1、橢圓及其標準方程（第一課時）教學設計教學目標 1、知識與技能 理解橢圓的定義。 掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力。 2過程與方法目標： 經歷橢圓概念的產生過程，學習從具體實例中提煉數學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數學概念的數學本質，提高學生的歸納概括能力。 鞏固用坐標化的方法求動點軌跡方程。 對學生進行數學思想方法的滲透，培養學生具有利用數學思想方法分析和解決問題的意識 3情感態度價值觀目標： 充分發揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識 重視知識的形成過程教學，讓學生知其然并知其

2、所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創新的樂趣 通過對橢圓定義的嚴密化，培養學生形成扎實嚴謹的科學作風 通過經歷橢圓方程的化簡,增強學生戰勝困難的意志品質并體會數學的簡潔美、對稱美 利用橢圓知識解決實際問題，使學生感受到數學的廣泛應用性和知識的力量，增強學習數學的興趣和信心教學重、難點 重點：橢圓的定義、橢圓的標準方程、坐標化的基本思想難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用教學過程設計（一）創設情境提出問題 用圓柱狀杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形當端起水杯喝水時，水杯傾斜，再觀察水平面，此時截面為橢圓形看來，橢圓是與圓有著密切關系的一種曲線圓是到定點距離等于定長

3、的點的軌跡，根據圓的定義，用一根細繩就可畫出一個圓將細繩的一貫固定在黑板上，在另一端系上一支粉筆，將細繩繃緊并繞固定端點旋轉一周即可將圓心從一點“分裂”成兩點，將細繩的兩端固定在這兩點，用粉筆挑起細繩并繃緊，移動粉筆，可畫出什么圖形？ 設計意圖：使學生產生學習興趣和探索欲望 （二）學生實驗體驗數學 1學生通過動手實踐、觀察，猜想軌跡為橢圓 2展示學生成果 3動態演示動點生成軌跡的全過程，印證猜想 4展示橢圓實際應用的幻燈片 5導出新課： 看來，大家對橢圓并不陌生，但細想想，我們對橢圓也說不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我們對“她”的品性幾乎還一無所知數學是一門嚴謹的科學，我們不能滿足于直

4、觀感受、淺嘗輒止，我們希望對橢圓有更深刻的認識，比如：橢圓上所有的點所具有的共同的幾何特征是什么？橢圓的定義；能否用代數方法精確地刻畫出這種共同的幾何特征？橢圓的標準方程這就是我們這節課的重點內容 設計意圖：從學生實驗中導出新課，明確研究課題（三）意義建構感知數學 橢圓定義的初步生成 學生每2人一組，合作探究，教師巡視指導 請學生代表本小組交流探究結論：根據橢圓畫法，從中歸納橢圓定義與兩個定點的距離之和為定長（繩長）的點的軌跡為橢圓（繩長大于兩定點間距離）（四）形成理論建立數學1橢圓定義的完善 提出問題：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴密、經得起推敲那么，這個常數可以是任意正實數

5、嗎？有什么限制條件嗎？引導學生回答：在“定義”中需要加上“常數>”的限制。繼續深化問題：若常數=或常數<,情況會發生什么變化？應用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點之間線段最短”為理論依據，得出結論：當常數=時，與兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡是線段；當常數<時，與兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡不存在請學生給出經過修改的橢圓定義，教師用幻燈片給出完善的橢圓定義，并介紹焦點、焦距的定義設計意圖：使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，并逐漸養成嚴謹的科學作風2橢圓的標準方程 (1)回顧用坐標法求動點軌跡方程的一

6、般步驟：建系設點、寫出動點滿足的幾何約束條件、坐標化、化簡、證明等價性 (2)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程 建系設點：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？利用橢圓的對稱性特征 以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系設焦距為，則設為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為 動點滿足的幾何約束條件: 坐標化： 化簡：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號預案一：移項后兩次平方法分析的幾何含義，令得到焦點在軸上的橢圓的標準方程為預案二：用等差數列法：設 得4cx=4at，即t=將t=代入式得    &#

7、160;   將式兩邊平方得出結論。以下同預案一預案三：三角換元法：設得即即代入式得以下同預案一 設計意圖：進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養成不怕困難的鉆研精神，感受數學的簡潔美、對稱美(3)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程 要建立焦點在軸上的橢圓的標準方程，又不想重復上述繁瑣的化簡過程，如何去做？此時要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯系即可化未知為已知，將已知的焦點在軸上的橢圓的標準方程轉化為焦點在軸上的橢圓的標準方程只需將圖(1)沿直線翻折或將圖(1)繞著原點按逆時針方向旋轉即可轉化成圖(2)，需將軸、軸的名稱換

8、為軸、軸或軸、軸 （1）                                                 

9、;  （2）焦點在軸上的橢圓的標準方程為設計意圖：體會數學中的化歸思想，化未知為已知，避免重復勞動(4)辨析焦點分別在軸、軸上的橢圓的標準方程的異同點區別：要判斷焦點在哪個軸上，只需比較與項分母的大小即可若項分母大，則焦點在軸上；若項分母大，則焦點在軸上反之亦然聯系：它們都是二元二次方程，共同形式為    兩種情況中都有（五）數學應用鞏固新知例1：判斷分別滿足下列條件的動點M的軌跡是否為橢圓（1）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）（2）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）（3）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）（4）到點和點的距離之和為

10、4的點的軌跡；（不是） 探究一：已知橢圓的方程為： ，則a_，b_，c_， 焦點坐標為：_ 、_，焦距等于_。如果曲線上一點P到焦點F1的距離為8，則點P到另一個焦點F2的距離等于_。 設計意圖：鞏固橢圓定義例2：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標準方程 設計意圖：學會用待定系數法求橢圓標準方程變式一：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標準方程設計意圖：提醒學生在解題時先要根據焦點位置判斷使用哪種形式的橢圓標準方程變式二：已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓經過點，求該橢圓的標準方程設計意圖：使學生體會橢圓定義在解題中的重要作用（六）回顧反思歸納提煉 1一個知識點：橢圓的定義及其標準方程 2兩種數學方法：用坐標化的方法求動點軌跡方程 3三種數學思想：數形結合思想、化歸思想、不怕困難的思想設計意圖：在總結時采用“一個知識點、兩種方法、三種思想”的方式，目標明確，重點清晰，易于掌握所學內容，構建知識鏈。（七）課后作業，鞏固提高1必做題