdx為線性方程，它有積分因子(1)( )( )nP x dxxe從而伯努利方程有積分因子為(1)( )( , )( )nP x dxnnx yyxy e24 設 是方程（2.43）的兩個積分因子，且 不等于常數。求證， 是方程（2.43）的通解。1( , )x y2( , )x y1212c（分析） 要讓 即 是方程（2.43）的通解根據定義，一方 面要讓它是方程的解，另一方面要讓它含有n個獨立的任意常數。由于現為一階微分方程（n=1），所以一個任意常數，自然是獨立的，因此僅需證由方程 確定的y為x的隱函數為x的隱函數是方程 （2.43）的隱式解。由于y不能求出，因此我們希望通過上式求出 ，并證明 （化為微分形式即為方程（2.43）12c12( , )( , )0 x ycx y1