1、2009年暑假數學課外輔導(必修4)第三章 三角恒等變換一、基本內容串講本章主干知識：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，運用相關公式進行簡單的三角恒等變換。1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：; ;對正切的和角公式有其變形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有時應用該公式比較方便。這6個公式的聯系為：C()C() T()T()S()S() 2二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：. .要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關系（升角降次，降角升次）特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形， 這兩個形式常用。3簡單的三角恒等變換

2、（1）變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質。（2）變換目標：利用公式簡化三角函數式，達到化簡、計算或證明的目的。（3）變換依據：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）變換思路：明確變換目標，選擇變換公式，設計變換途徑。二、考點闡述考點1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于（ B ）A. B. C. D.2、若，則等于（ D ）A. B. C. D.考點2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos的值等于（ A ）A B C2 D44、 已知，且，那么等于（ D ）A. B. C. D.考點3運用相關公式進行簡單的三角恒等變換5、已知則

3、的值等于（ B ）（A）（B）（C）（D）6、已知則值等于（ C ）（A）（B）（C）（D）7、函數是（ C ）（A）周期為的奇函數（B）周期為的偶函數（C）周期為的奇函數（D）周期為的偶函數三、解題方法分析1熟悉三角函數公式，從公式的內在聯系上尋找切入點【方法點撥】三角函數中出現的公式較多，要從角名稱、結構上弄清它們之間的內在聯系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問題時究竟使用哪個公式，要抓住問題的實質，善于聯想，靈活運用。例1設則有（ ）A. B. C. D.【解析】: 由于故選C。【點評】：本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式。例如：sincos=，cos=，tantan=

4、tan(+)(1- tantan)等。另外，三角函數式asinx+bcosx是基本三角函數式之一，引進輔助角，將它化為即asinx+bcosx=（其中）是常用轉化手段。特別是與特殊角有關的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟練掌握其變形結論。2明確三角恒等變換的目的，從數學思想方法上尋找突破口三角恒等變換是三角函數與平面向量這兩章的延續與發展，三角變換只變其形，不變其質，它可以揭示有些外形不同但實質相同的三角函數式之間的內在聯系，幫助我們達到三角恒等變換的目的。（1）運用轉化與化歸思想，實現三角恒等變換【方法點撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公

5、式的推導都體現了轉化與化歸的思想，應用該思想能有效解決三角函數式化簡、求值、證明中角、名稱、形式的變換問題。例2 已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值【解析】：由于，可得到+，0 cos（+）=，sin（）= sin2=sin（+）+（）=sin（+）cos（）+cos（+）sin（）=（）·+（）· =【點評】：本題屬于“理解”層次，解答的關鍵在于分析角的特點，將2表示為2=（）+（+）。 例3化簡：2sin50°+sin10°（1+tan10°）·【解析】：原式=2sin50°+sin10°（1+

6、）·=2sin50°+sin10°（）·=（2sin50°+2sin10°·）·cos10°=2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°）=2sin60°=【點評】：本題屬于“理解”層次, 解題的關鍵在于靈活運用“化切為弦”的方法，再利用兩角和與差的三角函數關系式整理化簡化簡時要求使三角函數式成為最簡：項數盡量少，名稱盡量少，次數盡量底，分母盡量不含三角函數，根號內盡量不含三角函數，能求值的盡量求出值來。（2）運用函數方程思想，實現

7、三角恒等變換 【方法點撥】三角函數也是函數中的一種，其變換的實質仍是函數的變換。因此，有時在三角恒等變換中，可以把某個三角函數式看作未知數，利用條件或公式列出關于未知數的方程求解。 例4：已知sin（+）=，sin（）=，求的值。【解析】：由解得， =17w【點評】：本題屬于“理解”層次，考查學生對所學過的內容能進行理性分析，善于利用題中的條件運用方程思想達到求值的目的。（3）運用換元思想，實現三角恒等變換【方法點撥】換元的目的就是為了化繁為簡，促使未知向已知轉化，可以利用特定的關系，把某個式子用新元表示，實行變量替換，從而順利求解，解題時要特別注意新元的范圍。例5：若求的取值范圍。【解析】：

8、令，則即 ，即【點評】：本題屬于“理解”層次，解題的關鍵是將要求的式子看作一個整體，通過代數、三角變換等手段求出取值范圍。3關注三角函數在學科內的綜合，從知識聯系上尋找結合點【方法點撥】三角函數在學科內的聯系比較廣泛，主要體現在與函數、平面向量、解析幾何等知識的聯系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當注意知識間的聯系與整合。例6：已知：向量 ，函數（1）若且，求的值；（2）求函數取得最大值時，向量與的夾角【解析】：（1）由得即 或 或 （2），當時，由得，【點評】：本題屬于“理解”中綜合應用層次，主要考查應用平面向量、三角函數知識的分析和計算能力.四、課堂練習1sin165º= （

9、 ） A B C D 2sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A B C D3已知，則（ ） A B C D4化簡2sin（x）·sin（+x），其結果是（）sin2xcos2xcos2xsin2x 5sincos的值是 （ ）A0 B C D 2 sin6A B C D7若，則角的終邊一定落在直線（ ）上。A B C D89 10的值是 .11求證： 12已知，求的值13已知求的值。14若,且, 求的值。15設的周期為,最大值.(1) 求的值;(2) 若為方程的兩根,且的終邊不共線,求的值.第三章 三角恒等變換參考答

10、案1-7 DBDB B C D 7提示：， =，=，則角的終邊上一點為P（，），它在直線上。8、cos； 9、； 10、11證明：左邊右邊，原式得證12解：由得這是一個關于的方程，解此方程可求得=13解：， 而 。14解法一：由或知舍去，故解法二：由 得，>0，從而，聯立、解得 故15解：(1) ，又 的最大值， ， 且 ，由 、解出 a=2 , b=.(2) ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， .2009年暑假數學課外輔導(必修4)第三章 三角恒等變換一、基本內容串講本章主干知識：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，運用相關公式進行簡單的三角恒等變換。1兩角和與差的正

11、弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：; ;對正切的和角公式有其變形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有時應用該公式比較方便。2二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：. .要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關系（升角降次，降角升次）特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形， 這兩個形式常用。3簡單的三角恒等變換（1）變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質。（2）變換目標：利用公式簡化三角函數式，達到化簡、計算或證明的目的。（3）變換依據：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）變換思路：明確變換

12、目標，選擇變換公式，設計變換途徑。二、考點闡述考點1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于（ ）A. B. C. D.2、若，則等于（ ）A. B. C. D.考點2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos的值等于（ ）A B C2 D44、 已知，且，那么等于（ ）A. B. C. D.考點3運用相關公式進行簡單的三角恒等變換5、已知則的值等于（ ）（A）（B）（C）（D）6、已知則值等于（ ）（A）（B）（C）（D）7、函數是（ ）（A）周期為的奇函數（B）周期為的偶函數（C）周期為的奇函數（D）周期為的偶函數三、解題方法分析1熟悉三角函數公式，從公式的內在聯系上尋找切入點【方

13、法點撥】三角函數中出現的公式較多，要從角名稱、結構上弄清它們之間的內在聯系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問題時究竟使用哪個公式，要抓住問題的實質，善于聯想，靈活運用。例1設則有（ ）A. B. C. D.【點評】：本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式。例如：sincos=，cos=，tantan=tan(+)(1- tantan)等。另外，三角函數式asinx+bcosx是基本三角函數式之一，引進輔助角，將它化為即asinx+bcosx=（其中）是常用轉化手段。特別是與特殊角有關的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟練掌握其變形結論。2明

14、確三角恒等變換的目的，從數學思想方法上尋找突破口三角恒等變換是三角函數與平面向量這兩章的延續與發展，三角變換只變其形，不變其質，它可以揭示有些外形不同但實質相同的三角函數式之間的內在聯系，幫助我們達到三角恒等變換的目的。（1）運用轉化與化歸思想，實現三角恒等變換【方法點撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導都體現了轉化與化歸的思想，應用該思想能有效解決三角函數式化簡、求值、證明中角、名稱、形式的變換問題。例2 已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值例3化簡：2sin50°+sin10°（1+tan10°）·（2）運用函數方程思

15、想，實現三角恒等變換 【方法點撥】三角函數也是函數中的一種，其變換的實質仍是函數的變換。因此，有時在三角恒等變換中，可以把某個三角函數式看作未知數，利用條件或公式列出關于未知數的方程求解。 例4：已知sin（+）=，sin（）=，求的值。（3）運用換元思想，實現三角恒等變換【方法點撥】換元的目的就是為了化繁為簡，促使未知向已知轉化，可以利用特定的關系，把某個式子用新元表示，實行變量替換，從而順利求解，解題時要特別注意新元的范圍。例5：若求的取值范圍。3關注三角函數在學科內的綜合，從知識聯系上尋找結合點【方法點撥】三角函數在學科內的聯系比較廣泛，主要體現在與函數、平面向量、解析幾何等知識的聯系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當注意知識間的聯系與整合。例6：已知：向量 ，函數（1）若且，求的值；（2）求函數取得最大值時，向量與的夾角四、課堂練習1sin165º= （ ） A B C D 2sin14ºcos16º+sin76º